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#26 20-07-2016 07:11:35

Yassine
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Re : Un jeu débile

Bravo à Terces et Zorblub.
Pour être plus complet, le choix du nombre $a$ doit se faire selon une loi qui garantisse que pour tous réels distincts $x$ et $y$ on ait $\mathbb{P}(a \in ]x,y]) > 0$. On peut par exemple choisir une distribution gaussienne. Si on note $p_{xy}$ cette probabilité (j'ai mis l'indice $xy$ pour souligner que ça dépend des nombres choisis par l'animateur du jeu), et que ma stratégie est de comparer à $a$ le nombre communiqué par l'animateur, disons $z$. Si $z < a$, je dis que l'autre nombre est supérieur à $z$, sinon, je dis qu'il est inférieur. La probabilité de gagner sera donc $p_{xy} + (1-p_{xy})\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1+p_{xy}) > \frac{1}{2}$.
Il convient néanmoins de noter que cette minoration n'est pas uniforme (je ne peux pas trouver une constante $C> \frac{1}{2}$ qui marche pour tous les $(x,y)$). En choisissant les deux nombres arbitrairement proches, l'animateur peut ramener cette probabilité vers $\frac{1}{2}$.
A noter également que ça ne dépend pas du fait que les nombres aient été choisis au hasard ou non, parce que l'espérance d'une variable strictement supérieur à $\frac{1}{2}$ et strictement supérieur à $\frac{1}{2}$.

--EDIT--
Correction d'une coquille : il faut lire $=\frac{1}{2}(1+p_{xy})$ et non $=\frac{1}{2}+p_{xy}$ comme ecrit précédemment.

Dernière modification par Yassine (20-07-2016 16:43:01)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#27 20-07-2016 10:52:32

freddy
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Re : Un jeu débile

Salut Yassine,

tu choisis [tex]a[/tex] à quel moment ? Avant de connaître [tex]z[/tex] ou après ? Ce n'est pas très clair pour moi.

En outre, je reformulerais le pb autrement en disant : on peut jouer naïvement (et ce n'est pas une mauvaise réponse, proba de gagner 50 %) ou alors, on peut améliorer la proba de gagner par une stratégie à mettre au point.
Ta présentation est beaucoup trop manichéenne à mon goût, la solution naïve n'est pas fausse, on peut trouver plus performant, c'est tout.


Memento Mori ! ...

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#28 20-07-2016 12:14:32

Yassine
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Re : Un jeu débile

Salut Freddy,
Le temps ne joue aucun rôle dans cet exercice. On peut si on veut estimer que tout se passe à $t=0$. L'animateur peut choisir ses nombres selon sa propre procédure (choix au hasard ou deux nombres qu'il utilise à chaque fois). Le joueur tire un nombre selon la distribution gaussienne de manière complétement indépendante. Il y a une probabilité $p>0$ que le nombre tiré soit compris entre les deux nombres de l'animateur.

Plus formellement, on montre d'abord que $P(\textrm{joueur a raison}\ |\ X=x, Y=y) > \frac{1}{2}$, ensuite, on a $P(\textrm{joueur a raison}) = \int \int P(\textrm{joueur a raison}\ |\ X=x, Y=y)f(x,y)dxdy > \frac{1}{2}$ où j'ai noté $f(x,y)$ la densité de la probabilité jointe de $(X,Y)$.

Je ne suis pas sûr de voir en quoi ma présentation est manichéenne.
La question n'est pas de connaître toutes les stratégies possibles (la naïve en étant une en effet), mais de trouver une stratégie qui augmente la probabilité de gagner au delà de 1/2. Et répondre que c'est impossible est faux (puisqu'on exhibe une stratégie qui peut le faire).


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#29 20-07-2016 12:40:34

Terces
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Re : Un jeu débile

Re,
Moi il y a des petits trucs qui me dérangent : On a un joueur qui tire au hasard 2 nombres n1 et n2, si on ne prends pas en compte le caractère humain du joueur, j'ai du mal à visualiser le fait de tirer 2 nombres aléatoirement sur un ensemble infini n1 et n2 : si je ne dis pas de bêtise la différence entre n1 et n2 devrait être infinie.

Pour moi on ne peux pas jouer à ce jeu sans bornes ou utilisation du caractère humain => loi normale. Ceci remet alors en question les méthodes possibles pour répondre à la question initiale.

PS : ca veut dire quoi "Memento Mori !..." ?

Dernière modification par Terces (20-07-2016 13:21:05)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#30 20-07-2016 13:14:54

freddy
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Re : Un jeu débile

Re,

pas d'accord, il y a une proba non nulle aussi que le choix soit à l'extérieur de l'intervalle x, y ... Comprends pas bien ton truc, là ! Pourquoi 1/2 de[tex] 1-p_{xy}[/tex] et pas aussi 1/2 de[tex] p_{xy}[/tex] ?


Memento Mori ! ...

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#31 20-07-2016 13:26:19

Yassine
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Re : Un jeu débile

freddy a écrit :

Re,

pas d'accord, il y a une proba non nulle aussi que le choix soit à l'extérieur de l'intervalle x, y ... Comprends pas bien ton truc, là ! Pourquoi 1/2 de[tex] 1-p_{xy}[/tex] et pas aussi 1/2 de[tex] p_{xy}[/tex] ?

J'oublie le conditionnement $X=x,Y=y$ pour ne pas alourdir mes notations.
On a, par la règle des probabilités totales $P(\textrm{joueur a raison}) = P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \in ]x,y])P(a \in ]x,y]) + P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \notin ]x,y])P(a \notin ]x,y]) $
On a $P(a \in ]x,y]) = p_{xy}$ et $P(a \notin ]x,y]) = 1-p_{xy}$.
Par ailleurs, on a vu que $P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \in ]x,y]) = 1$ et $P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \notin ]x,y])=\frac{1}{2}$, ce qui donne bien $p_{xy} + \frac{1}{2}(1-p_{xy})$.


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#32 20-07-2016 13:31:30

freddy
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Re : Un jeu débile

@tercès,

"Memento Mori ..."= souviens toi que tu es mortel !

Début d'une citation d'un homme du rang à un général romain célébrant sa victoire, je ne sais plus lequel.
Perso, il y a deux ans, j'entrais dans un centre hospitalier de renom "international" pour y être soigné d'une maladie dont le nom commence par un "c" qui peut t'emporter en moins de trois mois si tu ne fais rien. J'ai fini les soins qui m'ont bien mis "par terre" durant plus d'un an et suis en observation pour plusieurs années.
Donc maintenant, je dis que je me suis souvenu que j'étais aussi mortel, comme chacun d'entre nous.

Quand je serai déclaré "guéri", je changerai de citation et écrirai par exemple :"Carpe diem ! ... " ou une autre citation latine que je trouverai adaptée.

Au tout début de mon inscription sur ce site, j'avais écrit : "More Majorum ... ad Unum" citation empruntée aux Troupes de Marines où j'ai fait "mon régiment" en 1974.
Cela veut dire : "Mieux que le meilleur, ... jusqu'au dernier". La légion étrangère  s'arrête aux premiers termes, en souvenir de la bataille de Cameron, au Mexique, au 19ième siècle, où il se sont battus à 1 contre 10 !
Pour moi, ça veut dire que je chercherai toujours à me surpasser, tant que je le pourrais !


Memento Mori ! ...

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#33 20-07-2016 13:43:15

Yassine
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Re : Un jeu débile

Terces a écrit :

Re,
Moi il y a des petits trucs qui me dérangent : On a un joueur qui tire au hasard 2 nombres n1 et n2, si on ne prends pas en compte le caractère humain du joueur, j'ai du mal à visualiser le fait de tirer 2 nombres aléatoirement sur un ensemble infini n1 et n2 : si je ne dis pas de bêtise la différence entre n1 et n2 devrait être infinie.

Pour moi on ne peux pas jouer à ce jeu sans bornes ou utilisation du caractère humain => loi normale. Ceci remet alors en question les méthodes possibles pour répondre à la question initiale.

PS : ca veut dire quoi "Memento Mori !..." ?

Je ne pense pas qu'il y ait de différence de nature entre tirer un nombre au hasard sur $\mathbb{R}$ et tirer deux nombres sur $\mathbb{R}$ : choisir un point au hasard sur une droite infinie ou choisir un point au hasard dans un plan infini devrait être tout aussi "simple" ou "problématique". De plus, comme $\mathbb{R}^2$ peut être mis en bijection avec $\mathbb{R}$, on peut passer d'un cas à l'autre sans problème. Restreindre à un intervalle ne simplifie pas particulièrement (tout intervalle ouvert est bijectif avec $\mathbb{R}$).

La vraie problématique est en effet la manipulation de l'infini. Choisir au hasard dans un ensemble infini n'est pas particulièrement intuitif, et c'est pourquoi, quand on manipule des probabilités dans le cadre continu, il est indispensable de revenir au cadre axiomatique. Quand on dit que le joueur tire au hasard un nombre suivant une loi gaussienne, on est juste en train de parler d'une fonction $a: \Omega \to \mathbb{R}$ telle que $P(a \in [x, x+dx[)=n(x)dx$ où $n(x)$ est la densité de la loi normale (centrée réduite). Il n'y a pas de choix, pas de hasard, rien. J’énumère des propriétés sur des fonctions.


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#34 20-07-2016 14:48:05

freddy
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Re : Un jeu débile

@Yassine,

ok vu, compris !


Memento Mori ! ...

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#35 20-07-2016 23:51:01

Boody
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Re : Un jeu débile

Bonsoir,

Yassine a écrit :

... Et répondre que c'est impossible est faux (puisqu'on exhibe une stratégie qui peut le faire).

j'ai fini par lire la solution de Terces et l'explication de Zorblub, c'est simple, c'est clair, c'est évident ...
... en fait non la solution est aussi simple qu'elle n'est pas évidente à trouver. :)

Très bon problème, thk.


Yassine a écrit :

[...(tout intervalle ouvert est bijectif avec $\mathbb{R}$)...

pour ma culture personnelle ce n'est pas vrai également pour tout intervalle fermé [a,b] avec a ≠ b ?

Dernière modification par Boody (21-07-2016 00:08:52)


“il n’existe que 10 sortes de personnes, celles qui comprennent le binaire et les autres.”
Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît... (just in case : ) )

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#36 21-07-2016 07:02:09

Yassine
Membre
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Re : Un jeu débile

Bonjour Boody,

Boody a écrit :

pour ma culture personnelle ce n'est pas vrai également pour tout intervalle fermé [a,b] avec a ≠ b ?

Disons que si on veut une bijection "sympathique" (c'est à dire au moins continue), la réponse est non (l'image d'un compact est un compact, donc bornée).
Si on enlève cette restriction, la réponse est oui. On peut construire une injection de $[a,b] \to \mathbb{R}$ (l'inclusion) et une injection de $\mathbb{R} \to [a,b]$ (prendre une fonction type arctan et s'arranger pour avoir $\displaystyle \lim_{-\infty}f = a$ et $\displaystyle \lim_{+\infty}f = b$). Alors, d'après le théorème de Cantor-Bernstein, il existe une bijection de $[a,b] \to \mathbb{R}$.


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