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#1 05-11-2014 18:35:03

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Une équerre contre un mur

Salut,

Petit problème de géométrie proposé en formation. Ça me dit vaguement quelque chose, donc il est possible que la question ait déjà été posée sur le forum.

On place une équerre dans un plan orthogonal à un mur et au sol de tel sorte que l'une des extrémités de l’hypoténuse touche le sol et que l'autre extrémité de l'hypoténuse touche le mur.
Quelle trajectoire parcourt l'angle droit lorsque l’équerre glisse le long du mur?

Questions intermédiaires :
1) Conjecturez juste en réalisant physiquement l'expérience.
2) Réalisez la figure sur un logiciel de géométrie dynamique. (Essayez! Ce n'est vraiment pas évident du tout.) Aviez-vous vu juste?
3) Démontrez géométriquement. (Une démonstration purement analytique ne présente pas de grosses difficultés à part que c'est un peu fastidieux)

Dernière modification par tibo (05-11-2014 18:42:14)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#2 05-11-2014 20:27:17

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Une équerre contre un mur

Bonsoir,

Joli problème, démonstration géométrique pas évidente, pourtant simple. Le jeune Pascal a surement joué avec ce problème...

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#3 06-11-2014 09:59:24

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Une équerre contre un mur

Bonjour,

2 solutions géométriques pour le plaisir

Solution Simple N°1 :
Soit A l'extrémité de l'équerre contre le mur (l'axe des ordonnées)
Soit B l'extrémité de l'équerre sur le sol (l'axe des abscisses)
Le cercle (E) de diamètre [AB] passe par O, l'origine des axes, et par C (point de l'angle droit de l'équerre)
L'angle AOC égale l'angle ABC (qui est fixe sur l'équerre) car ces angles interceptent le même arc sur le cercle (E).
Donc C reste sur une droite fixe passant par O quand A glisse sur l'axe [Oy).

Solution 2  :
Soit (F) le cercle de centre O et de rayon AB
Soit D le symétrique de O par rapport au milieu M de [AB]
Le cercle (E) roule sans glisser sur le cercle (F) au point D qui est leur point de contact.
Donc tous les points liés au cercle (E) (comme le sont A et C) décrivent une hypocycloïde réduite à un diamètre du cercle (F).

Serait-ce que la géométrie ne serait pas abandonnée en collèges-lycées ?

Dernière modification par totomm (06-11-2014 10:02:38)

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#4 08-11-2014 15:20:41

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : Une équerre contre un mur

Salut,

@totomm : Ok pour la solution 1.
Mais je n'ai pas compris la seconde...


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#5 08-11-2014 17:54:35

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Une équerre contre un mur

Bonsoir,

Voici plus d'explication pour la seconde solution donnée pour le plaisir d'être compliqué   :-))

Soit A l'extrémité de l'équerre contre le mur (l'axe des ordonnées)
Soit B l'extrémité de l'équerre sur le sol (l'axe des abscisses)
Le cercle (E) de diamètre [AB] passe par O, l'origine des axes, et par C (point de l'angle droit de l'équerre)
Soit (F) le cercle de centre O et de rayon AB
Soit D le symétrique de O par rapport au milieu M de [AB] : le point D est le point de contact des cercles (E) et (F)
Soit G le point de coordonnées (0;AB) sur le cercle (F)

Considérons les longueurs des arcs GD sur le cercle (F) et AD sur le cercle (E)
Le quadrilatère AOBD est un rectangle donc l'angle GOD est la moitié de l'angle AMD
Comme le rayon de (F) est le double de celui de (E), ces arcs ont les longueurs égales. (rayon x angle)

Partant de la position où A et G sont confondus et supposant que A est fixé au cercle (E),
Le cercle (E) roule sans glisser sur le cercle (F) au point D qui est leur point de contact quand A glisse sur l'axe des ordonnées.
Donc tous les points liés au cercle (E) (comme le sont A et C) décrivent une hypocycloïde réduite à un diamètre du cercle (F).

Note : Cette solution n'est pas une solution Collège-lycée.
J'ai évoqué le jeune Blaise Pascal parce qu'il a étudié les cycloïdes   :-))

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