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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 17-09-2014 19:10:25
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
produit de corde
Salut,
Petite curiosité géométrique que j'ai aimée et que je partage avec vous :
Soit n un entier naturel (>2). Considérons le polygone régulier à n coté inscrit dans un cercle de rayon 1.
Choisissez un sommet et tracez les cordes le reliant à tous les autres sommets.
Le produit des longueurs de ces (n-1) cordes est exactement égal à n!
Voilà, reste à le démontrer, ce qui me pose encore quelques difficultés...
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#2 18-09-2014 00:08:44
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : produit de corde
Pour fixer les notations, je note O le centre du cercle, je numérote les sommets de [tex]S_0[/tex] à [tex]S_{n-1}[/tex] avec [tex]S_0[/tex] le sommet choisi Et enfin pour [tex]k\in[[1;n-1]][/tex], je note [tex]\alpha_k[/tex] l'angle [tex]\widehat{S_0OS_k}[/tex] et [tex]a_k[/tex] le longueur du segment [tex]S_0S_k[/tex].
Dernière modification par yoshi (18-09-2014 08:32:29)
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#3 18-09-2014 07:06:11
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 552
Re : produit de corde
Bonjour Tibo,
Je suis assez d'accord avec toi sur le "début" (même si les formules en latex n'apparaissent pas compilées). Je crois que la fin est un exercice "classique" lié avec les racines de l'unité et le polynôme 1+X+...+X^n.
Roro.
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#6 18-09-2014 15:56:40
- amatheur²
- Invité
Re : produit de corde
salut
vous pouvez utilisé l'identité: [tex]\prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}[/tex]
#8 18-09-2014 20:46:58
- amatheur²
- Invité
Re : produit de corde
salut
je l'avais rencontré sur un problème traitant le polynômes de tchebychev; mais je n'arrive pas à le retrouver :(
#9 18-09-2014 23:22:19
- amatheur²
- Invité
Re : produit de corde
salut
je viens de me rappeler comment on l'avait prouvé! c'est simple au fait, il suffit de remarque que pour tout complexe [tex]x[/tex] on a [tex]\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)[/tex]=[tex]x^{n}-1[/tex]=[tex](x−1)\displaystyle\sum^{n−1}_{k=0}x^k[/tex]
@
#10 18-09-2014 23:27:48
- amatheur²
- Invité
Re : produit de corde
re
l'indice du premier produit varie de k=0! désolé!