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syrac

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Arbre des suites de Syracuse

Bonjour à tous,

Il y a quelques jours j'ai posté un court message à la fin de cette page, sans m'être inscrit. Aujourd'hui je poste à nouveau sur le même sujet, la conjecture de Syracuse, après avoir décidé de m'inscrire.

On trouve sur le présent forum plusieurs sujets consacrés à ce problème, qui continue de passionner. Le problème est que tout le monde s'est jusqu'à présent (et jusqu'à preuve du contraire) focalisé sur l'algorithme de Collatz, qui induit une différence de traitement entre entier pair et entier impair. Ceci m'a personnellement toujours gêné.

Jusqu'au jour, il y a environ deux mois, où l'idée m'est venue d'unifier les deux règles en une seule, valable à la fois pour les entiers pairs et les entiers impairs. Ceci m'a permis de "révéler" l'organisation des suites de Syracuse en arborescence, et de pouvoir ce faisant apporter une description extrêmement simple du problème. Apparemment je ne peux pas joindre un fichier à ce post, alors voici l'adresse du document Pdf dans lequel j'explique tout ceci :

Arbre des suites de Syracuse

Vous semble-t-il que ceci constitue la solution du problème, même si elle n'est pas celle à laquelle vous vous seriez attendu ?

Merci d'avance pour vos retours ! :-)

syrac

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Je pense que j'aurais dû poster dans "Café mathématique" au lieu de "Enigmes, ...". Un modérateur pourrait-il déplacer ce sujet ? Merci d'avance !

LEG

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Vous semble-t-il que ceci constitue la solution du problème, même si elle n'est pas celle à laquelle vous vous seriez attendu ?

Merci d'avance pour vos retours ! :-)

syrac

c'est une bonne représentation d'une suite de Syracuse, et son fonctionnement.  jusqu'à la fin du cycle 4; 2; 1.
mais il y a eu tellement d'études faites sur les "vols" de Syracuse , qu'il est impossible de résoudre la conjecture par cette voie ...

D'ailleurs l'AS2 (algorithme de Syracuse 2) utilise aucun entier impair, ce qui a permis de démontrer que cette conjecture est une structure arithmétique très simple; voire le travail de Jules Rennucci sur ce sujet...

Dommage que tu ne parles pas des entiers négatifs , car tu verrais que quelque soit un vol 2i  (i impair), les itérés d'un rang r sont en relation avec deux autres vols 2i, et ont eu une infinité de prédécesseurs  ou de successeur comme on veut...au même rang.

La structure arithmétique de Syracuse est ordonnée par des suites géométriques et arithmétiques.

Par exemple si tu prends la vol X,i = 5  soit 2i = 10, est l'itération de rang R = 3 (avec uniquement les itérations paires) l'itération paire de rang 3 vaut : 4
l'itération R =3 pour les deux vols Zi et Yi distant de 2³
ce qui donne Zi = 13, 2i = 26 et: pout Yi =-3 , 2i = -6

2Xi - Yi = Zi , au rang 3
soit :
(2*4) - (-2) = 10.
quelque soit la suite de Syracuse, au rang n elle relie deux suites de Syracuse au même rang n avec un écart de 2ⁿ.

donc parler de suite avec des rangs aléatoires , est absurde..de part cette structure...

quelque soit un vol 2ⁿ - 1 ; la valeur de l'itération au rang d'indice n est égale à : 6 * 3^n-1 - 2.
En ne tenant compte que des itération paires bien entendu..ie; de l'AS2.

par exemple:
le vol i = 2⁷ - 1 ; soit 2i = 254 la valeur de l'itération au rang 7 vaut : 6*3^7-1 - 2 = 4372
c'est à dire la 15ème itération.
d'où le vol Yi = -129 aura la valeur à l'itération, de rang 7 : -4176
la raison de la suite arithmétique est de 4174 = 6*3^7-1.

On retrouve bien l'égalité au rang 7: 2Xi - Yi = Zi = 4172
(2*-2) - (-4176) = 4172

la question que l'on peut aussi se poser : comment une structure arithmétique aussi bien ordonnée , pourrait tout d'un coup être fausse..?
dans ce cas cela prouve que la structure arithmétique de Syracuse n'en est pas une , ce qui serait absurde car démontrée....

Ou mieux, la suite arithmétique Un, de raison -4, qui existe depuis le vol i = 1 est qui est toujours vraie  qui soit disant est une conséquence de la fonction 3x + 1...etc  n'est ce pas plutôt la fonction de Syracuse, qui est conséquence de cette suite arithmétique Un de raison -4...?

Car il est trivial de remarquer que 2 - 2i  = -4n  et que la fonction des suites de Syracuse n'a pas d'autre possibilité que de respecter cette structure arithmétique. Puisque quelque soit le vol i, on peut le relier à deux autres vol i' et i'' par leur Rang n , n' et n'' ; mais surtout dans l'ensemble des entiers relatifs....

-4n : c'est le bilan des différences positives et négatives entre les itérations paires de l'AS2... se terminant sur 4, puis 2 au rang n et n-1

En conclusion, cela paraît être une grosse farce, où il n'y a rien à démontrer....
Tout comme il est absurde de chercher un record d'altitude constant, les vols i de la forme 2ⁿ -1 dépasseront toujours un tel vol, puisqu'il suffit de faire tendre l'exposant n vers l'infini et on obtient une ascension constante qui est égale à 2*n + 1. Et si l'exposant a un milliard de chiffres, je ne te dis pas la valeur de l'itération à ce rang n....bonne continuation
cordialement
L.G

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

@LEG

Désolé de te répondre aussi tardivement, mais je n'ai pas été avisé de ton post.

Merci pour ce long développement, bien qu'il semble sans rapport avec le contenu de mon papier. Je préfère pour ma part m'en tenir à la voie que j'ai commencé d'explorer. L'étape suivante serait, par exemple, de prédire le nombre d'itérations nécessaires avant d'atteindre 2, la racine de l'arbre, sur la seule connaissance du premier terme de la suite. Cependant, la méthodologie que j'expose, laquelle nécessite d'extraire de manière répétitive l'exposant de 2 ou de 3 dans un produit de facteurs premiers, représente une sérieuse entrave.

Je suis en train de lire le bouquin de Stephen Wolfram, "A new kind of science", dans l'espoir de trouver une nouvelle piste. L'arbre des suites de Syracuse tel que je le décris est beaucoup trop complexe pour espérer en tirer quelque chose par les moyens traditionnels. Et c'est précisément l'objet du livre en question : découvrir la loi ou règle simple qui se cache derrière la complexité, et la produit.

freddy

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Re : Arbre des suites de Syracuse

@LEG

Désolé de te répondre aussi tardivement, mais je n'ai pas été avisé de ton post.

Merci pour ce long développement, bien qu'il semble sans rapport avec le contenu de mon papier. Je préfère pour ma part m'en tenir à la voie que j'ai commencé d'explorer. L'étape suivante serait, par exemple, de prédire le nombre d'itérations nécessaires avant d'atteindre 2, la racine de l'arbre, sur la seule connaissance du premier terme de la suite. Cependant, la méthodologie que j'expose, laquelle nécessite d'extraire de manière répétitive l'exposant de 2 ou de 3 dans un produit de facteurs premiers, représente une sérieuse entrave.

Je suis en train de lire le bouquin de Stephen Wolfram, "A new kind of science", dans l'espoir de trouver une nouvelle piste. L'arbre des suites de Syracuse tel que je le décris est beaucoup trop complexe pour espérer en tirer quelque chose par les moyens traditionnels. Et c'est précisément l'objet du livre en question : découvrir la loi ou règle simple qui se cache derrière la complexité, et la produit.

Enfin, un trait de lumière dans la nuit éternelle ;-)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

LEG

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Bonjour
@syrac:

L'étape suivante serait, par exemple, de prédire le nombre d'itérations nécessaires avant d'atteindre 2, la racine de l'arbre, sur la seule connaissance du premier terme de la suite.

c'est justement le problème, tout le monde a essayé mais sans résultat..

Par exemple, voila une idée qui a été développée, suite a la structure arithmétique de Syracuse :

    http://cjoint.com/?DFqpMOz4uB5

cordialement

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

@LEG

Je viens de lire le document Word que tu joins. Il est toujours intéressant de prendre connaissance de quelques-unes des approches qui ont été tentées. L'algorithme AS2 en particulier, que je ne connaissais pas.

Cependant, la suite des entiers pairs qu'il renvoie ne correspond pas à celle que j'obtiens en partant de ce que j'appelle l'équation (1) dans mon papier.

AS2 : 62, 242, 182, 206, 350, 890, 668, 334, 566, 638, 3644, 1822, 4616, 2308, 1154, 866, 650, 488, 244, 122, 92, 46, 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2

Équation (1) : 62, 242, 182, 206, 350, 890, 668, 566, 638, 3644, 4616, 866, 650, 488, 92, 80, 8, 2

La trajectoire de 27 est composée de 18 séquences, chacune terminée par l'un des entiers pairs de cette liste, dans l'ordre.

Existe-t-il une variante de l'algorithme AS2 qui permette de produire cette suite de 18 entiers pairs ? Ce qui différencie les deux suites ci-dessus est le fait que dans la seconde n'existe aucun terme égal à la moitié de celui qui le précède, ceci étant dû au fait qu'un entier pair appartient à un groupe dont le successeur n'appartient pas à ce même groupe.

Toutefois, en supposant qu'on puisse produire cette suite directement, l'information qu'on en retirerait serait que la trajectoire de 27, par exemple, est composée de 18 séquences, mais ça ne donnerait aucune indication sur la longueur de sa trajectoire.

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

[suite]

Voici comment j'obtiens la suite d'entiers pairs ci-dessus, toujours avec l'exemple de 27.

1 - Calculer l'empreinte de la suite de Syracuse de 27 = 27, 31, 121, 91, 103, 175, 445, 167, 283, 319, 911, 577, 433, 325, 61, 23, 5, 1
2 - Incrémenter tous ses termes.
3 - Les décomposer en produit de facteurs premiers.
4 - Remplacer 2^x par 3^x.
5 - Décrémenter le résultat.

Exemples :

27 -> 28 = 2^2*7 , 3^2*7 = 63 , 63 - 1 = 62.
31 -> 32 = 2^5 , 3^5 = 243 , 243 - 1 = 242.
...
1 -> 2 = 2^1 , 3^1 = 3 , 3 - 1 = 2.

Toute la difficulté de prédire la longueur d'une trajectoire vient du fait que la longueur des séquences qui la composent est variable et sans lien apparent avec le nombre de termes de la séquence qui précède chacune d'elles. Dans notre exemple, 27 possède 2 successeurs (exposant de 2 dans 2^2), donc la trajectoire comporte au moins 2 termes ; 31 possède quant à lui 5 successeurs (2^5), ce qui fait que la trajectoire comporte au moins 2 + 5 = 7 termes ; etc. On incrémente l'addition finale pour tenir compte du premier terme de la suite, ici 27, et l'on obtient la longueur de la trajectoire de 27, c'est-à-dire 43.

LEG

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Re : Arbre des suites de Syracuse

@Syrac
ceci en gros n'est très important, il y a beaucoup de méthodes pour raccourcir les suites .

par exemple des qu'une itération d'une suite X, appartient à une sous suite  A; la suite X est finie, donc son nombre de termes est réduit..Ce qui correspond  à ton arbre..et il y en a 4 principaux ou toutes les branches, feuilles...etc viennent se rattacher..

Mais cette piste n'a jamais rien donné...jusqu'à présent.

Pas plus que la forme du premier terme ...

Ce qui est intéressant c'est le fait que Syracuse soit une structure arithmétique simple; ordonnée par des suites arithmétiques et géométriques..
Dans le premier tableau qui est une feuille Excel , la suite géométrique 6 * 3^n-1 sur la ligne 0; donne la raison R des suites arithmétiques, pour chaque rang des vols 2i dans les entiers relatifs pairs...

Exemple: prend les vols i impairs : -1 ; -5 ; et 3 soit 2i = -2; -10; 6 au deuxième rang  les valeurs des itérations pour ces 3 vols, est :
-2 ; -20; et 16.
soit pour les vols -x, -y et z au rang 2:  (2*-2) - (-20) = 16 , ce qui donne pour le rang 2, une suite arithmétique de raison R = 18; avec un écart entre les vols de 2².
donc l'exposant n=2, est donné par le rang n=2...

Tous les vols sont en relation par leurs itérés au rang n; et ce depuis le vol i = 1 et -i = -1
on peut aussi faire un plan..etc
quelque soit un vol Z il a toujours au rang n une relation avec les deux vols -X et -Y; à partir à partir d'un certain rang, délimité par la suite géométrique 6 * 3^n-1, où l'exposant n est l'indice n du rang , et pour ce rang on a la raison R = 6 * 3^n-1 de la suite arithmétique,..
le début part du vol -i = -1
le nombre de suites arithmétiques pour un rang n, est calculable.. la somme des raison R forme une suite géométrique 6 de raison 4.
ce qui donne la aussi : 6*4^n-1

par exemple au rang 1, on a une suite A, de R 6;

au rang 2 on a 2 suites A, de R = 6 et 18; au rang 3 ; 4 suites A de R : 6, 18, 18,54...

au rang 4 on a 2^4-1 suites A dont la somme des raisons vaut 6*4^n-1 = 384
les raisons R sont : {162, 18, 18, 6, 54, 54, 54, 18}

Ce groupe de suites arithmétiques, change à chaque rang d'itérations , par exemple au rang 6 d'un vol Z, on sait que pour ce rang, il y a 2^6-1 suites arithmétiques, qui relient tous les vols ayant 2⁶ d'écart au rang 6, et dont les raisons sont de :
6*3^1-1 à 6 * 3^6-1....

Ce sont les vols 2ⁿ - 1 qui sont intéressants.("c'est curieux que l'on retrouve les nombres de Mersenne...dans cette structure, car c'est à partir de ces vols, que le groupes de suites A (arithmétique) change au rang n ") ie; on connais la valeur de l'itération paire à ce rang n+1 pour le vol i = 127; soit 2⁷ -1 ; on aura  au rang 7, valeur de l'itération : 6*3^7-1 - 2 = 4372 et au rang 8: 2186.
ensuite cela peut remonter ou descendre, car il faut que cela corresponde au rang n+1 avec les deux autres vols -X et -Y.
dans le cas contraire, ce n'est pas une structure arithmétique .... et puis encore....!

Dans ces conditions, il n'y a plus rien d'aléatoire....! c'est une structure ordonnée, depuis 1 est -1....

Et franchement, je ne vois plus du tout ce qu'il y a à démontrer...car l'hypothèse d'un vol qui aurait une suite d'itérations infinies, c'est à dire qu'il ne redescend pas au rang n= 4, puis 2....devient stupide, et une autre boucle est autant absurde..

c'est d'ailleurs pour cette raison que dans les entiers négatifs, il y a trois boucles...voila de quoi s'amuser...

Que l'on est pas trouvé au départ, que Syracuse était une structure arithmétique simple ok.

Mais maintenant que cela a été démontré par Jules Renucci... qu'est ce que l'on peut dire sur cette structure, qu'elle est désordonnée, qu'il existe peut être un vol tartempion qui invalide ces suites géométriques et arithmétiques.. et qui invalide la relation entre 3 vols, et qu'il existerait une 4ème boucle dans les vol négatifs..

Pourquoi pas ; dans ce cas une structure arithmétique est fausse, même si elle a été démontrée... tant qu'à faire.
Je pensais que des arguments convaincant, pouvaient prouver, et bien non... des arguments convaincants ne veulent rien dire et la rigueur dans ce cas non plus; car il existe peut être, quelque chose de plus rigoureux dont on n'en a aucune idée....je rigole....

Dans l'exemple de l'AS2 de J.R; il a détaillé, pour faire remarquer que la longueur d'une séquence finit sur un 4m ; et on repart sur une tête de séquence.. .D'où seules les têtes de séquence sont à analyser...et suffisante .
est ce que tu as reçu le mail avec le deuxième lien...?

Au cas où, je le joins ci dessous.. il donne plus de détail sur l'AS2, et autre...

http://cjoint.com/?DFrkoPwySSQ

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Bizarre que je ne sois jamais informé des réponses sur ce forum...

Le second lien renvoie au même document que le premier (que tu as posté le 16 juin).

yoshi

Modo Ferox

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Salut,

Le moteur du forum ne prévoit pas de notification de réponse...
C'est à donc à toi à passer régulièrement voir s'il y en a...

Je sais, cest dommage, peut-être arrivera-t-on à y remédier un jour...

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Je suis conscient des problèmes que posent les calculs liés à la solution que je propose, et notamment l’extraction de l’exposant d’un facteur premier. Pour faciliter les choses aux utilisateurs de Mathematica je propose ci-dessous en téléchargement le bloc-notes zippé que j’ai créé dans ce logiciel (Syracuse.nb) et qui contient toutes les fonctions nécessaires (calcul d’une suite, tracé de l’arbre, génération aléatoire de feuilles, etc.) :

Bloc-notes Syracuse pour Mathematica

NB : ce bloc-notes a été créé dans Mathematica 9, mais je présume qu’il fonctionnera dans les versions antérieures. Après l’avoir ouvert vous devez cliquer sur Evaluation > Evaluate Notebook. Vous pouvez également lui attribuer le statut d’évaluable à l’ouverture en cliquant sur Cell > Cell properties > Evaluatable.

Wi

Invité

Re : Arbre des suites de Syracuse

Vous vous trompez dans votre conclusion sur le cycle trivial lorsque vous dites que 2 s'engendre lui même c'est a la fois vrai et a la fois faux en clair c'est faux. L'erreur est du au fait ou vous réfléchissez sans 1 cependant je ne contredit pas le fait  que votre travail est d'une très bonne qualité.
Lorsque vous divisez n par 2 à l'exposant u et qu'avec le reste de l'équation vous trouvez n indice s , vous oubliez quelque chose de fondamentale tout les nombres naturels sont concerné par l’équation. lorsque n=1 et que 2 à l'exposant u vaut 1 vous obtenez 1 et par le reste de l'équation 2 si vous faite n=2 et 2 à l'exposant u vaut 2 vous arriver au même résultat. De ce fait la racine de votre arbre est 1 et je vous prie d'observé que faire n=17 et 2 a l'exposant u 1 nous arrivons a n indice s vaut 26 et si l'on fait n=34=2*17 ou n=2*2*17 et que l'on divise par 2 à l'exposant u de tel manière qu'il n'y ait plus de 2 on arrivera a n indice s vaut 26. Selon votre raisonnement cela signifierait que 26 proviendrait de 34 et on oublierais 17. Deuxième erreur ne vous vexer pas cela ne signifie pas que je suis plus intelligent que vous. La limite inférieur de k pour un n indice s donné vaut,  l'exposant de 2 par lequel ce n est divisible moins un. Votre travail est cependant très original je vous souhaite tout le bonheur du monde dans votre recherche mathématique. Bonne continuation

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

Puisque nombreux sont ceux qui prétendent que mes conclusions ne vont pas dans le bon sens, à savoir la démonstration de la conjecture de Syracuse (ou de Collatz), cette fois-ci je me suis attaqué à la version originale du problème 3n+1. Résultat dans le petit fichier Pdf de 3 pages à télécharger ci-dessous :

Fonction donnant 1 pour valeur finale

syrac

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Re : Arbre des suites de Syracuse

J'ai actualisé le lien ci-dessus (Fonction donnant 1 pour valeur finale). Il contient la démonstration de la conjecture de Collatz. Les commentaires sont les bienvenus.

BERKOUK

Invité

Re : Arbre des suites de Syracuse

bonsoir

je n'ai pas  encore  bien  appris votre démonstration  , il me semble que la suite simplifiée des nombres impairs  pouvait être explicitée
par une formule  en utilisant , pour un x entier du départ de la suite  , nous définissons  un diviseur qui serait la plus  grande puissance de 2 , ( ex:  8 pour 64   ; 4 pour 32 ...etc  )
pour une suite donnée ,  en utilisant chaque  chaque terme et son diviseur défini ,   on aboutit  par la formule explicite généralisée à 1

( c'est ce que  j'ai obtenu  en usant d'autres "moyens"  dans un essai de démonstration   ...)

qu'en est-il de la suite des nombres pairs  ?  la réponse est simple si on considère  la suite indépendamment à celle des nombres impairs que vous évoquiez   , la suite des x pairs   par des divisions successifs  de 2  ( de 2^p ------> 2--->1  ) aboutit aussi à 1

la grande question qui sepose ;  qu'en est -il  de l'intrication ( ou alternance , ou...) des 2 suites  durant chaque vol  ?

b.rgds

BERKOUK