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#1 02-02-2015 14:51:04

sotsirave
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Aire

Bonjour

Dans un triangle ABC, D est le milieu du segment AC et E sur le segment AB tel que AE = 1/3 AB.
F est l'intersection des segments CE et BD. L'aire de ABC est 240.
Quelle est celle du quadrilatère AEFD?

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#2 02-02-2015 17:20:09

totomm
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Re : Aire

Bonsoir,

Aire AEFD

56

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#3 03-02-2015 10:52:37

totomm
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Re : Aire

Bonjour,

Solution pour les jeunes collégiens.
quel excellent exercice sur la comparaison des aires : mêmes longueurs de bases et de hauteurs
et sur le théorème de Thalès

calculs

L'aire de AEFD est la différence entre l'aire des triangles AEC et FDC

L'aire du triangle AEC vaut 1/3 de celle du triangle ABC soit 240/3 = 80

La parallèle issue de E à [BD] coupe [AC] en G, alors GD=2/3 de AD soit 1/3 de AC
Ainsi GC= GD+DC vaut 1/3+1/2 de AC soit  5/6 de AC
Donc [tex]\frac{DC}{GC}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{6}}=\frac{3}{5}=\frac{FD}{EG}[/tex]
or EG vaut 1/3 de BD
d'où [tex]\frac{FD}{BD}= \frac{FD}{EG} \times \frac{EG}{BD}=\frac{3}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}[/tex]
L'aire du triangle FDC vaut 1/5 de celle du triangle  BDC soit 1/10 de 240 =24

Aini l'aire AEFD = 80 - 24 = 56

Édit : le dernier FD (erroné de façon évidente) a été corrigé en BD...

Dernière modification par totomm (03-02-2015 13:08:41)

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#4 03-02-2015 23:31:58

sotsirave
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Re : Aire

Bonjour

En effet les connaissances nécessaires devraient être acquises à l'issue du collège.

Maintenant, on peut généraliser en considérant par exemple D barycentre de A,1 et C,k1, E barycentre de A,1 et B,k2 , S l' aire de ABC avec k1,k2>0.

A+

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#5 04-02-2015 11:02:33

totomm
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Re : Aire

Bonjour,

Est-ce un hasard si l'exercice " Le coin des beaux problèmes de Géométrie » Aire " donné par sotsirave
est la proposition 4 du livre second (en latin) de IOANNIS VERNERI (né en 1468)
dont l'ouvrage vient d'être évoqué dans la discussion " Café mathématique » un autre erreur " par orielpack ?
Cliquer pour voir

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#6 04-02-2015 18:39:40

sotsirave
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Re : Aire

bonjour totomm

Peux-tu me traduire cette proposition 4 car à part quelques expressions latines classiques et textes religieux, je ne suis pas versé dans cette langue vaticane.
Merci

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#7 05-02-2015 13:19:22

totomm
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Re : Aire

Bonjour,

@ sotsirave : j'ai bien mérité cette provocation, mais ma dernière version latine a plus de 60 ans...
Peut-être quelqu'un qui aurait gardé des relations avec les lettrés collège-lycée pourra faire mieux.

Traduction libre et incomplète :
Soient 2 segments AB et AC ayant un point commun A ; et deux lignes  BE et CD qui se coupent en un point F, Le point D étant sur AB et le point  E sur AC. Je dis que le ratio de BA à AD est lié aux deux autres ratio BE à EF et FC à CD.

D'après le XXXI des éléments d'Euclide la ligne DG parallèle à BE, qui coupe AC en G, et laquelle ligne DG est aussi parallèle à BF, d'après le XXIXème les angles AEB et AGD sont égaux, ainsi que les angles ADG et ABE ; l'angle BAE est commun ; donc les triangles ABE et ADG aequiangula (semblables) ;
donc par le 64ème des elements, le ratio BA à AD est le même que BE à GD...

donc le ration BA à AD dépend des deux ratio BE à EF et EF à DG. Mais le ratio EF à DG, par le même 64ème élément  est le même que FC à CD, donc le ratio BA à AD dépend du ratio BE à EF et du ration FC à CD.

Je comprends vaguement le reste mais n'ose le traduire....

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#8 05-02-2015 21:54:35

sotsirave
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Re : Aire

Bonjour

Merci totomm
: je n'ai pas compris mais bon...

Alea jacta est

Voici une résolution partielle du cas général.
S est l’aire ABC, E est le barycentre de A,1 et B,k1 ; D est le barycentre de A,1 et C,k2 ; k1,k2 > 0.
On utilise ici deux propriétés classiques :
1° Dans un triangle MNP et Q€[NP] , les aires des triangles MNQ, MQP et MNP sont respectivement proportionnels à NQ, QP et NP (coéficient ?, voyez la hauteur issue de M)
2° a/b = c/d entraîne a/b = (a+c)/(b+d) = (a-c)/(b-d) ou a/(a+b =c/(c+d) etc.…
On trace [ED] et on appelle x, y, z, t  et u respectivement les aires des triangles AED, EDF, EFB, DFC et BFC.

On demande x + y.

---Calcul de x
:
a) Dans ABC   EA/AB =  (x+y+t)/S = k1/(1+k1) d’après 1° et le barycentre   .
b) Dans AEC on a AD/DC = x/(y+t)=k2/1 d’après 1° et le barycentre.
   Puis x/y+t = k2/1 donc  y+t = x/k2 et x/(x+y+1) = k2/(k2+1) d’après 2° ;
donc x+y+t = x(1+k2)/k2.
On en déduit x = Sk1k2/(1+k1)(1+k2) et y+t = Sk1/(1+k1)(1+k2)

--Calcul de y

a)  Dans ABC, BE/BA = (z+u)//S = 1/(1+k1) entraîne z+u = S/(1+k1)
b)  Dans le quadrilatère BEDC, y/z = t/u = (y+t)/(z+u) =k1/(1+k2) d’après 1° et 2° entraîne z=(1+k2)y/k1
c) Dans ABC  DA/AC =( x+y+z )/S = k2/(1+k2) entraine x+y+z= Sk2/(1+k2)
b) et c)  entraîne y = Sk2/ (1+k1) (1+k2)


Conclusion x+y = Sk1k2 (2+k1+k2)/ (1+k1) (1+k2) (1+k1+k2)


Amen

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#9 06-02-2015 11:25:39

totomm
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Re : Aire

Bonjour,

@ sotsirave : pourquoi ne pas dire compliqué quand on peut dire simple ...?   :-))
en l'occurrence je ne vois pas ce qu'apporte la notion de barycentre....,
Vous faites x+y, j'avais choisi w=x+y+t  (vos notations) et fait simplement w-t,
ce qui n'est pas moins général et dans la ligne de IOANNIS VERNERI (Johannes Werner 1468-1522) que j'ai juste découvert avant-hier.

Avec les coordonnées barycentriques :
vous transformez [tex]\frac{EA}{AB}=\frac{1}{3}\ en\ k_1=\frac{1}{2} \text{et D milieu de AC en }k_2=1[/tex]
et vous pouvez alors effectivement calculer d'après votre formule générale :
[tex]x+y=\frac{S.k_1.k_2.(2+k_1+k_2)}{(1+k_1) (1+k_2) (1+k_1+k_2)}=240.\frac{\frac{1}{2}.1.(2+\frac{1}{2}+1)}{(1+\frac{1}{2})(1+1)(1+\frac{1}{2}+1)}=240\frac{\frac{1}{2}.\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}.2.\frac{5}{2}}=240\frac{7}{30}=56[/tex]

A chacun de choisir sa méthode....  :-))

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#10 06-02-2015 14:51:00

sotsirave
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Re : Aire

Bonjour totomm

Si je comprends bien ce que vous me dites : est-il utile d’envisager le cas général pour un cas particulier ?
Si c'est cela, ok.
Sinon, le calcul donne l'aire quelles que soient les positions de E et D sur les côtés [AB] et [AC]  .

A+

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