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#30 21-06-2016 05:38:25
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : La météorite.
Salut,
quelques solutions :
[tex]S_1 = \begin{Bmatrix} 3 & 7 & 17 & 79 & 127 & 137 \\ 11 & 13 & 29 & 89 & 97 & 131 \\ 19 & 41 & 53 & 71 & 83 & 103 \\ 23 & 31 & 37 & 59 & 107 & 113 \\ 43 & 47 & 61 & 67 & 73 & 79\end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_2 = \begin{Bmatrix} 3 & 7 & 47 & 97 & 107 & 109 \\ 11 & 37 & 41 & 79 & 89 & 113 \\ 13 & 23 & 31 & 73 & 103 & 127 \\ 17 & 19 & 29 & 67 & 101 & 137 \\ 43 & 53 & 59 & 61 & 71 & 83 \end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_3 = \begin{Bmatrix} 3 & 23 & 37 & 43 & 127 & 137 \\
7 & 29 & 71 & 73 & 89 & 101 \\
11 & 17 & 59 & 83 & 97 & 103 \\
13 & 41 & 47 & 53 & 107 & 109 \\
19 & 31 & 61 & 67 & 79 & 113 \end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_4 = \begin{Bmatrix}3 & 11 & 67 & 79 & 83 & 127 \\
7 & 29 & 61 & 73 & 97 & 103 \\
13 & 37 & 41 & 71 & 101 & 107 \\
17 & 19 & 31 & 53 & 113 & 137 \\
23 & 43 & 47 & 59 & 89 & 109 \end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_5 = \begin{Bmatrix} 3 & 13 & 17 & 97 & 113 & 127 \\
7 & 11 & 19 & 89 & 107 & 137 \\
23 & 29 & 31 & 83 & 101 & 103 \\
37 & 41 & 43 & 67 & 73 & 109 \\
47 & 53 & 59 & 61 & 71 & 79 \end{Bmatrix}[/tex]
Dernière modification par freddy (21-06-2016 05:50:19)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne
#31 22-06-2016 09:07:47
- jpp
- Membre
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- Messages : 1 105
Re : La météorite.
salut.
résolution.
Q1 :
Supposons qu'on puisse obtenir 5 lots de même masse .
On peut conclure immédiatement que:
_ La masse de 2kg (seul premier pair) est à exclure puisque dans ce cas un seul lot aurait une masse impaire.
_ Il y a 5 lots de même masse ; la masse totale confiée aux laboratoires est un multiple de 5. Et m = 5n
_ le nombre premier 5 , entrant dans la décomposition de m , ne fait pas parti des 30 "premiers"
et la masse de 5 kg est aussi à exclure puisque m est composé.
_ Donc le morceau exposé à la mairie du village possède une masse m = 5n kg ( n entier positif > 1 )
liste des 23 premiers irréductibles possibles
3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 dont la somme est 1053
puis viennent les 7 suivants 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131
La somme des 30 premiers termes donne déjà S = 1844 ; et à ce stade on s'aperçoit tout de suite que 2 et 5 sont les seuls nombres
pouvant être retiré de la liste ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 .... 109 , 113 ).
des premiers > 113 sont donc remplacés par d'autres plus grands ;
puisque S = 5L , mais on voit déjà que m < 25
sa masse est l'un de ces 2 nombres : 10 ou 20 et n = 2 ou 4
La masse de la météorite est 1870 kg. On sait aussi que la masse des roches analysées est un multiple de 5 .
Soit S cette masse , alors S = 5L et S + m = 1870 --> m = 1870 - 5L = 5 x (374 - L) = 5n
donc 374 - n = L est la masse d'un lot de 6 roches confié à chacun des laboratoires.
deux valeurs possibles pour L : 370 ou 372.
a) S = 5L = 5 x 372 = 1860 et m = 10 kg ;
b) S = 5L = 5 X 370 = 1850 et m = 20 kg
Ainsi si S = 1860 , 1860 - 1844 = 16 ; et là on ne peut remplacer que 2 nombres .
127 + 16 = 143 (non premier)
131 + 16 = 147 (non premier)
127 + 2 = 129 avec 131 + 14 = 145 (129 et 145 non premiers)
127 + 4 = 131 avec 131 + 12 = 143 ( 143 non premier)
127 + 6 = 133 avec 131 + 10 = 141 ( 133 et 141 non premiers)
127 + 8 = 135 avec 131 + 8 = 139 ( 135 est non premier)
127 + 10 = 137 avec 131 + 6 = 137 ( 2 premiers identiques interdits )
127 + 12 = 139 avec 131 + 4 = 135 ( 135 est non premier )
127 + 14 = 141 avec 131 + 2 = 133 ( 141 et 133 non premiers)
Il n'y a donc pas de solution avec S = 1860 , et la masse m est différente de 10.
Si S = 1850 , alors 1850 - 1844 = 6 ; et là on peut remplacer 131 par 137 qui est aussi un nombre premier ; unique solution.
La liste des 30 nombres premiers est la suivante:
3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 ,101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 137
La masse totale des 5 lots vaut donc 1850 kg. et le fragment de roche exposé possède une masse de 20 kg.
Q2 : Comment sommer 6 nombres premiers impairs et obtenir 370 qui est congru à 0 (mod 10)
Dans la liste S , 6 nombres terminent par 1 , 6 nombres terminent par 9 ,
9 nombres terminent par 3 et les 9 derniers par 7
Pour obtenir une congruence à 0 (mod 10) , voici au moins 5 associations possibles.
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 11 + 13 + 29 + 101 + 103 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 37 + 43 + 79 + 83 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370
Au moins une solution et chacun des "premiers" est unique dans le partage.
un autre partage :
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 13 + 29 + 101 + 83 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 11 + 37 + 43 + 79 + 103 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370
et il doit y en avoir bien d'autres...
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 11 + 13 + 29 + 101 + 103 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 67 + 43 + 79 + 53 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 83 + 59 + 61 + 37 + 89 = 370
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 23 + 37 + 43 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 13 + 29 + 101 + 83 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 7 + 11 + 73 + 79 + 103 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370
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