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#1 17-04-2016 09:12:08
- jpp
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La météorite.
salut.
Une météorite s'écrase sur une commune en France et se disloque en 31 morceaux , tous de masses distinctes .
On pèse chacun des 31 morceaux . Par le plus grand des hasards on s'est aperçu que chacune de ces 31 masses sauf une
était un nombre premier , et que le seul fragment ayant une masse composée m est tel que la décomposition de m
n'utilisait aucun des 30 premiers définissant les masses des fragments analysés par la suite. Par exemple si m = 91 , aucun des 30
autres fragments n'a une masse de 7 kg et de 13 kg. La masse totale des 31 fragments récupérés s'élève à 1,870 tonne
Les autorités décident de confier les 30 fragments de masse "première" à 5 laboratoires pour diverses analyses .
Ainsi les pierres sont divisées en 5 lots de 6 fragments ; ces 5 lots possèdent tous la même masse L kg .
La 31 ième pierre de masse "composée" est alors confiée à ladite commune victime de cet impact afin d'y être exposée.
Q1 : En supposant qu'on puisse faire 5 lots de même masse , quelle pierre fut confiée à la commune ? . Le justifier .
Q2 : Peut - on détailler chacun des 5 lots analysés ?
bon courage.
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#4 19-04-2016 09:10:43
- freddy
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Re : La météorite.
Re,
en tout cas, ça donne bien à cogiter sur les pptés des nombres premiers. Bon, je continue.
T'es sûr de toi, au moins ?:-)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#5 28-05-2016 17:31:33
- Yassine
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Re : La météorite.
Bonjour,
Demande de quelques précisions sur le pb :
chacune de ces 31 masses sauf une était un nombre premier
Est-ce que les 30 nombres premiers sont distincts ?
Q1 : En supposant qu'on puisse faire 5 lots de même masse , quelle pierre fut confiée à la commune ? . Le justifier
Que veux précisément dire la demande "quelle pierre" ? j'imagine que ce n'est pas la réponse "c'est la pierre dont la masse est composée" que tu attends ;-) Est-ce qu'on demande déjà de déterminer la masse de la pierre à ce stade ?
Q2 : Peut - on détailler chacun des 5 lots analysés ?
S'agit-il ici de donner la liste des 30 nombres premiers ?
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#6 28-05-2016 20:14:03
- jpp
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Re : La météorite.
salut Yassine.
31 masses distinctes , c'est dans le texte .
Q2 : oui il faudrait donner les 5 lots de 6 roches avec leurs masses , soit 5 lots de 6 premiers tous distincts . Ces 5 lots de même masse.
Q1 : on demande la masse composée en supposant que Q2 soit possible.
après lecture du texte on doit être en mesure de définir les "premiers" définissant m , ces "premiers" disparaissent donc de la liste des 30 masses premières.
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#9 04-06-2016 09:35:20
- jpp
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Re : La météorite.
salut.
Q1 On suppose d'abord que le partage puisse se faire . M , la masse composée est unique et non nulle , ainsi que la liste des 30 "premiers" distincts
Q2 Le partage peut se faire ; il y a même plusieurs solutions ; personnellement ça m'a pris une petite heure pour le faire avec crayon et papier.
En utilisant les congruences j'ai au moins 4 solutions pour les 5 lots de même masse L ; et je peux sûrement en trouver d'autres .
Pour en revenir à la somme S des 30 "premiers" autorisés , cette somme possède un minorant comme l'a montré yassine , et dans ce cas il n'y a pas beaucoup de nombres premiers pouvant être remplacé .
cherchez bien .
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#10 04-06-2016 15:53:57
- freddy
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Re : La météorite.
Re,
je suis plutôt à la recherche d'une procédure informatique pour résoudre ce problème, donc une solution manuelle m’intéresse assez peu pour le moment. Ensuite, je ne dis pas que je n'essayerai pas à la main. Le problème est que je n'ai pas une heure entière à y consacrer, mais plutôt quelques minutes par-ci, par-là.
A suivre donc !
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#11 06-06-2016 12:28:38
- freddy
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Re : La météorite.
Salut,
reprenons la Q1. OK pour le minimum donné par Yassine, savoir [tex]1844\le 5L+M[/tex].
Puisque la masse totale [tex]= 1874[/tex], on a alors [tex]M \le 26[/tex].
On sait que M est divisible par 5 et strictement positif, donc on a M = 5, 10, 15, 20 ou 25.
On sait aussi que [tex]5L+M = 1870 = 2\times 5 \times 11\times 17[/tex] donc M est aussi pair, ce qui réduit le champ des recherches à M = 10 ou 20. Donc L = 372 ou 370.
(...)
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#12 08-06-2016 08:15:38
- Yassine
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Re : La météorite.
Ci-après, une solution avec recours à Python !
Je n'ai pas trouvé de moyen "soft" de résoudre.
@jpp : ta solution est-elle purement "logique" ?
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#15 08-06-2016 18:55:27
- freddy
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Re : La météorite.
Re,
@Yassine : en la matière, il y a un résultat intéressant à connaitre qui énonce :
si [tex]p[/tex] est premier distinct de 2 et 3 (et 5, bien sûr :-)), alors [tex]p \in \{1,\; 7,\; 11\;, 13\;, 17,\; 19,\; 23,\; 29\}[/tex] modulo 30.
Attention, la réciproque est bien entendu fausse.
Je n'ai pas encore cherché à exploiter ce résultat.
Dernière modification par freddy (08-06-2016 22:30:04)
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#16 08-06-2016 22:05:17
- Yassine
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Re : La météorite.
Bonsoir Freddy,
Disons que je connais ce résultat sous sa forme générale : si $p$ est premier et qu'il ne divise pas $n$, alors il est premier avec $n$ (il faut d'ailleurs préciser $p$ distinct de 2,3 et 5 pour le cas 30).
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#17 08-06-2016 22:33:10
- freddy
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Re : La météorite.
Re,
Euh, ça va plus loin : dans la parenthèse figurent les restes de la division de [tex]p[/tex] par [tex]30[/tex], nombres premiers (sauf 1) inférieurs à 30. C'est ce point qui me paraissait intéressant à remarquer.
Mais tu as sûrement déjà compris.
Dernière modification par freddy (08-06-2016 22:48:36)
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#18 09-06-2016 13:57:20
- Yassine
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Re : La météorite.
Bonjour,
Un complément moins "bourrin" à ma solution
Dernière modification par Yassine (09-06-2016 15:42:10)
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#19 09-06-2016 14:45:41
- freddy
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Re : La météorite.
Euh ... comment dire ...
[tex]5\times 372 = 1.860 = 0\; [3][/tex] non ?
PS : oui, bien sûr, je viens de corriger. L'essentiel a été compris, no souci.
Dernière modification par freddy (09-06-2016 16:06:03)
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#20 09-06-2016 15:38:24
- Yassine
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Re : La météorite.
Euh ... comment dire ...
[tex]5\times 372 = 1.560 = 0\; [3][/tex] non ?
Non, $5\times 372 = 1.860$ et c'est en effet $=0$ mod $3$ ($5\times372 = 5 \times 0 = 0\ [3]$).
Mais je pense que je me suis planté dans mon raisonnement (je pensais avoir calculé la somme totale par un autre moyen !). Je regarde ça
Dernière modification par Yassine (09-06-2016 15:39:31)
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#21 13-06-2016 09:32:59
- freddy
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Re : La météorite.
Salut,
@Yassine : pourquoi ne prendre que les 34 premiers nombres premiers ? je trouve des résultats (6-uplets dont la somme est égale à 370) avec 6 des 64 premiers nombres premiers. Pour 372, il faut pousser un peu plus loin.
@jpp : il est temps que tu nous expliques ta méthode, tu ne trouves pas ?
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#22 13-06-2016 12:11:22
- Yassine
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Re : La météorite.
Salut Freddy,
C'était la conséquence de mon constat 4 : Si on est dans le cas où la masse composée vaut $10$, alors la somme totale vaut $1860$.
J'ai donc écrit la somme totale comme $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i$ et j'utilise le fait que $\sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq \sum_{i=1}^{29} \alpha_i$ où je note $\alpha_i$ les $29$ premiers nombres premiers ne contenant ni 2 ni 5. Soit $\sum_{i=1}^{29} \alpha_i = 1713$.
On a donc $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq p_{max} + \sum_{i=1}^{29} \alpha_i = p_{max} + 1713$, soit encore $p_{max} \leq 1860 - 1713 = 147$. Donc, au plus $p_{max}=139$.
Dans le deuxième cas, la condition finale s'écrie $p_{max} \leq 1850 - 1713 = 137$. Donc, au plus $p_{max}=137$.
Je me suis trompé dans ma solution. C'est uniquement 32 qu'il faut considérer et non 34 !
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#23 13-06-2016 12:14:07
- Yassine
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Re : La météorite.
Du coup, si ce n'est pas erroné, je demande encore un peu de temps de réflexion parce que j'avais uniquement regardé le cas avec 34 nombres. Si ce sont que 32 candidats, j'ai peut être une chance !
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#24 13-06-2016 18:05:54
- freddy
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Re : La météorite.
Salut Freddy,
C'était la conséquence de mon constat 4 : Si on est dans le cas où la masse composée vaut $10$, alors la somme totale vaut $1860$.
J'ai donc écrit la somme totale comme $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i$ et j'utilise le fait que $\sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq \sum_{i=1}^{29} \alpha_i$ où je note $\alpha_i$ les $29$ premiers nombres premiers ne contenant ni 2 ni 5. Soit $\sum_{i=1}^{29} \alpha_i = 1713$.
On a donc $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq p_{max} + \sum_{i=1}^{29} \alpha_i = p_{max} + 1713$, soit encore $p_{max} \leq 1860 - 1713 = 147$. Donc, au plus $p_{max}=139$.Dans le deuxième cas, la condition finale s'écrie $p_{max} \leq 1850 - 1713 = 137$. Donc, au plus $p_{max}=137$.
Je me suis trompé dans ma solution. C'est uniquement 32 qu'il faut considérer et non 34 !
Exact, ok. De fait, ça simplifie considérablement la recherche sur tableur !
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#25 14-06-2016 17:03:15
- Yassine
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Re : La météorite.
Une solution qui fait le job, un peu bourrine tout de même
Dernière modification par Yassine (14-06-2016 21:34:55)
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