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#1 14-09-2014 10:02:41

Jesaispas
Membre
Inscription : 14-09-2014
Messages : 5

problèmes avec les fonctions polynômes du second degré (1èreS)

Bonjour c'est la première fois que nous avons autant de mal à faire un exercice de maths et nous vous appelons à l'aide. Notre prof de math nous a donné un DM de math non notée pour Lundi comportant 2 exercices dont le premier est très difficile. Voici l'énoncé et ce que mes camarades de classe et moi avons pu répondre:

Exercice 1:

PARTIE A
a-))) si a est le périmètre d'un carré, exprimer l'aire de ce carré en fonction de a.
      - nous avons mis (a/4)²
b-))) si b est le périmètre d'un cercle, exprimer l'aire du disque correspondant en fonction de b.
      - nous avons mis πx(b/2π)²

PARTIE B
On coupe un fil de 5 mètres de long, en deux morceaux. Avec le premier morceau de longueur x, on forme un cercle et avec le reste un carré
On se propose de répondre aux problèmes suivants :
Où faut-il approximativement couper le fil ( donner un résultat à 10-² près) afin que la somme des aires du carré et du disque soit minimale?

a-))) En utilisant la partie A déterminer en fonction de x l'aire du disque puis celle du carré.
      - nous avons mis        Aire disque: πx(x/2π)²        et       Aire carré: (5-x/4)²
b-))) On désignera par f la fonction somme des deux aires.
Donner une expression de f(x) puis dresser un tableau de valeurs de f(x) en utilisant un pas convenablement choisi de façon à obtenir la précision demandée pour répondre au problème posé.
      -    f = aire disque + aire carré et f(x)=πx(x/2π)²+(5-x/4)²       

( ET là ça nous pose problème donc on a voulu passer cette question et passer à celle du dessous mais pour démontrer que c'est une fonction trinôme il faut développer pour tomber sur une forme ax²+bx+c. Mais en développant on se retrouve avec de πx², des -10πx... " des pi partout ", s'il vous plait aidez nous à nous remettre sur la bonne voie!

on m'a donné hier très gentiment ce résultat :            (x²(π+4)-10πx+25π)/16π       Mais comme y parvenez vous?

PARTIE C
a-))) Démontrer que la fonction f de la partie B est une fonction polynôme du second degré. Préciser la valeur exacte de ses coefficients
b-))) calculer la valeur exacte de x pour laquelle cette fonction est minimale.
Vérifier la cohérence du résultat trouvé au b et la partie B.

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#2 14-09-2014 11:13:09

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 622

Re : problèmes avec les fonctions polynômes du second degré (1èreS)

Salut,

je ne vais pas tout faire, donc si d'autres veulent intervenir, merci !

Exercice 1:

PARTIE A
a- si [tex]a[/tex] est le périmètre d'un carré, exprimer l'aire de ce carré en fonction de a.
      - nous avons mis [tex]\left(\frac{a}{4}\right)^2[/tex] OUI

b- si [tex]b[/tex] est le périmètre d'un cercle, exprimer l'aire du disque correspondant en fonction de b.
      - nous avons mis [tex]\pi\times \left(\frac{b}{2\pi}\right)^2[/tex] OUI

PARTIE B
On coupe un fil de 5 mètres de long, en deux morceaux. Avec le premier morceau de longueur x, on forme un cercle et avec le reste un carré
On se propose de répondre aux problèmes suivants :
Où faut-il approximativement couper le fil ( donner un résultat à 10-² près) afin que la somme des aires du carré et du disque soit minimale?

a- En utilisant la partie A déterminer en fonction de x l'aire du disque puis celle du carré.
      - nous avons mis        Aire disque: [tex]\pi\times \left(\frac{x}{2\pi}\right)^2[/tex]       et       Aire carré: [tex]\left(\frac{5-x}{4}\right)^2[/tex]   OK

b- On désignera par f la fonction somme des deux aires.
Donner une expression de f(x) puis dresser un tableau de valeurs de f(x) en utilisant un pas convenablement choisi de façon à obtenir la précision demandée pour répondre au problème posé.

      -    f = aire disque + aire carré et [tex]f(x)=\pi\times \left(\frac{x}{2\pi}\right)^2+\left(\frac{5-x}{4}\right)^2   [/tex]
   
Remarque : le nombre [tex]\pi[/tex] est un paramètre comme un autre, il n'y a pas à avoir peur ... :-)

Il suffit donc de développer pour trouver l'expression d'un polynôme du second degré en x.

PARTIE C
a- Démontrer que la fonction f de la partie B est une fonction polynôme du second degré. Préciser la valeur exacte de ses coefficients

[tex]f(x)=\frac{x^2}{4\pi}+\frac{25-10x+x^2}{16} = \frac{4+\pi}{16\pi}x^2-\frac{5}{8}x+\frac{25}{16} [/tex]

b- calculer la valeur exacte de x pour laquelle cette fonction est minimale.

On doit trouver [tex]x^*=\frac{5\pi}{4+\pi}[/tex]

Vérifier la cohérence du résultat trouvé au b et la partie B.

Dernière modification par freddy (14-09-2014 11:32:27)


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#3 14-09-2014 12:24:12

Jesaispas
Membre
Inscription : 14-09-2014
Messages : 5

Re : problèmes avec les fonctions polynômes du second degré (1èreS)

Super, merci pour tout une dernière question pour le b de la PARTIE C, pour pour calculer la valeur exacte de x pour laquelle cette fonction est minimale je dois savoir pour combien f(x)= 0??

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#4 14-09-2014 14:01:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 639

Re : problèmes avec les fonctions polynômes du second degré (1èreS)

Salut,

pour calculer la valeur exacte de x pour laquelle cette fonction est minimale je dois savoir pour combien f(x)= 0??

Bonne question, mais la réponse est non.
En principe tu dois savoir qu'une parabole d'équation [tex]y = ax^2+bx+c[/tex] , avec a>0 est décroissante jusqu'à son "sommet", croissante ensuite...
Si a<0, elle croît, puis décroît...


Dans ton cas, a>0, tu as donc là, le minimum cherché.
Tu dois en principe savoir aussi que le sommet d'une parabole d'équation [tex]y = ax^2+bx+c[/tex] a pour abscisse[tex] x =\frac{-b}{2a}[/tex] :
[tex]x =\frac{-b}{2a}=\frac{\frac{5}{8} }{2\times \frac{4+\pi}{16\pi}}=\frac{5}{8}\times \frac{8\pi}{4+\pi}=\cdots[/tex]

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 14-09-2014 14:29:00

Jesaispas
Membre
Inscription : 14-09-2014
Messages : 5

Re : problèmes avec les fonctions polynômes du second degré (1èreS)

encore merci pour l'aide, j'ai compris en cherchant un peu se que la professeur attendais de moi et donc j'ai fais un tableau de variation et calculer alpha et beta de a(x-alpha)²+beta.

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