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#1 10-12-2005 14:42:43

fab
Membre
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Messages : 1

[Résolu] système d' équations à 3 inconnues Règle Sarrus et Cramer

J'aurais besoin d'un exemple chiffré  et commenté pour résoudre une équation a 3 inconnues

Avec les formule de Cramer et la règle de Sarrus.

merci de votre aide.

fab

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#2 10-12-2005 21:41:03

J2L2
Invité

Re : [Résolu] système d' équations à 3 inconnues Règle Sarrus et Cramer

Salut Fab

Tu trouveras dans n'importe quel bouquin de sup cette méthode, tu n'as qu'à appliquer mécaniquement !

Tu vérifies que le déterminant principal D est non nul et ça te confirmera que c'est un système de cramer et donc que tu n'as qu'une solution en x, y et z. Chaque variable se met sous la forme A/D où A est un déterminant spécifique à cette variable. Tu auras donc 4 déterminants à calculer et dans le cas de 3 variables, tu peux justement appliquer la règle de sarrus.

Dans le cas général, on préfère calculer par substitution, plutôt que par les déterminants.

#3 11-12-2005 11:53:20

SoS
Membre
Inscription : 11-12-2005
Messages : 3

Re : [Résolu] système d' équations à 3 inconnues Règle Sarrus et Cramer

Soit un system de 3 équation à 3 inconnues :
1.JPG
Créons la matrice dénommée 3.JPGcontenant tout les coefficients dans l’ordre du system ci-dessus :
2.JPG
Pour connaître 4.JPG nous utiliserons :
-Règle de Sarrus
-Méthode Cramer

Règle de Sarrus :
Nous devons calculer le déterminant B de la matrice 3.JPG
5.JPG
Pour trouver le déterminant via la règle de Sarrus, nous devons ajouter les deux premières colonnes du déterminant à sa droite :
6.JPG
On additionne les diagonales descendantes. Une diagonale descendante se calcule en multipliant les termes compris dans cette diagonale :
diagonale descendante1 = 1*3*5 = 15
diagonale descendante2 = 2*4*3 = 24
diagonale descendante3 = 1*2*4 = 8
Ensuite on additionne ces trois valeurs : 15+24+8 = 47

On additionne les opposés des diagonales ascendantes. L’opposé d’une diagonale ascendante se calcule en multipliant les termes compris dans cette diagonale et en faisant son opposé:
diagonale ascendante1 =  3*3*1 = 9  son opposé est -9
diagonale ascendante2 =  4*4*1 = 16  son opposé est -16
diagonale ascendante3 =  5*2*2 =  20  son opposé est -20
Ensuite on additionne ces trois valeurs : (-9)+(-16)+(-20)=-45

Pour connaitre le déterminant de la matrice nous additionnons les deux valeurs ainsi obtenues :
47+(-45)=2 qui est donc le déterminant

La méthode de Cramer dit que :
x=N1/B
y=N2/B
z=N3/B
B étant le déterminant de la matrice dont on veut connaitre la solution.
N1, N2, N3 sont également des déterminants formés par l’ablation d’une des colonnes de la matrice3.JPG  par la colonne des termes indépendants.
7.JPG est la matrice des termes indépendants.(ce qui vient après le ‘=’ dans notre system)

N1= 8.JPG

N2= 9.JPG

N3= 10.JPG

Ainsi donc

x=40/2=20
y=(-4)/2=-2
z=0/2=0

11.JPG

Vérification :
1.JPG
Si on remplace les différentes inconnues par notre solution :
12.JPG

Voila, je penses pas m'être trompé enfin j'éspère. :-D

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