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#1 17-04-2014 22:34:11

Choukos
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Messages : 148
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Une fonction croissante

Bonsoir à tous,
je suis face à un problème qui me fait tourner en rond : j'ai une fonction qui est incrémentée en chaque rationnel de l'intervalle [0,1] et ""constante sinon"". Est-elle strictement croissante ?

Plus précisément, le problème est le suivant :
soit [tex](q_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] une suite énumérant les rationnels de [0,1].
Soit [tex]\chi[/tex] qui vaut 0 sur [tex][0,1] - \mathbb{Q}[/tex] et pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]\chi (q_n)= \frac{1}{2^n}[/tex].
On pose [tex]f[/tex] la fonction qui à tout x de [0,1] associe la variation totale (définie ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_% … orn%C3%A9e, pour d la valeur absolue usuelle) de [tex]\chi[/tex] sur [0,x].

Alors [tex]f[/tex] est croissante et continue sur [0,1], mais est-elle strictement croissante ?
Je pense prouver que non :
[tex]\mathbb{Q}[/tex] étant totalement ordonné (car [tex]\mathbb{R}[/tex] l'est), je peux supposer que mon énumération est croissante. Je peux alors trouver deux réels distincts x et y entre, par exemple, [tex]q_0[/tex] et [tex]q_1[/tex]. Alors [tex] f(x)=f(y) [/tex] et f n'est donc pas strictement croissante.

Mais je suis embêté, parce que si x et y sont distincts, alors je peux dire que l'intervalle ouvert ]x,y[ est non-vide... D'où, par densité, l'existence d'un rationnel entre x et y ?
Ai-je vraiment le droit d'ordonner ma suite ?

Merci d'avance pour votre aide !

Edit : En fait je viens de me rendre compte que je peux pas ordonner ma suite... Du coup ma preuve tombe à l'eau mais ma question reste ouverte.

Edit 2 : en fait je crois que c'est vrai. Soit x<y deux réels de [0,1] . Alors il existe par densité deux rationnels p et q tels que x<p<q<y (appliquée à ]x,y[ on trouve q puis à ]x,q[ on trouve p). Donc f(x) < f(y).
Désolé du dérangement...

Dernière modification par Choukos (17-04-2014 23:01:31)

Hors ligne

#2 18-04-2014 05:52:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une fonction croissante

Ton edit 2 me convient....

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