Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sotsirave

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Impôt

Bonsoir

Pierre reçut une sommation à régler pour une petite somme de xy,z0 €.
Il tenait à payer avec des pièces de 5, 10 et 20  centimes et qu’il y ait au moins une pièce de chaque sorte.
Il calcula alors qu’il avait 10 000 possibilités différentes de payer.

Quelle était  la somme à régler au percepteur ?

jpp

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Re : Impôt

salut.

une question : x , y  & z  doivent-ils être différents ?

sotsirave

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Re : Impôt

bonjour jpp
l'énoncé ne l'indique pas
A+

jpp

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Re : Impôt

re.

alors

▼je pense à

une somme de 20.20 euros . je peux développer.

jpp

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Re : Impôt

re.

▼développement

pour rembourser un euro , soit l'équivalent de 5 pièces de 20 centimes en utilisant les 3 types de pièces je peux payer comme ça :

  1  façon de payer avec  4 pièces de 20  ct   

                                                                              + 1 pièce de 10   +    2 pièces de 5

  3 façons de payer avec 3 pièces de 20 ct

                                                                              +  3 pièces de 10  +  2 pièces de 5

                                                                              +  2 pièces de 10  +  4 pièces de 5

                                                                              +  1 pièce de 10    +  6 pièces de 5

  5 façons de payer avec 2 pièces de 20 ct

                                                                              +  5 pièces de 10  +  2 pièces de 5

                                                                              +  4 pièces de 10  +  4 pièces de 5

                                                                              +  3 pièces de 10    +  6 pièces de 5

                                                                              +  2 pièces de 10  +  8 pièces de 5

                                                                              +  1 pièce de 10   +  10 pièces de 5

  7 façons de payer avec 1 pièce de 20 ct

                                                                              +  7 pièces de 10  +  2 pièces de 5

                                                                              +  6 pièces de 10  +  4 pièces de 5

                                                                              +  5 pièces de 10   +  6 pièces de 5

                                                                              +  4 pièces de 10   +  8 pièces de 5

                                                                              +  3 pièces de 10  +  10 pièces de 5

                                                                              +  2 pièces de 10  +  12 pièces de 5

                                                                              +  1 pièce de 10    +  14 pièces de 5

soit au total  1+3+5+7  = 16  = 4²   pour une somme dûe égale à  5 fois 20 ct 

mais il est demandé une somme avec laquelle on aurait 10000 possibilités de payer .

donc  [tex]  (n-1)^2 = 10000 \Rightarrow n=101 [/tex]  .

la somme à payer est égale à  101 x 0.20 = 20.20 euros  si je n'ai rien oublié en route.

totomm

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Re : Impôt

Bonjour,

je maintiens :

▼Essai

Si s est le 20ème de la somme cherchée en centimes,
on montre que le nombre de possibilités [tex]P_{2s}[/tex] de faire la somme cherchée est : [tex]P_{2s}=4+(s-1)(s+3)[/tex]
Résolvant 4+(s-1)(s+3)=10000 on trouve s=99
la somme cherchée est alors 19,80 euros

en développant comme jpp je trouve pour n=5 soit 5 x 20 = 100 centimes :
5x20  0x10  0x5

4x20  2x10  0x5
4x20  1x10  2x5
4x20  0x10  4x5

3x20  4x10  0x5
3x20  3x10  2x5
3x20  2x10  4x5
3x20  1x10  6x5
3x20  0x10  8x5

2x20  6x10  0x5
2x20  5x10  2x5
2x20  4x10  4x5
2x20  3x10  6x5
2x20  2x10  8x5
2x20  1x10  10x5
2x20  0x10  12x5

1x20  8x10  0x5
1x20  7x10  2x5
1x20  6x10  4x5
1x20  5x10  6x5
1x20  4x10  8x5
1x20  3x10  10x5
1x20  2x10  12x5
1x20  1x10  14x5
1x20  0x10  16x5

0x20  10x10 0x5
0x20  9x10 2x5
0x20  8x10 4x5
0x20  7x10 6x5
0x20  6x10 8x5
0x20  5x10 10x5
0x20  4x10 12x5
0x20  3x10 14x5
0x20  2x10 16x5
0x20  1x10 18x5
0x20  0x10 20x5
soit 1+3+5+7+9+11=36 possibilités donc pour 5 x 20 ou n x 20 centimes on a [tex](n+1)^2[/tex] possibilités

pour 4 x 20 centimes il y a 25 possibilités, soit toujours [tex](n+1)^2[/tex]

jpp

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Re : Impôt

salut.

@totomm : oui , mais il me semble que pierre tenait à payer dans tous les cas avec au moins une pièce de chaque sorte.

totomm

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Re : Impôt

Bonjour,

salut.
[tex][/tex]
@totomm : oui , mais il me semble que pierre tenait à payer dans tous les cas avec au moins une pièce de chaque sorte.

C'est vrai, j'ai donc faux pour n'en avoir pas tenu compte...et cela aurait été pareil s'il avait fallu que les pièces soient de même couleur !

:-))