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#1 11-12-2005 15:20:01

Yves.hulin
Membre
Inscription : 11-12-2005
Messages : 2

[Résolu] produit scalaire

J'aide mon fils pour son examen de math et ne trouve pas réponse à certaines questions . Quelqu'un peut-il m'aider?

1 Donner la définition trigonométrique du produit scalaire de 2 vecteurs. Etudier les cas de vecteurs parallèles, de vecteurs orthogonaux. Donner et démontrer la formule du produit scalaire par projection.

2 Définir le carré scalaire d'un vecteur., la norme euclidienne d'un vecteur. Donner les propriétés de la norme euclidienne d'un vecteur.

3 Démontrer le théorème de Pythagore et le théorème d'Al Kashi en utilisant le produit scalaire.

Merci par avance

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#2 11-12-2005 18:56:35

J2L2
Invité

Re : [Résolu] produit scalaire

Bonsoir !

1 - produit scal de 2 vect = produit des normes (longueur du vecteur) multiplié par le cosinus de l'angle des 2 vecteurs.

vect parallèles : angle = 0 ; cosinus 0 = 1 donc : prod scal = produit des longueurs
vect orthog : angle = PI/2 (90°) ; cos PI/2 = 0, donc : prod scal = 0

On prend 2 droites D1 et D2 qui se coupent en O. On prend A sur D1 et B sur D2. Prod scal des vect OA et OB = val algébrique de OA multiplié par la val alg de la projection de OB sur D1 (démonstration facile en considérant l'angle de D1 et D2).

2 - carré scal d'un vect = prod scal de ce vecteur avec lui-même = sa norme au carré. Norme euclidienne du vect = racine carrée de son carré scalaire. La norme d'un vect est positive ou nulle ; elle est nulle si et seulement si le vect est le vect nul. La norme de a*V ou a est un réel et V un vect est égale à |a|* norme de V =
|a|*|V|. On a aussi : |U+V|=<|U|+|V|.

3 - th de Pythagore : on prend un triangle ABC rect en A. On utilise la formule de Chasles : en vecteurs BC = BA + AC, on élève tout ça au carré et ça donne BC au carré = BA^2 + AC^2 + 2 BA*AC Or, BA et AC sont orthog, donc leur prod scal est nul.

théorème d'Al Kashi : on fait pareil, on considère un triangle quelconque ABC et on écrit en vect : BC = BA + AC, on élève tout ça au carré et ça donne BC au carré = BA^2 + AC^2 + 2 BA*AC. On écrit donc cette fois-ci en longueurs et non en vect : BC^2 = BA^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cosA (A=angle des côtés AB et AC)

#3 11-12-2005 19:45:46

Yves.hulin
Membre
Inscription : 11-12-2005
Messages : 2

Re : [Résolu] produit scalaire

merci à J2L2 pour les solutions et bon week end

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