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#1 07-12-2005 17:20:18

Nina
Invité

gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

BONJOUR, JE BLOQUE SUR UN EXERCICE D'ARITHMETIQUE (CONGRUENCES)...EST-CE QUE QUELQU'UN POURRAIT M'AIDER OU ME DONNER DES IDEES? MERCI D'AVANCE

On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9 + a^2 où a est un entier naturel non nul ;
par exemple 10 = 9 + 1^2 ; 13 = 9 + 2^2 etc…
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 2^n où a entier naturel , n entier naturel , n ≥ 4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
2) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 3^n où a entier naturel , n entier naturel , n ≥ 3.
a. Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ≥ 2. Déduire d’une factorisation de 3^n – a^2, que l’équation proposée
n’a pas de solution.
3) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 5^n où a entier naturel , n entier naturel , n ≥ 2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation est impossible si n est impair.
b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2)c. démonter qu’il existe un unique entier naturel a tel que a^2 + 9 soit une
puissance entière de 5.

#2 07-12-2005 18:13:55

hubert
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Bonjour,
Avant de vous aider j'aimerais savoir si vous avez résolu quelques questions, à quel moment çà bloque.
@plus

#3 07-12-2005 21:20:09

Nina
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Merci Hubert c gentil de m aider!
et bien pour commencer j ai du mal a demontrer que a est impair dans la question 1...j ai essayé d exprimer a comme etant la racine carré de 2^n-9est un nombre impair mais je ne pense pas etre partie sur la bonne voie...et je n arrive pas a demontrer dans cette meme question que l equation n a pas de solution avec modulo 4.
J aurais besoin que vous m aidiez sur la question 1 car je pense que les questions 2 et 3 sont un peu du meme genre un fois qu on a compris la premiere.

#4 07-12-2005 22:00:16

Lina
Membre
Inscription : 27-10-2005
Messages : 9

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Pour la 1)a, en utilisant les congruences (c'est le but de ton exo), tu peux t'en sortir!
Montrer que a est impair, c'est montrer que a est congru à 1 modulo 2! Avec l'egalite a²=2^n-9, tu peux conclure, de plus, le carré d'un impair est impair.


Lina..

Hors ligne

#5 07-12-2005 22:00:42

john
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Alors je commence (avec 2 démo. par question) et tu continues...

1) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 2^n où a entier naturel , n entier naturel , n >= 4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.

Pour n = 4, a^2 = 2^n - 9 = nombre pair - nombre impair = nombre impair => a impair (car seul un nombre impair peut avoir un carré impair)

L'équation proposée peut aussi s'écrire terme à terme modulo 2 :
r[2] + 1[2] = 0[2] => r = 1 => a impair

b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.

a impair => a=2p+1 => a^2 + 9 = 4p^2 + 4p + 10 => a^2 + 9 = 2[4]
or 2^n = 0[4] pour n>=2 => impossible

L'équation proposée peut aussi s'écrire terme à terme modulo 4 :
r[4] + 1[4] = 0[4] => r=3
Mais 3[4] ne peut pas être un carré => équation impossible

Bon courage et A+ si nécessaire

#6 07-12-2005 22:15:34

Nina
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Merci beaucoup pour votre aide et pour les differentes methodes de John!
est ce que vous pourriez m aider pour la 2 car j ai du mal a demontrer le petit a) et j arrive pas a faire la b) et la c) sans.
merci d avance pour tout

#7 07-12-2005 22:27:36

john
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

OK OK... comme d'hab. je vais me payer le PB en entier.

2) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 3^n où a entier naturel, n entier naturel , n = 3.
a. Montrer que si n = 3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

3^2 = 9 = 1[4] (carré)
3^3 = 27 = 3[4]
3^4 = 81 = 1[4] (carré)
etc

b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

a^2 + 9 = 3^n peut s'écrire r[4] + 1[4] = 1[4] ou 3[4] => r = 0 ou 2 => a pair
Mais 2[4] ne peut être un carré donc r = 0
Par conséquent 3^n = 1[4] => 3^n est un carré => n pair

c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p = 2. Déduire d’une factorisation de 3^n – a^2, que l’équation proposée
n’a pas de solution.
3^(2p) - a^2 = (3^p - a)(3^p + a) = 9 = 1x9 ou 3x3 => impossible

A ce niveau c'est carrément de l'assistance et non plus de l'aide !
A moins que ça ne t'aide à aller au dodo plus tôt...
A+

#8 07-12-2005 22:50:49

Nina
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

merci bcp John pr ton aide ou plutot ton assistance lol!!
.............euh.........je me demandais juste si pr la 2)a. ca suffisait de donner les exemples numeriques?sinon je pense que ca ira pr le 3)...Merci encore

ps:si tu as le tps g mis un autre sujet sur les suites sous le pseudo de Nenya...ms ds ts les cas merci encore

#9 07-12-2005 23:10:08

john
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Tu peux faire une récurrence mais c'est une simple règle de calcul modulo :
à chaque fois que tu multiplies un nombre par 3, tu multiplies aussi son reste par 3 d'où la suite 1, 3, 1, 3 etc.
3^2 = 9 = 1[4] (carré)
3^3 = 27 = 3[4]
3^4 = 81 = 1[4] (carré)

3) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 5^n où a entier naturel , n entier naturel , n = 2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation est impossible si n est impair.

On a 5^(2p) = 1[3] et 5^(2p+1) = 2[3]
a^2 + 9 = 5^n peut s'écrire r[3] + 0[3] = 1[3] ou 2[3] => r = 1 ou 2
Mais 2[3] ne peut être un carré => r = 1 => 5^n = 1[3] => n = 2p

b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2)c. démonter qu’il existe un unique entier naturel a tel que a^2 + 9 soit une
puissance entière de 5.

(5^p - a)(5^p + a) = 9 = 3x3 ou 1x9 => p = 1 et a = 4 seule solution dans N.

Bonne nuit.

#10 07-12-2005 23:44:24

Nina
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Merci infiniment John, vraiment!c t tres gentil a toi! bonne nuit a toi aussi et encore merci

#11 08-12-2005 22:08:04

Nina
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

DSL john c encore moi ms je narrive pas a demontrer de maniere litterale la 2)a...tu pourrais me donner un coup de puce stp?merci

#12 09-12-2005 19:10:31

john
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Je vais hélas me répéter...
Tu peux faire une récurrence mais c'est une simple règle de calcul modulo :
à chaque fois que tu multiplies un nombre par 3, tu multiplies aussi son reste par 3 d'où la suite 1, 3, 1, 3 etc.
3^2 = 9 = 1[4] (carré) (1[4] ça veut dire 9 = 2*4 + 1 et tu oublies le 2)
3^3 = 27 = 3[4] (3[4] ça veut dire 27 = 6*4 + 3 et tu oublies le 6)
3^4 = 81 = 1[4] (carré)
-----------------------
On tire de ces petits calculs les résultats suivants :
3^(2p) = 1[4] (3^(2p) est bien le carré de 3^p)
3^(2p+1) = 3[4] (ce n'est pas un carré)

Ces 2 relations sont vraies pour p=1. Supposons qu'elles soient vraies pour p.
Pour démontrer qu'elles sont vraies également pour p+1, il suffit de les multiplier par 3^2 soit 9.
Or 9 = 1[4].
9*(3^(2p)) = 9*1[4] = 1[4]*1[4] = 1*1[4] = 1[4] = 3^(2p+2)
9*(3^(2p+1)) = 9*3[4] = 1[4]*3[4] = 3[4] = 3^(2p+3)
Ces relations sont donc vraies pour p+1.
Conclusion : Elles sont vraies quel que soit p >= 1.
Tu devrais revoir ton cours.
Bye

#13 28-10-2015 14:30:21

Pierre96
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Bonjour à vous, je suis confronté au même problème mais je ne comprend pas votre démonstration à la question 2b) et ce serait fort aimable à vous de bien vouloir m'éclairer.
Merci d'avance

#14 28-10-2015 19:04:13

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 620

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Bonsoir,

Le sujet date de plus de dix ans : le dénommé john ne te répondra pas : nul ne sait, ici, ce qu'il est devenu...
La question est :
2) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 3^n où a entier naturel , n entier naturel , n ≥ 3.
a. Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

Je reviens au a)
si n>=3, les valeurs de [tex]3^n[/tex] sont 27, 81, 243, 729...
Et je peux écrire :
[tex]27 \equiv 3 \;[4][/tex]
[tex]81 \equiv 1 \;[4][/tex]  81 = 27 * 3 donc le reste devient 3 * 3 = 9, soit 1  [4]
Et après ?
Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 1 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 3 \;[4][/tex] (1 * 3 = 3 < 4)
Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 3 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 1 \;[4][/tex] (3 * 3 = 9 et [tex]9 \equiv 1\; [4][/tex])

b. Montrer que si a existe
Je suppose donc que a existe et je me penche sur la question [tex]a^2 + 9 \equiv\,?\;[4][/tex] ?
John y avait répondu avant.
On pose [tex]a^2\equiv r\;[4][/tex] (r <4 existe toujours)
On sait que [tex]9 \equiv 1\; [4][/tex]
Donc [tex]a^2+9 \equiv r+1\;[4][/tex]
On peut donc écrire 2 "équations" modulo 4:
[tex]r+1 \equiv 1\;[4][/tex]  et on en déduit que [tex]r\equiv 0\;[4][/tex]. Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant nul, on en déduit que a^2 est multiple de 4, donc à plus forte raison pair.
Or, le carré d'un nombre impair est impair : [tex](2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1
[/tex], et le carré d'un nombre pair est pair : [tex](2k)^2=4k^2=2(2k^2)[/tex]
Donc
[tex]a^2[/tex] étant pair, a l'est aussi.


[tex]r+1 \equiv 3\;[4][/tex] et on en déduit que [tex]r\equiv 2\;[4][/tex].
Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant 2, on en déduit que a^2 est multiple de 4 plus 2, donc qu'il existe [tex]p \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]a^2=4p+2[/tex]. Or 4p+2 = 2(2p+1) qui est pair.
Donc
[tex]a^2[/tex] étant pair, a l'est aussi.

@+


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#15 28-10-2015 19:11:02

Pierre96
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Merci de me répondre yoshi, c'est très aimable à vous :)

Mais vous ne répondez au "déduisez-en que necessairement, n est pair" ?

Pierre

#16 28-10-2015 20:21:57

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 620

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Salut,

Effectivement, mais alors puisque c'est nécessaire voici pointées du doigt les pistes de réflexion :
1. D'abord :
]Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 1 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 3 \;[4][/tex]
Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 3 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 1 \;[4][/tex]

2. Ensuite :
[tex]r+1 \equiv 1\;[4][/tex]  et on en déduit que [tex]r\equiv 0\;[4][/tex]. Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant nul, on en déduit que a^2 est multiple de 4, donc à plus forte raison pair.

[tex]r+1 \equiv 3\;[4][/tex] et on en déduit que [tex]r\equiv 2\;[4][/tex].
Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant 2, il existe [tex]p \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]a^2=4p+2[/tex].

3. Enfin
[tex]27\equiv 1\;[4][/tex] et [tex]27 = 3^3[/tex] n = 3, impair
[tex]81\equiv 3\;[4][/tex] et [tex]81 = 3^4[/tex] n = 4, pair
Et [tex]3^n[/tex] ?
Si n est impair alors n = 3+ k avec k pair
si n est pair alors n = 3+ k avec k impair
Cas des  puissances suivantes (sans faire les divisions !) :
[tex]243 = 3^5 = 3^{3+2} \equiv ? \;[4][/tex]
[tex]729 = 3^6 = 3^{3+3} \equiv ? \;[4][/tex]

[tex]243 = 3^5 = 3^{3+2} \equiv ? \;[4][/tex]
[tex]729 = 3^6 = 3^{3+3} \equiv ? \;[4][/tex]

[tex]2187 = 3^7= 3^{3+4} \equiv ? \;[4][/tex]
[tex]6561 = 3^8= 3^{3+5} \equiv ? \;[4][/tex]

Tout est là, tu as tous les morceaux du puzzle, il ne te reste qu'à les emboîter correctement ;-)

Pour moi, terminé pour ce soir : à partir d'une certaine heure, il y a une trop forte probabilité que je raconte des bêtises...

P'têt qu'une bonne âme répondrait à tes questions avant demain si tu en avais...

@+


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#17 29-10-2015 08:21:30

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 620

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Bonjour,

Je vais essayer de dissiper  (légèrement) les nuées qui t'entourent (t'entouraient) pour te faciliter la compréhendion.
Que sait-on juste avant la 2e partie de la question 2 b) ?
1. On sait que si a existe, alors a est pair.
    Si a est pair, alors [tex]a^2\equiv 0 \;\;[4][/tex]
    Comme [tex]9 \equiv 1 \;\;[4][/tex], alors [tex]a^2+9 \equiv 1 \;\;[4][/tex]
   Par conséquent, on peut écrire [tex]a^n \equiv ... \;\;[4][/tex] (à toi de compléter)

2. On a vu que si n = 3,  [tex]3^n = 27 \equiv r_1 \;\;[4][/tex] (r1 = ? à toi de compléter) avec n impair
    On a vu que si n = 4, [tex]3^n = 81 \equiv r_2 \;\;[4][/tex] (r2 = ? à toi de compléter)  avec n pair
    Examinons les puissances suivantes
   *  cas où n impair : n = 3 + p, avec p pair.: [tex]3^{3+p}=3^3\times 3^p \equiv r_1 \times (\underbrace{3 \times 3 \times  ... \times 3}_{\text{p fois}})[/tex]
      Donc le reste devient 3r1 soit r2, puis 3r2 donc r1 après deux multiplications par 3, et comme p est pair [tex]3^{3+p}\equiv ...\;\;[4][/tex]
   * cas où n est pair : n = 3+p avec p impair... Même schéma d'étude que ci-dessus.

C'est mieux?

@+


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#18 09-06-2019 22:38:56

Cheifa
Invité

Re : gros besoin d'aide SVP->ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Bonjour à tous,bon! je suis nouveau dans le groupe et j'aimerais vraiment participer à ce travail que vous faites.
Merci!!

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