Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

totomm · 27-06-2014 22:11:46

Bonsoir,

@ Nulenmaths
Voici 3 triangles que vous pouvez placer sur le cercle trigonométrique
Pour chacun les longueurs des 3 cotés sont :
[0.39603960396039606, 1.9693013504064225, 1.9994287161902613]
[0.7763944711302814, 1.8611818519332202, 1.9994287161902613]
[1.126001042413819, 1.679352181106227, 1.9994287161902613]

Vous paraissent-ils correspondre à votre attente qui est :
"triangles à cotés entiers décomposables en 3 triangles dont les cotés sont entiers également, tels que ceux-ci possèdent un sommet en commun, autrement dit: triangles (à cotés entiers) qui possèdent la particularité d'avoir un point interne P à distances entières de leurs sommets." ?

Eh bien ces triangles ont des cotés qui s'expriment chacun en nombres rationnels :
[tex]\frac{40}{101}, \frac{211135759672280}{107213535210701}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]

[tex]\frac{7920}{10201}, \frac{1975682039760}{1061520150601}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]

[tex]\frac{1160120}{1030301}, \frac{17650160200}{10510100501}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]

Donc, comme évoqué post #17, ces triangles sont générateurs par dilatation de triangles (super énormes !!!) correspondant à votre demande
Une formule simple permet de les générer.
Mais ce ne sont que quelques échantillons parmi une infinité, et la formule sur le cercle trigonométrique n'est qu'une solution parmi bien d'autre.

Vous pouvez donc rêver à LA FORMULE qui produirait la liste complète....

Cordialement.

0^0 · 28-06-2014 16:05:37

Bonsoir totomm,

totomm a écrit :

Vous paraissent-ils correspondre à votre attente qui est :
"triangles à cotés entiers décomposables en 3 triangles dont les cotés sont entiers également, tels que ceux-ci possèdent un sommet en commun, autrement dit: triangles (à cotés entiers) qui possèdent la particularité d'avoir un point interne P à distances entières de leurs sommets." ?

Ils semblent bien correspondre oui, tout-à-fait!

Cependant, comme tu le concèdes toi-même: les triangles que tu exposes n'appartiennent forcément qu'à un ensemble de cas doublement* particuliers parmi les triangles qui entrent dans la catégorie plus générale définie par moi.

- [doublement particuliers dans le sens où comme on l'a vu: ce sont (1) des triangles aigus et (2) leur point P est à égale distance des sommets]

Je voudrais en outre insister sur le fait que tes triangles ne font évidemment pas partie des mille premiers que j'évoque et dont j'aimerais dresser la liste comme tu le sais.

En tout cas merci pour ta recherche:

totomm a écrit :

Eh bien ces triangles ont des cotés qui s'expriment chacun en nombres rationnels :
[tex]\frac{40}{101}, \frac{211135759672280}{107213535210701}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]
[tex]\frac{7920}{10201}, \frac{1975682039760}{1061520150601}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]
[tex]\frac{1160120}{1030301}, \frac{17650160200}{10510100501}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]

Tout effort de recherche doit être salué, je me les garde sous le coude!

;)

totomm a écrit :

Donc, comme évoqué post #17, ces triangles sont générateurs par dilatation de triangles (super énormes !!!) correspondant à votre demande
Une formule simple permet de les générer.

Mais qui n'est malheureusement évidemment pas celle que je recherche...

:(

totomm a écrit :

Vous pouvez donc rêver à LA FORMULE qui produirait la liste complète....

------> Serais-tu en train de suggérer qu'une telle formule n'existe pas?

(!!!)

Cordialement de même. :)

@+

totomm · 29-06-2014 21:09:46

Bonsoir à toutes et tous
et en particulier à PasSiNulenmaths

Je ne suggère rien en ce qui concerne l'existence de la formule recherchée : la définition du problème peut conduire à divers algorithmes de recherche qui, chacun, peuvent privilégier différentes conditions particulières.
On n'est pas par exemple dans : quelle est la formule qui permet de calculer le n-ième terme de la suite de Fibonacci dont a0=1 et a1=1.

Alors j'ai défini un algorithme (c'est une formule !) qui m'a donné 30 triangles adéquats en 17 secondes de calcul sur mon PC (tout a fait familial et ayant 3 ans d'age).
Pour chacun est donné : AC, BC, AB, AM, BM, CM dans l'ordre. Avec test rigoureux, en calcul repris exclusivement en opérations sur des entiers pour vérifier AM, BM et CM et contrôle que le point M est bien intérieur au triangle.
N'a pas été investigué s'il pouvait exister plusieurs points adéquats dans le même triangle.

N° AC BC AB AM BM CM
N° 1 : 8 19 22 6 17 4
N° 2 : 13 30 32 6 28 8
N° 3 : 14 38 39 8 34 8
N° 4 : 16 38 44 12 34 8
N° 5 : 16 39 43 13 34 7
N° 6 : 17 38 43 12 35 7
N° 7 : 18 20 26 15 13 9
N° 8 : 18 48 51 17 36 14
N° 9 : 19 48 58 17 46 4
N° 10 : 20 21 23 14 13 10
N° 11 : 20 31 39 19 22 11
N° 12 : 22 37 39 13 28 15
N° 13 : 22 48 58 20 43 7
N° 14 : 23 27 28 18 20 8
N° 15 : 23 36 41 10 33 15
N° 16 : 23 44 61 22 42 4
N° 17 : 24 26 28 17 21 8
N° 18 : 24 27 39 15 26 11
N° 19 : 24 31 35 19 26 7
N° 20 : 24 42 60 20 41 8
N° 21 : 24 45 57 23 41 5
N° 22 : 24 49 52 24 32 18
N° 23 : 25 29 44 25 21 10
N° 24 : 25 36 37 14 27 15
N° 25 : 26 30 32 19 15 18
N° 26 : 26 47 60 32 29 20
N° 27 : 28 32 40 28 13 21
N° 28 : 28 35 49 29 22 15
N° 29 : 28 43 50 22 32 15
N° 30 : 28 48 64 26 42 9
Le numéro d'ordre m'est personnel et n'est qu'indicatif, car je ne sais pas ce qu'est un "bon ordre" sur l'ensemble des triangles du plan...

cordialement

Dernière modification par totomm (29-06-2014 21:21:58)

0^0 · 30-06-2014 08:41:31

Bonjour totomm,

Merci pour cette liste! Ces 30 triangles me semblent tout-à-fait adéquats! Bravo!
Je ne les ai pas encore vérifiés dans leur totalité, mais bon signe: j'y ai déjà reconnu ceux que j'avais trouvés par moi-même.
Tu es un vrai chef!
:)

Maintenant je voudrais bien en savoir plus sur ton algorithme et ses paramètres! Voudrais-tu nous exposer tout ceci?

Serait-il possible aussi de connaître la liste des 970 autres premiers triangles qu'il te donne pour arriver à 1000? - (Combien de temps faudrait-il à ton Pc pour me les sortir?)
- Le premier triangle équilatéral à apparaître devrait être celui de 112 de coté... Fait-il parti des 1000 que trouve ton programme (ou formule)?

[Ensuite, pour ce qui est de savoir s'il y a un bon ordre pour classer les triangles du plan, je crois que cette question mériterait bien qu'on lui consacre un fil de discussion.]

@+

_______

Ps: merci à Fred pour le changement de pseudo!

;)

totomm · 30-06-2014 10:43:36

Bonjour,

Passer de Nulenmaths à ZéroPuissanceZéro est une belle promotion ! Au fait 0^0 = [tex]0^0[/tex] vaut combien ?

Avant d'entrer éventuellement dans de passionnantes discussions sur les algorithmes, pourrais-tu dire, 0^0,
1. Comment tu as trouvé tes 3 triangles
2. Comment tu as vérifié que les distances aux sommets étaient bien des valeurs entières, sans une décimale lointaine qui trainerait...

Mes triangles (dont les 30) sont scalènes (cotés tous différents). Donc ne comprennent pas les triangles équilatéraux

Autre question : l'Ensemble des triangles considérés au post #1 est-il dénombrable ?

0^0 · 30-06-2014 14:32:30

Bonjour totomm,

Une promotion, certainement! Il me semble que [tex]0^0[/tex] n'a pas de valeur déterminée, c'est la raison de mon choix.

totomm a écrit :

1. Comment tu as trouvé tes 3 triangles

Hum... J'en ai repérés pas mal au compas qui auraient pu éventuellement coller (je ne dirai pas leur nombre!) mais qui en définitive n'en étaient pas... Les triangles dont je parlais et qui sont adéquats, je les ai en réalité trouvés par moi-même certes, j'ai fait la recherche, ... mais un peu sur Google quand même...

totomm a écrit :

2. Comment tu as vérifié que les distances aux sommets étaient bien des valeurs entières, sans une décimale lointaine qui trainerait...

En tapant mes calculs sur le logiciel en ligne que tu connais probablement: http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess … category=T,
qui peut donner un résultat exact jusqu'à la 1000ème décimale, ce qui permet donc d'être sûr à environ [tex]100-\frac{1}{10^{1000}}[/tex] %.

Mais c'est une excellente question que tu poses! Cela me fait penser à ce cas connu trouvé par E. Peggs:

Question: quelle est la valeur de d?

totomm a écrit :

Mes triangles (dont les 30) sont scalènes (cotés tous différents). Donc ne comprennent pas les triangles équilatéraux.

Ah! Veux-tu dire que tu as paramétré ton programme pour qu'il ne trouve que les triangles adéquats qui sont scalènes?

totomm a écrit :

Autre question : l'Ensemble des triangles considérés au post #1 est-il dénombrable ?

Encore une excellente question à laquelle je n'ai pas de réponse...

Il serait assez troublant qu'il le soit, mais je ne pense pas que cela soit impossible... A vérifier...

Qu'en penses-tu?

@+

yoshi · 30-06-2014 15:05:51

Salut,

Il me semble que 0⁰ n'ait pas de valeur déterminée, c'est la raison de mon choix.

Le sujet est controversé..
En 4e, on donne cette définition :
Si[tex] a\ne 0[/tex], alors [tex]a^0 =1[/tex]

Pourtant, par convention, il est souvent pris [tex]0^0 = 1[/tex] parce que ce serait plus pratique dans certains calculs...
Pour Python, AlgoBox, Geogebra, la calculette windows : [tex]0^0 = 1[/tex]

Cependant, il paraît que l'on peut aussi utiliser [tex]0^0 = 0[/tex]
Cela dit, je te rejoins,pour moi, si on peut choisir 0 ou 1 selon les cas, cette puissance n'est pas déterminée.
Puisque [tex]\frac{0}{0}[/tex] est une forme indéterminée, alors [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], [tex]\frac{0^n}{0^n}[/tex] l'est aussi et par voie de conséquence, comme [tex]\frac{0^n}{0^n}=0^{n-n}=0^0[/tex] alors [tex]0^0[/tex] aussi ...

@+

totomm · 30-06-2014 15:41:45

Bonjour,

Voilà qui ressemble à un test de pasSiNulenMaths ! d=7.000000085736745
facile pour les logiciels qui calculent avec 15 chiffres significatifs.

J'ai 1000 triangles scalènes en 14 min 57 s. avec mon simple programme pour trouver des triangles scalènes adéquats, que j'ai écrit pour la circonstance. Je ne connaissais pas le site WIMS et ne l'ai pas pratiqué.
Et justement le triangle 22, 27, 30 ne figure pas dans ma liste des 1000...

Mon programme recalcule "strictement" avec des entiers pour toute valeur candidate des "d", donc aucune décimale ne peut se loger dans mes triangles.

Comme les nombres rationnels, les triangles de cotés entiers forment un ensemble dénombrable. Fred ou freddy ou yoshi ou autre peuvent confirmer éventuellement.

Par continuité on prend [tex]0^0=1[/tex]. Par chance, grâce à ce 1 Nulemmaths alias 0^0 existe vraiment :-))

Cordialement

0^0 · 30-06-2014 15:42:40

Salut Yoshi,

De toute façon, que cela soit pour '0' ou pour '1' je ne suis pas bien sûr que l'on sache exactement de quoi l'on parle lorsque nous nous y référons.

Mais c'est un autre sujet...

@+

yoshi · 30-06-2014 15:46:56

RE,

@totomm
A propos de continuité ici, un peu de lecture : http://faq.maths.free.fr/texte/faq13.html

Et j'avais raison de dire qu'il ne pouvait y en avoir qu'un pour aller au bout !... S'pas ?

@+

Dernière modification par yoshi (30-06-2014 15:53:35)

0^0 · 30-06-2014 22:55:20

Re bonjour totomm,

totomm a écrit :

Voilà qui ressemble à un test de pasSiNulenMaths ! d=7.000000085736745
facile pour les logiciels qui calculent avec 15 chiffres significatifs.

Un test? Non, pas vraiment... C'était plutôt un petit exercice ludique.

Je trouvais assez surprenant qu'il soit possible de générer des valeurs 'presque entières' de cet ordre aussi simplement.

Question: Pourrait-on facilement trouver d'autres exemples de ce genre?

totomm a écrit :

J'ai 1000 triangles scalènes en 14 min 57 s.

Super!

Voudrais-tu bien me les envoyer par E-Mail s'il te plait?

totomm a écrit :

...avec mon simple programme pour trouver des triangles scalènes adéquats, que j'ai écrit pour la circonstance.

Les scalènes me semblent particulièrement intéressants, mais pourquoi éviter le cas des triangles équilatéraux (ou plus généralement: le cas des configurations qui présenteraient deux longueurs identiques ou plus?

S'il en est parmi les adéquats, je pense que les triangles que l'on devrait éliminer ce sont ceux dont les dimensions ne sont pas premières entres elles, ce qui signifie que leur(s) version(s) réduite(s) a (ont) normalement déjà été trouvée(s). - On pourrait ainsi développer la notion de 'triangles adéquats premiers'.

En parlant de 'triangles adéquats premiers' (et des 1000 premiers 'triangles adéquats premiers'...), il est nécessaire de déterminer une manière précise et judicieuse de comparer les triangles, de façon à ce l'algorithme n'en oublie aucun parmi les adéquats et qu'il progresse donc en bon ordre.

A ce propos, voici des notions que j'aimerais pouvoir définir pour n'importe quel triangle: celles de 'grandeur' et d' 'étirement'.

Question: Quelle est la proportion des triangles obtus, aigus, isocèles, rectangles, isocèles rectangles et équilatéraux parmi les triangles adéquats?

totomm a écrit :

Mon programme recalcule "strictement" avec des entiers pour toute valeur candidate des "d", donc aucune décimale ne peut se loger dans mes triangles.

Sauf peut-être parfois pour les 'd' calculées non? De quelle manière les obtiens-tu?

C'est vrai que pour les triangles adéquats, ma calculatrice numérique (précise à la millième décimale) m'indique une valeur entière suivie de ",0".

totomm a écrit :

Comme les nombres rationnels, les triangles de cotés entiers forment un ensemble dénombrable. Fred ou freddy ou yoshi ou autre peuvent confirmer éventuellement.

Oui, c'est tout-à-fait logique.. suis-je bête(?)!

totomm a écrit :

Par continuité on prend [tex]0^0=1[/tex]. Par chance, grâce à ce 1 Nulemmaths alias 0^0 existe vraiment :-))

Mouais... C'est une convention utile, mais qui ne vaut que ce qu'elle vaut.

Euh... Je ne suis pas sûr qu'1 soit plus réel que 0. Plus que zéro, oui! Mais plus réel? Je ne sais pas... Nous entrons ici dans des considérations philosophiques...

Cordialement aussi, ;)

@+

totomm · 01-07-2014 17:50:29

Bonjour,

@ 0^0 : Il est temps de faire un point d'avancement :

J'ai relevé ce qui me paraissait un bon "challenge", mais les triangles à cotés entiers ne sont pas dans mes centres d'intérêts majeurs.
Je peux conseiller sur une façon de programmer,
Je peux débloquer sur un point particulier qui serait dans mes compétences,
Par contre
Je n'ai pas vocation à faire un cours sur la représentation des nombres dans un ordinateur, sur le traitement en nombres entiers ou en nombres flottants.
Le classement des triangles et les notions de 'grandeur' et d' 'étirement' ne m'attirent pas vraiment.

En souhait de bonne continuation, voici les derniers triangles que j'ai calculés :
N° AB BC AB AM BM CM
N° 991 : 92 121 125 60 95 40
N° 992 : 93 98 170 89 84 28
N° 993 : 93 102 156 89 80 28
N° 994 : 93 108 111 60 54 72
N° 995 : 93 116 121 51 92 48
N° 996 : 93 117 120 52 92 47
N° 997 : 93 120 148 72 80 60
N° 998 : 93 120 162 95 86 36
N° 999 : 94 99 145 57 102 39
N° 1000 : 94 99 145 90 85 16
N° 1001 : 94 103 141 68 95 30

Cordialement : totomm

0^0 · 01-07-2014 18:28:59

Bonjour,

Merci pour les 11 derniers triangles calculés, mais est-ce peine perdue que de te demander une fois de plus la liste complète des triangles obtenus?

Je te promets qu'ensuite je ne te dérangerai plus avec mes questions! ;)

@+

totomm · 01-07-2014 19:02:16

Bonsoir,

Il faut m'envoyer un mail par bibmath en premier car je ne peux mettre une pièce jointe sinon.
Ensuite j'aurai l'adresse Mail où envoyer mon fichier.

Fichier envoyé sur E-Mail yahoo 21h40

Dernière modification par totomm (01-07-2014 21:44:57)

0^0 · 02-07-2014 01:38:16

Merci :)

totomm · 02-07-2014 15:03:18

Bonjour,

Le code de recherche (force brute !!!) est dans le sous-forum "Programmation"
Pour ne pas conclure sans signaler que certains triangles ont 2 points intérieurs à distance entières des 3 sommets,
et que 2 triangles parmi les 1000 numéros en ont même 3 :

N° AC BC AB AM BM CM
N° 93 : 32 76 88 24 68 16
N° 94 : 32 76 88 31 68 9
N° 250 : 47 91 96 17 83 34
N° 251 : 47 91 96 38 62 36
N° 299 : 50 114 116 33 85 43
N° 300 : 50 114 116 37 103 17
N° 331 : 52 120 128 24 112 32
N° 332 : 52 120 128 52 84 39
N° 397 : 58 61 84 46 52 17
N° 398 : 58 61 84 48 48 19
N° 401 : 58 76 108 34 79 27
N° 402 : 58 76 108 50 67 17
N° 418 : 59 76 108 54 72 8
N° 419 : 59 76 108 57 66 12
N° 426 : 60 64 76 38 57 23
N° 427 : 60 64 76 56 22 46
N° 443 : 60 92 128 48 88 18
N° 444 : 60 92 128 55 87 10
N° 499 : 63 98 119 45 76 42
N° 500 : 63 98 119 62 71 29
N° 529 : 64 112 132 55 88 31
N° 530 : 64 112 132 62 95 18
N° 544 : 65 75 100 49 61 26
N° 545 : 65 75 100 50 70 17

N° 557 : 65 117 130 44 90 45
N° 558 : 65 117 130 50 100 25
N° 559 : 65 117 130 57 79 46

N° 605 : 68 92 96 33 69 46
N° 606 : 68 92 96 51 63 34
N° 607 : 68 92 96 57 51 44

N° 641 : 70 85 95 41 56 51
N° 642 : 70 85 95 58 43 48
N° 718 : 75 100 125 36 91 51
N° 719 : 75 100 125 78 53 51
N° 733 : 76 78 119 57 64 38
N° 734 : 76 78 119 68 68 16
N° 768 : 77 120 133 49 91 49
N° 769 : 77 120 133 57 95 35
N° 786 : 78 120 126 50 104 32
N° 787 : 78 120 126 65 65 65
N° 847 : 84 92 113 19 96 68
N° 848 : 84 92 113 52 69 46
N° 870 : 84 120 126 49 98 42
N° 871 : 84 120 126 64 70 60
N° 872 : 84 121 125 48 83 60
N° 873 : 84 121 125 65 70 59
N° 914 : 87 99 108 66 86 23
N° 915 : 87 99 108 73 61 40
N° 941 : 88 120 128 65 67 68
N° 942 : 88 120 128 78 106 16
N° 944 : 88 121 143 59 92 51
N° 945 : 88 121 143 74 93 34
N° 990 : 92 121 125 51 88 55
N° 991 : 92 121 125 60 95 40
N° 999 : 94 99 145 57 102 39
N° 1000 : 94 99 145 90 85 16

Bonne continuation...

0^0 · 02-07-2014 17:03:06

Bonjour,

Bonnes observations!

Je note que les deux triangles 'ABC' qui possèdent 3 solutions pour M apparaissent en des positions très rapprochées dans l'énumération.

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 27-06-2014 22:11:46

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#27 28-06-2014 16:05:37

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#28 29-06-2014 21:09:46

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#29 30-06-2014 08:41:31

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#30 30-06-2014 10:43:36

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#31 30-06-2014 14:32:30

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#32 30-06-2014 15:05:51

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#33 30-06-2014 15:41:45

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#34 30-06-2014 15:42:40

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#35 30-06-2014 15:46:56

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#36 30-06-2014 22:55:20

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#37 01-07-2014 17:50:29

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#38 01-07-2014 18:28:59

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#39 01-07-2014 19:02:16

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#40 02-07-2014 01:38:16

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#41 02-07-2014 15:03:18

Re : Partitions de triangles entiers en triangles entiers.

#42 02-07-2014 17:03:06

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