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#1 07-07-2016 10:19:43

Elie
Invité

Hauteur d'un triangle

Bonjour,

Je vous prie de m'excuser une question aussi élémentaire : je cherche à calculer la hauteur d'un triangle connaissant la longueur des trois côtés.

(essai avec la formule alpha = acos( (a²+b²-c²) / 2ab ) ou a et b sont les cotés d'alpha, puis, pour h hauteur opposée à alpha, h = a * sin(alpha) on obtient h=0 (sauf erreur) par exemple pour a=50, b=60, c=10).

Ou un autre essai, "pythagorien" (ici les longueurs sont d1, d2, d3, et d3 = a + b ) :

                    d3 = a+b ; b=d3-a;
             h²+a²= d1²; h²+b²=d2²; d1²-a² = d2²-b²; d1²-a² = d2²- (d3-a)²;
             d1²-a² = d2² - ( d3² - 2ad3 + a²);
             d1²-a² = d2² - d3² + 2ad3 - a²;
             d1² = d2² - d3² + 2ad3;
             a = (d1² - d2² + d3²) / 2*d3;
             h = sqrt(d1²-a²)

Même comportement.

Merci beaucoup de votre aide...

#2 08-07-2016 11:31:50

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : Hauteur d'un triangle

Bonjour,

Considérons un triangle ABC sans angle obtus. On note $a$, $b$ et $c$ les longueurs respectives des segments opposés aux sommets A, B et C.
Nous cherchons la longueur $h$ de la hauteur issue de A.

Le triangle n'ayant pas d'angle obtus, la hauteur issue de A coupe le segment [BC] en H.
On note $x$ et $y$ les longueurs respectives des segments [CH] et [BH].
On a donc $a=x+y$.

D'après Pythagore, on obtient les relations :
$b^2=x^2+h^2$     (1)
$c^2=y^2+h^2$     (2)

$b^2-c^2=x^2-y^2$     (1)-(2)
$b^2+c^2=x^2+y^2+2h^2$     (1)+(2)

$b^2-c^2=a(x-y)$
$b^2+c^2=a^2-2xy+2h^2$

On a donc
$\displaystyle h^2=\frac{-a^2+b^2+c^2+2xy}{2}$     (3)
avec $\displaystyle x=\frac{b^2-c^2+ay}{a}$
et $y=a-x$

En combinant les deux dernières relations, on obtient
$\displaystyle x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$
et $\displaystyle y=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}$

que l'on réinjecte dans (3) pour obtenir
$\displaystyle h^2=\frac{-a^2+b^2+c^2+(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)}{4a^2}$


C'est une solution moins moche que celle à laquelle je m'attendais.
Je ne sais pas s'il existe une signification géométrique de ces $\pm a^2\pm b^2\pm c^2$.

Et il reste à vérifier si ça fonctionne aussi pour un triangle quelconque.

Dernière modification par tibo (08-07-2016 11:36:39)


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#3 08-07-2016 12:27:44

Dlzlogic
Banni(e)
Inscription : 25-04-2016
Messages : 461

Re : Hauteur d'un triangle

Bonjour,
A mon avis, il faudrait savoir dans quel contexte on se situe.
Lors qu'on a une suite d'opération d'addition ou de soustraction avec des nombres assez grands, puisque ce sont des carrés, on perd de la précision.
Il est bien évident que la condition que la somme de deux côté doit être inférieure au troisième côté (votre exemple est faux).
On peut adopter un système de coordonnées locales. L'aire du triangle est égale à la moitié du produit de la base par la hauteur.
On peur calculer l'aire par la formule S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c)).
La méthode trigonométrique n'est pas à rejeter non plus, l'inversion du sinus n'est pas ambigüe comme celle du cosinus. 
A vous de continuer.

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#4 08-07-2016 13:56:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 385

Re : Hauteur d'un triangle

Bonjour,

a=50, b=60, c=10 Ceci est un triangle aplati : mauvais exemple...

Dans ce qui suit je prends un triangle ABC, si [tex]\hat B[/tex] et [tex]\hat C[/tex] aigus, H pied de la hauteur issue de A est située ente B et C sinon tibo ne peut pas partir de a = x + y( BC = BH +CH)

Dlzlogic a écrit :

Il est bien évident que la condition que la somme de deux côté doit être inférieure au troisième côté (votre exemple est faux).

Il est prudent de se relire...
L'inégalité triangulaire précise que la somme des longueurs de 2 côtés doit toujours être supérieure à celle du 3e côté...
En cas d'égalité, on a le cas du triangle aplati.

On peur calculer l'aire par la formule S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Préciser que c'est la formule de Héron, où p est le demi-périmètre du triangle.
En utilisant S :
[tex]AH=\frac{2S}{BC}[/tex]

Elie a écrit :

Même comportement.

Qu'est-ce qui ne va pas ?

@+


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#5 08-07-2016 15:11:10

Dlzlogic
Banni(e)
Inscription : 25-04-2016
Messages : 461

Re : Hauteur d'un triangle

@ Yoshi,
Bien vu supérieur <==> inférieur. Merci.
Oui, à propos d'égalité entre un nombre réel et la somme de deux nombres réels, c'est un sujet très débattu. Sauf cas particulier à préciser, la longueur d'un côté d'un triangle est un nombre réel. 
Ce nom de formule de Héron est apparu dernièrement. Il ne figure pas sur mon formulaire.

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#6 08-07-2016 15:43:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 385

Re : Hauteur d'un triangle

Salut,

Maths et tique a écrit :

Si la formule porte son nom, c'est parce qu'il l'a démontrée. La démonstration a été retrouvée en 1896 à Constantinople dans l'ouvrage Metrica. Cette formule étonnante de simplicité est pourtant méconnue des collégiens. Elle permet de calculer l’aire d’un triangle quelconque à partir de la longueur de ses côtés

J'ai fait un énorme travail en utilisant la formule de Héron à partir de longueurs entières en prenant la suite d'un membre qu'on ne voit plus : totomm
Ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6918

Quant à Elie, il a tiré sa formule du théorème d'Al Kashi.
J'ai lu plusieurs fois qu'il y avait des erreurs en cas de petit angle : j'ai cherché de nouveau, je n'ai pas retrouvé la référence...
Il ne paraît de toutes façons pas approprié d'utiliser cette méthode : trop d'imprécision dans le résultat final !

@+


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#7 08-07-2016 16:57:09

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 200

Re : Hauteur d'un triangle

Les techniques de tibo, dlzlogic et yoshi donnent le même résultat :
$$h = \frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2a}$$

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#8 09-07-2016 10:40:13

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : Hauteur d'un triangle

Bon j'ai peur que ça parte en hors sujet mais ça m'intrigue.

Dlz a écrit :

Lors qu'on a une suite d'opération d'addition ou de soustraction avec des nombres assez grands, puisque ce sont des carrés, on perd de la précision.

Je ne comprend pas ce que tu entends par "on perd de la précision".

Dlz a écrit :

à propos d'égalité entre un nombre réel et la somme de deux nombres réels, c'est un sujet très débattu.

Ha bon? Jamais vu de débat à ce sujet là.


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#9 09-07-2016 12:22:07

Dlzlogic
Banni(e)
Inscription : 25-04-2016
Messages : 461

Re : Hauteur d'un triangle

Bonjour Tibo,
Pour éviter la caractéristique [HS], je vais répondre en 2 mots.
Je faisais allusion au calcul avec l'informatique.
Si tu soustrais deux nombre comparables, tu obtiendra un nombre plus petit que le plus petit des deux. Si les deux nombres avaient le même nombre de chiffres significatifs, alors on a perdu sur le nombre de chiffres significatifs, donc de précision.
Nombre réels : une petite vérification facile. Avec un tableur quelconque tu crée un segment quelconque. Tu le divises en deux parties égales. Tu as donc deux segments égaux. Tu fais le test "AC ?= CB", par exemple avec Pythagore et tu comptes la proportion de résultats positifs.

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#10 09-07-2016 13:01:04

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : Hauteur d'un triangle

Re,

Dlz a écrit :

Je faisais allusion au calcul avec l'informatique.

Ok c'est bien ce que je pensais. Donc rien à voir avec la discussion alors en cours.
Fin du HS


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#11 11-07-2016 12:37:30

Elie
Invité

Re : Hauteur d'un triangle

Un grand merci à tous les contributeurs. Il suffisait de se souvenir que toutes les combinaisons de longueurs des côtés d'un triangles ne sont pas possibles !
Pour votre information par rapport aux questions qui me sont posées :
- le champ d'application est la géographie (géodésie).
- Ce qui ne me convenait pas était d'obtenir une hauteur nulle pour un triangle aplati, ce qui somme toute, n'est pas si étonnant !

Merci encore

Elie

#12 11-07-2016 13:34:51

Dlzlogic
Banni(e)
Inscription : 25-04-2016
Messages : 461

Re : Hauteur d'un triangle

Bonjour,
Si c'est pour de la géodésie, c'est à dire de grandes longueurs, alors faites très attention aux opérations avec des grands nombres. J'insiste vraiment sur ce point : si vous faites la soustraction (ou l'addition) entre des carrés, vous perdez forcément de la précision.
D'autre part, à partir d'une certaine distance, on ne peut plus considérer que la terre est plate. Donc, il faut utiliser la géométrie sphérique. Donc, je vous recommande la plus grande prudence.

Hors ligne

#13 11-07-2016 14:21:51

Elie
Invité

Re : Hauteur d'un triangle

Bonjour,

Merci bien de votre recommandation. Dans la plage de valeurs que j'utilise (infra kilométrique, en précision décimétrique), il ne semble pas y avoir trop de soucis. C'est plutôt la solution trigo qui induit une très légère erreur (ou plutôt différence avec les autres formules qui elles sont manifestement équivalentes). Sachant par ailleurs que cette solution paraît bien plus coûteuse (en calcul) que celle basée sur les (racines) carrés.

Elie

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