Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

LILA312 · 07-09-2014 15:34:35

Bonjour, mon prof de maths de 1ere nous à donné un devoir à faire, je bloque dessus, et commence a désespérer... Pouvez vous m'aider SVP?

"Dans un triangle équilatéral ABC, on place les points P et Q sur [BC], M et N respectivement sur [AB] et [AC] de tel manière que PQNM soit rectangle .

Comment placer ces points pour que l'aire du rectangle PQNM soit maximale? "

Merci :)

yoshi · 07-09-2014 16:36:52

Bonjour,

je bloque dessus, et commence a désespérer.

Les chants désespérés sont les chants les plus beaux
Alfred de Musset.

Blague à part, je pose AB = AC = BC =a et PQ = x et 0<x<a...
J'ai donc [tex]BP = QC =\frac{a-x}{2}[/tex]...
Les 2 triangles BPN et QCM se combinent pour donner un triangle équilatéral de côté [tex]a-x[/tex]...

Le triangle AMN est lui-même équilatéral de base [MN] : [tex]MN = x[/tex]

La hauteur d'un triangle équilatéral de côté a mesure [tex]\frac{a\sqrt 3}{2}[/tex]
L'aire f(x) du rectangle est MN * NP
NP est la hauteur du triangle équilatéral formé avec les triangles BNP et QCM de côté [tex]a-x[/tex], soit [tex]\frac{(a-x)\sqrt 3}{2}[/tex]

Cela dit, je me demande si tu es capable de trouver ça si peu de temps après la rentrée...
Sauf si tu as vu ce qu'est une dérivée et à quoi elle sert, je te conseille de faire ça comme les exos vus en 2nde, développer et mettre f(x) sous la forme [tex]k - (g(x))^2[/tex] et chercher pour quelle valeur de x, g(x) est le plus petit possible (soit = 0), et là c'est relativement direct...

Je reviens dans un peu plus de 2 h...

@+

LILA312 · 07-09-2014 18:36:40

Merci, je vais essayer ça! :)

yoshi · 07-09-2014 19:05:50

Salut,

Me rev'la...
Alors, où en es-tu ?

@+

LILA312 · 07-09-2014 19:27:22

je comprend le début, mais pas vraiment la fin :/

yoshi · 07-09-2014 19:50:40

Salut,

J'ai placé P et Q sur [BC] dans cet ordre : B, P, Q, C...

Qu'est-ce que "le début" ? Il va jusqu'où ?
[tex]NP = \frac{(a-x)\sqrt 3}{2}[/tex] L'avais tu trouvé ?

Aire [tex]f(x)= x\times \frac{(a-x)\sqrt 3}{2}[/tex] As-tu trouvé cela ?
Maintenant je récris cette aire autrement :
[tex]f(x)=\frac{\sqrt 3}{2} [x(a-x)][/tex]
Et je m'intéresse plus qu'à [tex]x(a-x)[/tex] :
[tex]x(a-x)=ax-x^2 = -(x^2-ax) =-\left[\left(x-\frac a 2\right)^2-\frac{a^2}{4}\right]=\frac{a^2}{4}-\left(x-\frac a 2\right)^2[/tex]
Comprends-tu ce que je fais sur la ligne ci-dessus ? C'est un mécanisme à connaître (mis en place en 2nde) et qui permet notamment de factoriser (si c'est possible)...

Exemple avec [tex]x^2+2x-3[/tex]
[tex]x^2+2x-3 = (x^2+2x) - 3 = [(x+1)^2 -1] - 3=...[/tex]
Je considère que :
[tex]x^2+2x[/tex] est le début du développement de [tex](x+1)^2[/tex]...
Mais [tex](x+1)^2 = x^2+2x+1[/tex], donc [tex]x^2+2x = (x+1)^2 - 1[/tex]

Te souviens-tu de ce procédé ? C'est cela qu'on utiliserait si on nous demandait d'écrire [tex]x^2+2x-3[/tex] sous forme canonique...

A te lire

LILA312 · 07-09-2014 20:43:04

Je crois comprendre, mais je ne me rappel pas vraiment l'avoir appris l'année dernière...
Je vérifierais ce que j'ai fait avec mon prof demain matin.
Merci beaucoup de votre aide :)

yoshi · 07-09-2014 21:04:04

Re,

Et l'on voit que [tex]\frac{a^2}{4}-\left(x-\frac a 2\right)^2[/tex] est maximum si [tex]\left(x-\frac a 2\right)^2[/tex] vaut 0, soit si [tex]x =\frac a 2[/tex]

@+

yoshi · 08-09-2014 12:54:41

Bonjour,

Entre deux poses de bordure, j'ai réfléchi...
Ta fonction aire :
[tex]f(x)=\frac{\sqrt 3}{2}(ax-x^2)[/tex] varie selon la valeur de x choisie sur [tex][0\;;\;a][/tex].
Quel est donc son sens de variation ?
En 2nde (et là, c'est sûr) tu as vu que la fonction f
* est croissante sur un intervalle I, si quels que soient [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] deux valeurs de x dans cet intervalle et [tex]x_2>x_1[/tex] et si on a : [tex]f(x_2)>f(x_1)[/tex]
* est décroissante si [tex]f(x_2)<f(x_1)[/tex]...

Voyons cela :
Je pose [tex]g(x)= ax-x^2[/tex]. Le sens de varation de f est le même que celui de g (j'évite de traîner les racines dans les calculs)
Le signe de [tex]f(x_2)-f(x_1) = \frac{\sqrt 3}{2}(g(x_2)-g(x_1))[/tex] est donc le même que celui de [tex]g(x_2)-g(x_1)[/tex] puisque
[tex]\frac{\sqrt 3}{2} > 0[/tex]

Le sens de variation de f est le même que celui de g (et j'évite donc de traîner les racines dans les calculs)
[tex]g(x_1)=ax_1-x_1^2[/tex]
[tex]g(x_2)=ax_2-x_2^2[/tex]
[tex]g(x_2)-g(x_1)=ax_2-x_2^2-ax_1+x_1^2[/tex]
que l'on factorise :
[tex]g(x_2)-g(x_1)=ax_2-x_2^2-ax_1+x_1^2=a(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2)=a(x_2-x_1)-(x_2+x_1)(x_2-x_1)[/tex]

D'où
[tex]g(x_2)-g(x_1)=(x_2-x_1)(a-x_2-x_1)[/tex]
Et là je vois que comme j'ai choisi [tex]x_2 > x_1[/tex] alors [tex]x_2 - x_1 >0[/tex] et le signe de [tex]g(x_2)-g(x_1)[/tex] est celui de [tex]a-x_2-x_1[/tex].
Et là je vois que si :
* [tex]x_1 < x_2 < \frac a 2[/tex] alors [tex]a-x_2-x_1 >0[/tex], donc [tex]g(x_2)-g(x_1) >0[/tex] ou encore [tex]g(x_2) >g(x_1)[/tex].
g est croissante, et f aussi
* [tex]\frac a 2 < x_1 < x_2 [/tex] alors [tex]a-x_2-x_1 < 0[/tex], donc [tex]g(x_2)-g(x_1) <0[/tex] ou encore [tex]g(x_2) <g(x_1)[/tex].
g est décroissante et f aussi.
Donc la fonction aire atteint un maximum pour [tex]x = \frac a 2[/tex]

L'expression forme canoniquee n'est ni prononcée ni utilisée en 2nde...
Rien n'empêche pourtant d'utiliser le procédé en étant guidé, parce que ce que je viens de montrer ci-dessus est plutôt lourd...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 07-09-2014 15:34:35

Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#2 07-09-2014 16:36:52

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#3 07-09-2014 18:36:40

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#4 07-09-2014 19:05:50

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#5 07-09-2014 19:27:22

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#6 07-09-2014 19:50:40

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#7 07-09-2014 20:43:04

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#8 07-09-2014 21:04:04

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

#9 08-09-2014 12:54:41

Re : Un rectangle dans un triangle équilatérale ? SECOND DEGRE

Pied de page des forums