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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 22-01-2007 14:57:10
- Lilinette
- Membre
- Inscription : 11-11-2006
- Messages : 7
Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes
Bonjour,
ayant un examen à la fin du mois, je m'entraîne à faire plusieurs exercices. Malheureusement, je bloque sur des question. Je vous explique l'énoncé :
Soit G un groupe d'ordre fini, non abélien, engendré par deux éléments a et b d'ordre 2.
1) On pose u=ab et H=<u>, montrer que H n'est pas d'ordre 2. On notera n l'ordre de u. (fait)
2) Montrer que tout élément de G est de forme b^r (ab)^l a^t avec r et t € {0,1}. Montrer que a(ab)a = (ab)^-1 et que H est distingué dans G. Montrer que l'intersection de H et de <a> et égal à e. (fait)
Voici les questions où je bloque :
3) En déduire que G=H.<a> et que G est d'ordre 2n.
4) En déduire que G=<u=ab,a>, et que u et a sont liés par les relations u^n=1,a^2=1,aua=u^(n-1).
5) Montrer que tous les éléments n'appartenant pas à H sont d'ordre 2.
Merci d'avance pour votre aide.
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#2 22-01-2007 17:00:38
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes
Bonjour,
J'essaie de t'aider pour la question 3), c'est sans doute simplement un jeu d'écriture.
Tu prends x dans G que tu écris b^r (ab)^l a^t
Tu as ensuite x=aaxaa=a (ab)^(r+l)a^(t+2).
Maintenant, on a a.(ab)^n.a=ab^(-n). Tu l'as fait pour n=1, pour n=2 on obtient
a(ab)^2a=a(ab)a.ba=(ab)^(-1)ba=(ab)^(-1)aab=(ab)^(-2)
On obtient donc :
x=(ab)^(-r-l)a^(t+1) qui est bien un élément de H.<a>
Je te laisse la suite...
F.
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#6 28-01-2007 16:05:07
- Lilinette
- Membre
- Inscription : 11-11-2006
- Messages : 7
Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes
J'ai encore un problème pour la dernière question. Je pense qu'il faut peut-être utiliser les groupes quotients mais je ne vois pas du tout par où commencer.
Décidément, j'ai du mal avec l'algèbre :-S
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#7 28-01-2007 17:15:04
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes
Je ne suis pas très doué en algèbre non plus, mais je pense avoir trouvé!
Etape 1: Montrer que si h est dans H, alors aha=h^(n-1).
C'est vrai si h=u, je te montre si h=u^2, au^2a=auaaua=u^(n-1)u^(n-1)=h^(n-1) -on a utilisé a^2=1 -
et c'est pareil pour u^p et puisque H est le groupe cyclique engendré par u...
Etape 2: Si v est dans G et pas dans H, il s'ecrit ha. Mais alors v^2=haha=h h^(n-1)=h^n=1, puisque l'ordre de tout élément de H divise l'ordre de H, à savoir n.
A+
Fred.
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