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totomm

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Triangle rectangle et bissectrices

Bonjour,

Voici un  problème de géométrie assez simple :

Soit ABC un triangle rectangle en C et  H sur [AB] le pied de la hauteur issue de C.
Soit (D) la droite passant par B et perpendiculaire à [AB].
Les bissectrices des angles des droites concourantes (BC) et (CH) coupent (D) en M et N.
Montrer que les segments [BM] et [BN] ont même longueur.

Dernière modification par totomm (18-10-2012 22:41:33)

amatheur

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Re : Triangle rectangle et bissectrices

salut

▼Texte caché

je considère un repère orthonormé  [tex]\left(H,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\,tq\,\overrightarrow{i}=\frac{\overrightarrow{HB}}{BH}\,\,et\,\overrightarrow{j}=\frac{\overrightarrow{HC}}{HC}\,[/tex]
posons B(b,0) et C(0,c) , l'equation de la droite (BC) :  [tex]y=\frac{-c}{b}x+c[/tex]
les équations des bissectrices vérifient:
[tex]\frac{\left|\frac{c}{b}x+y-c\right|}{\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{{b}^{2}}_{}}+1}}=\left|x\right|[/tex]

pour x=b

[tex]\Rightarrow {y}_{N}=-{y}_{M}=\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}=BC[/tex]

a+

Dernière modification par amatheur (15-10-2012 21:59:01)

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J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

gulabgang

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Re : Triangle rectangle et bissectrices

Je choisis Q sur (AB), P est l'intersection de la médiatrice de [AQ] avec (BC)
puis M intersection de (PQ) avec (AC)

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adil

totomm

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Re : Triangle rectangle et bissectrices

Bonjour,

Solution géométrique que je n'avais pas donnée :
[tex]\widehat{HCM}=\widehat{CMB}[/tex] (angles alternes-nternes)
[tex]\widehat{HCM}=\widehat{MCB}[/tex] (bissectrice)
donc le triangle BCM est isocèle et [BC]=[BM]. De même [BC]=[BN]