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#1 24-07-2016 11:01:33

Dlzlogic
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Propriété de la courbe de Gauss

Bonjour,
On peut faire l'affirmation suivante "toutes des courbes de Gauss sont superposable, donc identiques". C'est à dire qu'elles ont toutes la même équation.
Cela signifie que par une translation et une mise à l'échelle on peut réaliser cette superposition.
Si par une opération quelconque on a obtenu une courbe de Gauss sous la forme y = c . exp(-(x-a)²/b),
alors le paramètre 'a' est le paramètre de translation, le paramètre 'b' le paramètre d'échelle en X, donc fonction de l'écart-type, et le paramètre 'c', le paramètre d'échelle en Y.
Ces trois paramètres sont indépendants.
[HS] La nuit porte conseil, c'était la notion qui m'avait échappé hier[/HS]

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#2 24-07-2016 18:21:53

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

soit on parle d'écart-type, donc de proba-stat, loi de probabilité, etc. et dans ce cas, b et c sont liés comme je te l'ai expliqué hier soir...

soit on parle d'ajustement de courbe, et dans ce cas c et b sont des coefficients de dilatation (indépendants), et il faut considérer un paramètre d qui translate sur le Y comme c'est fait pour X !

bref, encore deux thématiques à ne pas confondre...

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#3 24-07-2016 20:48:56

Dlzlogic
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonsoir Léon,
L'explication est très simple. J'ai un ensemble de points (X,Y) qui sont sensés être liés par une fonction de Gauss. En l’occurrence, il n'y a aucun rapport direct avec les probabilités, statistiques ou autre notion à propos desquelles on échange souvent.
Donc, je "fitte" cet ensemble de points. vient l'étape de la représentation graphique. Il est habituel de représenter cette fonction avec son axe de symétrie et entre les bornes -3*emq et +3*emq (emq = écart-type). D'où la nécessité de connaitre l'écart-type, ou n'importe quelle autre valeur de référence, par exemple, l'écart probable ou l'écart moyen arithmétique, pour ma représentation.
Il n'y a rien de caché, aucun paramètre 'd', aucun mélange de thématique. Seulement un petit souci de mise à l'échelle, mais en tout cas, merci, mon problème est résolu.
Pour conclure, il n'y a pas que les probabilités en math, par contre, la courbe de Gauss a une importance particulière.

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#4 25-07-2016 17:32:40

freddy
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

leon1789 a écrit :

soit on parle d'écart-type, donc de proba-stat, loi de probabilité, etc. et dans ce cas, b et c sont liés comme je te l'ai expliqué hier soir...

soit on parle d'ajustement de courbe, et dans ce cas c et b sont des coefficients de dilatation (indépendants), et il faut considérer un paramètre d qui translate sur le Y comme c'est fait pour X !

bref, encore deux thématiques à ne pas confondre...

salut leon,

dans ma prime jeunesse, on utilisait un papier gausso-arithmétique pour tracer la droite de Henry pour trouver les fameux paramètres[tex] \mu[/tex] et [tex]\sigma[/tex]. Je découvre à ce jour la possibilité d'un troisième paramètre. En fait, on chercherait un coefficient [tex]c[/tex] positif tel que [tex]y'=\frac{y}{c}[/tex] ?!
Par contre, question centrale : comment tester la qualité (pertinence) de l'ajustement effectuée ?... Test de K-S ? :-)

Dernière modification par freddy (25-07-2016 18:41:26)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 26-07-2016 16:59:27

Dlzlogic
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonjour Freddy,
Ta question m'a échappée hier.
D'une façon très générale, si on a une liste de couples de points X,Y et une fonction f qui est définie comme régression de l'ensemble des points, la "pertinence" de l'ajustement est donné par la valeur de l'écart moyen quadratique, maintenant appelé "écart-type". Cela signifie que 0.66% des couples ont un écart à la valeur calculée inférieur à cet écart type.   
Dans le cas de l'ajustement d'une courbe de Gauss, cet écart-type calculé n'a naturellement aucun rapport avec l'écart-type de la fonction elle-même, dans l'hypothèse où il s'agirait de la loi normale. Ce sera strictement la même chose pour l'ajustement suivant une droite, un cercle, on polynôme de degré 4 ou je ne sais quoi.
Toute méthode de régression qui se respecte est basée sur la méthode des moindres carrés qui consiste à dire que la valeur la plus probable du résultat cherché est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs obtenues par la fonction.
La méthode que j'utilise pour "fitter" une courbe de Gauss a été mise au point par Jean Jacquelin. C'est pas difficile de calculer l'écart-type de la régression elle-même, par contre, pour une représentation graphique, j'avais besoin du domaine de définition, j'ai adopté, comme on le voit souvent, 3 * écart-types.
Bonne journée.

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#6 26-07-2016 17:22:56

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

freddy a écrit :

salut leon,

dans ma prime jeunesse, on utilisait un papier gausso-arithmétique pour tracer la droite de Henry pour trouver les fameux paramètres[tex] \mu[/tex] et [tex]\sigma[/tex]. Je découvre à ce jour la possibilité d'un troisième paramètre. En fait, on chercherait un coefficient [tex]c[/tex] positif tel que [tex]y'=\frac{y}{c}[/tex] ?!
Par contre, question centrale : comment tester la qualité (pertinence) de l'ajustement effectuée ?... Test de K-S ? :-)

salut Freddy
Dans un contexte de loi normale, évidemment, il n'y a que deux paramètres.
Et comment vérifier la pertinence : avec un test de Khi² , par exemple, non ?

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#7 26-07-2016 17:24:35

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

bonsoir

Dlzlogic a écrit :

J'ai un ensemble de points (X,Y) qui sont sensés être liés par une fonction de Gauss. En l’occurrence, il n'y a aucun rapport direct avec les probabilités, statistiques ou autre notion à propos desquelles on échange souvent.

ok, pas de proba-stats !

Dlzlogic a écrit :

aucun paramètre 'd',

pourquoi ? les translations sur les Y n'existent pas ?


Dlzlogic a écrit :

Donc, je "fitte" cet ensemble de points. vient l'étape de la représentation graphique. Il est habituel de représenter cette fonction avec son axe de symétrie et entre les bornes -3*emq et +3*emq (emq = écart-type).

Ok, mais jusqu'à preuve du contraire, cet intervalle +- 3 emq est liée à un intervalle (de fluctuation ou de confiance, suivant les circonstances) par rapport à la loi normale. Donc cela n'a de sens que dans un contexte proba-stat très précis.


Dlzlogic a écrit :

aucun mélange de thématique.

ben visiblement tout n'est pas clair pour un de nous deux.


Dlzlogic a écrit :

Seulement un petit souci de mise à l'échelle, mais en tout cas, merci, mon problème est résolu.
Pour conclure, il n'y a pas que les probabilités en math, par contre, la courbe de Gauss a une importance particulière.

ok, je n'avais pas compris qu'il y avait un problème à résoudre, puisqu'il n'y avait pas de question !

Mais j'aimerais bien connaitre un contexte distinct des probas-stat où la courbe de Gauss a une importance. Merci de m'éclairer à ce sujet.

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#8 26-07-2016 17:32:04

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Dlzlogic a écrit :

D'une façon très générale, si on a une liste de couples de points X,Y et une fonction f qui est définie comme régression de l'ensemble des points, la "pertinence" de l'ajustement est donné par la valeur de l'écart moyen quadratique, maintenant appelé "écart-type". Cela signifie que 0.66% des couples ont un écart à la valeur calculée inférieur à cet écart type.

cet 66% est complètement lié à la loi normale (donc tu parles encore de proba , et non de régression de manière générale)
Si tu changes de loi de probabilité, ce taux de 66% change également...

Dlzlogic a écrit :

Dans le cas de l'ajustement d'une courbe de Gauss, cet écart-type calculé n'a naturellement aucun rapport avec l'écart-type de la fonction elle-même, dans l'hypothèse où il s'agirait de la loi normale.

c'est pour cela que tu as précisé ci-dessus le taux de 66% (que tu donnes pour une régression), qui est justifié dans le cas de la loi normale...

Si tu veux, je te donne une régression où 90% des écarts sont supérieurs à l'emq. Ou bien un autre exemple avec 10% seulement... C'est très simple à trouver.

Dlzlogic a écrit :

Toute méthode de régression qui se respecte est basée sur la méthode des moindres carrés qui consiste à dire que la valeur la plus probable du résultat cherché est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs obtenues par la fonction.

En enlevant "la plus probable", cela devient correct, dans un contexte non probabiliste.

Dernière modification par leon1789 (26-07-2016 17:36:38)

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#9 26-07-2016 17:57:20

Dlzlogic
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonjour Léon,

Léon a écrit :

Mais j'aimerais bien connaitre un contexte distinct des probas-stat où la courbe de Gauss a une importance. Merci de m'éclairer à ce sujet.

Je l'ai lu par hasard dans un article concernant la fonction de la chaleur. Mais il est vrai que cela vient du fait que la transmission de la chaleur est directement liée à un phénomène aléatoire. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je me suis penché de nouveau sur la régression de la fonction de Gauss.
Autre point important, c'est un point fondamental que la loi normale est symétrique et que, en gros, son domaine de définition est [-3et ; +3et]. Par contre rien n'interdit que le nuage de points ait une dispersion, normalement voire toujours, plus petite.
Alors, pour être complet. Sachant que toutes les courbes de Gauss sont superposables, il y a trois paramètres nécessaires, une translation, une affinité en X et une affinité en Y. A part ça il n'y a qu'une fonction de Gauss, donc celle-ci n'a pas de paramètres. Peut-être veux-tu parler de la loi normale qui peut comporte 2 paramètres la moyenne et l'écart-type, mais il est bien connu que la loi normale centrée réduite n'a pas de paramètre.

A propos de mélange de thématique, si je fais une régression linéaire à l'aide de la méthode de Henry, je fais des probabilité, ou de l'arithmétique, ou de la géométrie ou tout ça à la fois ?

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#10 27-07-2016 13:52:39

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Merci d'avoir répondu.

Le problème est que tu passes continuellement d'un contexte sans proba-stats (messages 1 et 3), à un contexte de proba-stats (voir les autres messages).

Bref,
si on parle de la loi normale, alors il y a deux paramètres (moyenne et écart-type), ok. Après on peut poser moyenne=0 et écart-type=1...

ou alors on parle d'ajustement de courbes avec la famille d+c.exp(-(x-a)^2)/b), où quatre paramètres permettent d'ajuster les translation en X et Y, et les dilatations en X et en Y. Après on peut poser d = 0 ...

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#11 27-07-2016 14:47:10

Dlzlogic
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonjour Léon,
Ce que tu sembles oublier est que les méthodes de régression sont basées sur la méthode des moindres carrés, laquelle est basée sur le fait que la "moyenne" est la valeurs la plus probable d'un résultat, ce qui résulte des principes de base des probabilités : le postulat de la moyenne. On en a longuement parlé.
Quand on cherche à calculer la régression d'une courbe, on utilise les éléments fondamentaux de probabilité. La loi normale est une autre application.
Evidemment les résultats de la théorie des probabilités est fondamentale dans le monde réel. On peut inventer d'autres théories, mais elle sont probablement inapplicables dans le monde réel.
Concernant l'ajustement de courbes, il y a des courbes plus difficiles à ajuster, comme le cercle. Jean Jacquelin a bien étudié cela. On peut donc ajuster des carrés (on prend le carré des rayons au lieu des rayons eux-mêmes - de mémoire), mais je fond de la méthode reste le même. Le principe fondamental est de trouver la valeur la plus probable qui sera obtenue par une moyenne arithmétique.

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#12 27-07-2016 21:05:15

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

"La valeur la plus probable est la moyenne" est vrai des certains contextes, et faux dans d'autres. Déjà expliqué maintes fois...


Dlzlogic a écrit :

Quand on cherche à calculer la régression d'une courbe, on utilise les éléments fondamentaux de probabilité.

pas d'accord : la méthode des moindres carrés est une méthode d'optimisation (elle minimise), donc utilisée dans un contexte pas nécessairement probabiliste.


Dlzlogic a écrit :

La loi normale est une autre application.

Je ne vois pas en quoi une loi de probabilité est une application...

Dlzlogic a écrit :

Evidemment les résultats de la théorie des probabilités est fondamentale dans le monde réel. On peut inventer d'autres théories, mais elle sont probablement inapplicables dans le monde réel.

ah bon ? Tu sais qu'il y a plein de théories mathématiques appliquées dans le concret, pas uniquement que les probas.

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#13 27-07-2016 22:05:02

Dlzlogic
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Léon a écrit :

Dlzlogic a écrit :

    La loi normale est une autre application.

Je ne vois pas en quoi une loi de probabilité est une application...

Il y a une petite ambiguïté sur ton utilisation de l'expression "loi de probabilité".
Par exemple, la loi uniforme est une loi de probabilité. Le résultat d'un tirage suivant cette loi sera conforme à la théorie des probabilité. La loi des grands nombres indique que les résultats des tirages seront conformes à la probabilité, c'est à dire l'équiprobabilité en l'occurrence, chaque issue a la même probabilité donc les résultats tendront vers l'égalité des résultats. Le TCL dit que les écarts à la moyenne, ou plutôt au résultat obtenu seront conformes à la répartition normale.
Si tu tires avec un dé à 6 faces qui comporte deux faces notées '1', et pas de face notées '2', la probabilité de tirer '1' est 2/6 = 1/3. Sur un grand nombre de tirages on pourra vérifier que la proportion de résultats '1' est bien 1/3. 
Quant à la répartition dite "normale", il n'est pas possible d'avoir un résultat honnête et sans erreur qui ne respecte pas cela.
Ce qu'on appelle généralement une loi de probabilité est une description de la façon dont on réalise une expérience. La loi normale est le résultat, qui est toujours le même, quel que soit la loi de probabilité de l'expérience, pourvu que l'expérience soit réalisée de la même façon, tout au long de la dite expérience, c'est à dire, dans l'énoncé du théorème TCL, on peut lire "de même loi".
     
Autre exemple, imaginons une expérience dont la "loi de probabilité" est "inconnue" ou "effroyablement compliquée", les résultats seront conforme à la loi des grands nombres, sans grand intérêt en l'occurrence, par contre, et c'est ça qui est important, la répartition des écarts à la "moyenne" seront conformes à la répartition normale. J'ai mis "moyenne" entre guillemets parce que il ne s'agit pas forcément d'une moyenne arithmétique de nombres réels, cela peut être plus compliqué, mais généralement, on s'arrange pour trouver un résultat propre à calculer une moyenne arithmétique. 
Bien sûr, je peux donner des exemples réels.

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#14 28-07-2016 07:06:05

yoshi
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonjour,

Sujet déplacé.
Où comment une demande d'entraide (?) vire au cours magistral pontifiage...
Donc, la controverse se poursuivra ailleurs... en attendant qu'Anastasie se manifeste !
C'est que je commence à en avoir plein le dos de tes interventions.

Hier, j'étais "déçu" : le TCL n'était pas cité. Aujourd'hui, c'est fait.
J'attends maintenant Jacques Harthong, le paradoxe de Bertrand etc.

   A bon entendeur...

      Yoshi
- Modérateur -


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#15 28-07-2016 11:25:25

freddy
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

@yoshi,

et Monty - Hall n'est pas encore arrivé, mais ça ne saurais tarder ...
Yvette ne sait jouer que de l'accordéon,
la clarinette demande un certain temps d'apprentissage !

D'ailleurs, dans apprentissage, il y a apprenti et sage :-)))) Notre ami est bien l'un, mais oublie d'être l'autre, ce qui, à son âge, est rédhibitoire.

J'ai un idée : il y a maintenant les MOOC sur Internet, pourquoi Yvette n'irait-t-il pas s'instruire ?

Enjoy Yvette !

Dernière modification par freddy (28-07-2016 15:15:52)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#16 28-07-2016 12:47:40

Dlzlogic
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonjour Yoshi,
J'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre ton intervention et les insultes de Freddy.
Il y a quelques jours, j'ai ouvert un sujet parce que j'avais un problème précis et je crois avoir détaillé suffisamment.
J'avoue avoir été déçu par les réponses et ma réaction a été un peu vive, je l'admet. Tu as fermé le sujet.
Le lendemain, j'avais trouvé la solution à mon problème, alors par rigueur et par correction pour ceux qui l'auraient lu, j'ai ouvert un autre sujet pour expliquer la solution. Là, un contradicteur patenté a systématique contré toutes mes phrases. Aurais-je du laisser tomber ? Tu m'as déjà demandé pourquoi je ne répondais pas. J'ai répondu calmement sans insultes en répétant ce que j'essaye vainement de lui expliquer depuis des années. Les mathématiques font partie des sciences où l'obligation de preuve est incontournable. S'il y a un point où j'ai avancé des choses sans le prouver, qu'on me le dise. Mais au vu de certaines réponses, j'ai peu d'espoir d'y arriver, d'autres beaucoup plus compétents que moi et titulaires d'un titre universitaire n'y sont pas parvenus.
A l'avenir je m'en tiendrai à ne plus demander d'aide et à éviter de donner le résultat lorsque j'aurai trouvé. 
Bonne journée.

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#17 30-07-2016 19:16:45

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Bonsoir,

Dlzlogic a écrit :
Léon a écrit :

Dlzlogic a écrit : La loi normale est une autre application.

Je ne vois pas en quoi une loi de probabilité est une application...

Il y a une petite ambiguïté sur ton utilisation de l'expression "loi de probabilité".

je ne fais que réécrire ta phrase !

Dlzlogic a écrit :

Par exemple, la loi uniforme est une loi de probabilité. Le résultat d'un tirage suivant cette loi sera conforme à la théorie des probabilité.

qu'est ce que cela veut dire ??

Dlzlogic a écrit :

La loi des grands nombres indique que les résultats des tirages seront conformes à la probabilité, c'est à dire l'équiprobabilité en l'occurrence, chaque issue a la même probabilité donc les résultats tendront vers l'égalité des résultats.

quels résultats ? le nombre de fois qu'un même tirage a eu lieu, ou la fréquence d'un même tirage, ou autre chose ??

Dlzlogic a écrit :

Le TCL dit que les écarts à la moyenne, ou plutôt au résultat obtenu seront conformes à la répartition normale.

Si tu tires X uniformément sur l'intervalle [a,b] alors les écarts à la moyenne X - (a+b)/2 suivent une loi uniforme sur l'intervalle [(a-b)/2, (b-a)/2] . C'est une évidence...

Le TCL ne parle pas des tirages suivant une loi de probabilité, mais de la SOMME (ou MOYENNE) des tirages... Déjà dit 1000 fois...

Dlzlogic a écrit :

Quant à la répartition dite "normale", il n'est pas possible d'avoir un résultat honnête et sans erreur qui ne respecte pas cela.

qu'est ce que cela veut dire ??

Dlzlogic a écrit :

Ce qu'on appelle généralement une loi de probabilité est une description de la façon dont on réalise une expérience.

vraiment mal dit : une description d'une expérience peut se faire en précisant une loi de probabilité, ou bien c'est la description de l'expérience permet de spécifier une loi de probabilité

Pour savoir ce qu'on appelle loi de probabilité, il faut lire une définition mathématique !

Dlzlogic a écrit :

La loi normale est le résultat, qui est toujours le même, quel que soit la loi de probabilité de l'expérience, pourvu que l'expérience soit réalisée de la même façon, tout au long de la dite expérience, c'est à dire, dans l'énoncé du théorème TCL, on peut lire "de même loi".

qu'est ce que cela veut dire ??

Dlzlogic a écrit :

     
Autre exemple, imaginons une expérience dont la "loi de probabilité" est "inconnue" ou "effroyablement compliquée", les résultats seront conforme à la loi des grands nombres, sans grand intérêt en l'occurrence, par contre, et c'est ça qui est important, la répartition des écarts à la "moyenne" seront conformes à la répartition normale. J'ai mis "moyenne" entre guillemets parce que il ne s'agit pas forcément d'une moyenne arithmétique de nombres réels, cela peut être plus compliqué, mais généralement, on s'arrange pour trouver un résultat propre à calculer une moyenne arithmétique. 
Bien sûr, je peux donner des exemples réels.

Pour  bien comprendre et expliquer le TCL sans faire des raccourcis qui font contre-sens, il faut surtout que tu relises attentivement ce que tu as copié/coller ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=8628

Dernière modification par leon1789 (30-07-2016 20:31:15)

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#18 30-07-2016 19:53:03

leon1789
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Re : Propriété de la courbe de Gauss

Dlzlogic a écrit :

S'il y a un point où j'ai avancé des choses sans le prouver, qu'on me le dise.

Ben en fait, tu ne fais JAMAIS de preuve de quoi que ce soit en proba-stats...
car il faudrait que tu fasses comme tous les matheux : utiliser les définitions et les théorèmes tels qu'ils sont énoncés... et pas vouloir expliquer des maths uniquement qu'avec de mots comme on le faisait au moyen-âge... Si le formalisme mathématique a été inventé, utilisé, rénové (depuis 500 ans), c'est qu'il y a une bonne raison !

Dlzlogic a écrit :

Mais au vu de certaines réponses, j'ai peu d'espoir d'y arriver, d'autres beaucoup plus compétents que moi et titulaires d'un titre universitaire n'y sont pas parvenus.

Effectivement, même les plus compétents (enseignants-chercheurs spécialistes des proba-stats par exemple) ou les plus pédagogues (moult enseignants en lycée, à la fac, ou à polytechnique, ou aux ENS, etc.) n'ont jamais réussi à te faire comprendre le b.a.ba [du formalisme] des proba-stats de sorte à ce que tu puisses corriger tes affirmations grossièrement incorrectes. Pour des exemples d'affirmations fausses, voir mon message ci-dessus...

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