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HighSchool2005

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longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Bonjour,

je dois exprimer la longueur d'un intervalle borné J en fonction de sa fonction indicatrice [tex]1_J[/tex] , c'est à dire la fonction qui est nulle partout sauf sur J.
Alors, j'ai pensé à
[tex]longueur(J) = |b-a|[/tex]
avec [tex]J=[a,b][/tex] ou [tex]J=]a,b][/tex] ou [tex]J=[a,b[[/tex] ou [tex]J=]a,b[[/tex] , avec a et b finis dans R.
mais dans mon expression, je n'utilise pas [tex]1_J[/tex]
Sinon, j'ai aussi pensé à [tex]longueur(x)=|b-a| 1_J(x)[/tex] qui renvoit la longueur de J ssi [tex]x \in J[/tex] .
Normalement, je devrais en fait trouver la mesure de Lebesgue.
Pourriez-vous m'aider ?
Merci

Fred

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Et si tu essayais longueur(J)=intégrale (1_J)????

Fred.

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

oui de -infini à +infini ?

Fred

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Oui!

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Pour montrer que l'union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints est définie :
soit une suite [tex](J_n) n \in N[/tex] , une suite d'intervalles ouverts bornés disjoints. Par exemple, leur borne inférieure dans R est [tex](a_n)[/tex] et leur borne supérieure dans R est [tex](b_n)[/tex] , comme l'union est dénombrable, j'ai posé [tex]N \in R[/tex] et on a :
longueur(union des [tex]J_k[/tex]) = [tex]\sum_{k=0}^{N}{\int_{a_k}^{b_k}{1_{J_k}(x) \, dx}} <= (b_N - a_0)[/tex]

john

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Hello,

Pour montrer que l'union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints est définie :

Sauf erreur, la démonstration que tu proposes tente de répondre à la question :
"Montrer que la MESURE d'une union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints est définie." Si tu veux des réponses précises, il faut poser des questions précises...
A+

john

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Re,
et donc, si c'est bien là la question, il s'agit de montrer ( http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … esure.html ) que l'axiome d'"additivité dénombrable" est vérifié par L(A) (longueur de l'intervalle A).

L(Union des Ak pour k = 1..+oo) = Somme des L(Ak) pour k = 1..+oo

Ceci doit se démontrer assez facilement par récurrence sur k.
Mais comme je suis en limite de ce que je sais faire et que ça me semble trop simple, je vais quand-même demander l'avis d'un ami plus compétent.
Allô ! ... Fred ?
A+

Dernière modification par john (29-03-2007 15:32:58)

HighSchool2005

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

oui en fait, j'ai lu ce cours qui est sur BibMath et c'est en relation avec ma question mais dans mon cours d'intégration, nous n'avons pas abordé la notion de tribu ni vraiment de mesure. Nous avons seulement eu la définition d'un ensemble mesurable pour faire le lien entre intégration et dérivation et parler de l'intégrale de Lebesgue et de ses théorèmes géniaux de convergence !

donc ceci est en fait un exercice, j'ai trouvé des morceaux de réponses mais parfois, ma démonstration me semble un peu "légère" et je suis un peu sceptique car j'aurais pensé que cela devrait être plus compliqué ! Bref, je ne suis pas sure de ce que j'ai trouvé.
Je ne vous pose que des morceaux de questions qui me posent problème.

john

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Ok, mais quelle est la question exacte ? Car, tu as dû t'en rendre compte, dans ce genre de Pb, si on oublie une virgule ou un mot ça change tout !
A+

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Ma question : Comment montrer que l'union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints est définie ? J'ai proposé une réponse mais je ne suis pas sure que c'est juste.

john

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Hello,
Dommage que Fred soit en vacances...
La question est claire... et pour y répondre, tu dois avoir dans ton cours un th. du style "tout ouvert de R est une réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints" (la réciproque est vraie).
Il me semble que ta démonstration est fausse (mais je ne suis sûr de rien dans ce domaine...) car si on prend les ouverts ]n, n+1[ de R, la longueur de leur réunion peut croître indéfiniment. En revanche, l'union de ces ouverts reste un ouvert. Il reste à trouver la démo. du th.
A+

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

merci

Fred

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Je ne suis pas en vacances!
Mais je ne comprends pas la question!
Une réunion d'ensembles est toujours définie! Le fait que ce soit dénombrable,
que ce soit des intervalles disjoints n'y change rien....

Concernant la remarque de John, un ouvert est réunion dénombrable d'intervalles ouverts : il suffit de l'écrire comme réunion de ses composantes connexes (le seul point un peu sioux est de démontrer qu'il n'ya qu'un nombre dénombrable de telles composantes!).

Fred.

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

En fait, je viens de rendre compte que mon message de 10:10:10 répond à la (c) (enfin, je crois) mais je ne vois pas où interviennent les théorèmes de convergence du cours d'intégration...

Les 2 questions sont en fait exactement :

Après avoir écrit la longueur d'un intervalle J borné en fonction de [tex]1_J[/tex] (déjà résolu plus ci-dessus)
(c)En déduire qu’on peut définir la mesure d’une union dénombrable d’intervalles ouverts
bornés disjoints (penser aux théorèmes de convergence vus en cours).
(d) Montrer qu’un ouvert borné est union dénombrable d’intervalles ouverts disjoints. En
déduire qu’on peut définir la mesure des ouverts et des fermés bornés de R. Exprimer
ces mesures comme des intégrales.

pour la (d), soit U un ouvert borné par a et b.
U est de la forme [tex]I_0 union I_1 union... union I_n[/tex] avec [tex]I_0,...,I_n[/tex] les parties connexes de U. Elles sont disjointes entre elles donc U n'est pas connexe, 
On suppose que [tex]I_0 <= I_1 <= ... <= I_n[/tex] .
Puisque U est minoré par a, [tex]I_0[/tex] est aussi minoré par a. Pareillement, [tex]I_n[/tex] est majoré par b.
Comme U n'est pas connexe mais U est borné, l'union est dénombrable.
Qu'en pensez-vous ?

Soit U un ouvert borné de R. D'après la (c), on en déduit que ça mesure est :
[tex]\sum_{k=0}^{n}{\int_{a_k}^{b_k}{1_{I_k}(x) \, dx}}[/tex]

Soit F un fermé borné de R donc il existe un ouvert U de R tel que F = R - U donc la mesure de F est définie. Les fermés bornés de R sont des intervalles de R donc la mesure de F est (si F est borné par a et b):
[tex]\int_{a}^{b}{1_{F}(x) \, dx}[/tex]

yoshi

Modo Ferox

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

Bonjour,

Petite indication technique : le symbole Union correspond aux codes \cup et \bigcup : [tex]\cup\; \bigcup[/tex]
A tout hasard : le symbole Intersection correspond aux codes \cap et \bigcap : [tex]\cap\; \bigcap[/tex]

Je m'en vais sur la pointe des pieds...

Bonne continuation

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

merci pour cette petite précision

Fred

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

C'est plus fin que cela pour démontrer qu'il n'y a qu'un nb dénombrable de composantes connexes.

On les appelle I_j, pour j dans J.
Comme I_j est un intervalle ouvert, il existe un rationnel r_j dans I_j.
On a donc construit une application injective de J dans Q, qui à j associe r_j (elle
est injective car les I_j sont disjoints). Puisque Q est dénombrable, J est fini ou dénombrable.

Ton problème dans ce que tu écris est que tu n'utilises que des unions finies.
Ici, on a des réunions dénombrables, il faut passer à la limite et on peut utiliser
les théorèmes du cours (indication : ici le thm de cv monotone est le plus approprié).

Fred.

HighSchool2005

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Re : longueur d'un intervalle et mesure de Lebesgue

dans ta démonstration J est-il quelconque ?
Je ne comprends pas trop pourquoi il faut passer à la limite et à la limite de quoi ?
Moi, j'ai prouvé que un ouvert borné était l'union d'ouverts disjoints bornés. Grâce à ta démonstration que j'ai comprise je pense, on prouve que cette union est dénombrable.
Est-ce que ma déduction pour la mesure des ouverts et fermés bornés de R est juste ?