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#1 22-01-2007 14:57:10

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

Bonjour,

ayant un examen à la fin du mois, je m'entraîne à faire plusieurs exercices. Malheureusement, je bloque sur des question. Je vous explique l'énoncé :

Soit G un groupe d'ordre fini, non abélien, engendré par deux éléments a et b d'ordre 2.

1) On pose u=ab et H=<u>, montrer que H n'est pas d'ordre 2. On notera n l'ordre de u. (fait)
2) Montrer que tout élément de G est de forme b^r (ab)^l a^t avec r et t € {0,1}. Montrer que a(ab)a = (ab)^-1 et que H est distingué dans G. Montrer que l'intersection de H et de <a> et égal à e. (fait)

Voici les questions où je bloque :

3) En déduire que G=H.<a> et que G est d'ordre 2n.
4) En déduire que G=<u=ab,a>, et que u et a sont liés par les relations u^n=1,a^2=1,aua=u^(n-1).
5) Montrer que tous les éléments n'appartenant pas à H sont d'ordre 2.

Merci d'avance pour votre aide.

Hors ligne

#2 22-01-2007 17:00:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

Bonjour,

  J'essaie de t'aider pour la question 3), c'est sans doute simplement un jeu d'écriture.

Tu prends x dans G que tu écris b^r (ab)^l a^t
Tu as ensuite x=aaxaa=a (ab)^(r+l)a^(t+2).

Maintenant, on a a.(ab)^n.a=ab^(-n). Tu l'as fait pour n=1, pour n=2 on obtient
  a(ab)^2a=a(ab)a.ba=(ab)^(-1)ba=(ab)^(-1)aab=(ab)^(-2)

On obtient donc :
x=(ab)^(-r-l)a^(t+1) qui est bien un élément de H.<a>
Je te laisse la suite...

F.

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#3 28-01-2007 11:21:48

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

Merci de votre aide.

En fait, j'aurai une autre question, je ne comprends pas trop l'écriture G = <u=ab,a>. Qu'est-ce que signifie exactement G = <u=ab,a> ?

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#4 28-01-2007 14:43:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

Bonjour,

  J'imagine que cela signifie que G est le groupe engendré par ab et a, et qu'on pose u=ab.

Fred.

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#5 28-01-2007 14:53:33

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

Merci :-)

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#6 28-01-2007 16:05:07

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

J'ai encore un problème pour la dernière question. Je pense qu'il faut peut-être utiliser les groupes quotients mais je ne vois pas du tout par où commencer.

Décidément, j'ai du mal avec l'algèbre :-S

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#7 28-01-2007 17:15:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

Je ne suis pas très doué en algèbre non plus, mais je pense avoir trouvé!

Etape 1: Montrer que si h est dans H, alors aha=h^(n-1).
C'est vrai si h=u, je te montre si h=u^2, au^2a=auaaua=u^(n-1)u^(n-1)=h^(n-1)  -on a utilisé a^2=1 -
et c'est pareil pour u^p et puisque H est le groupe cyclique engendré par u...

Etape 2: Si v est dans G et pas dans H, il s'ecrit ha. Mais alors v^2=haha=h h^(n-1)=h^n=1, puisque l'ordre de tout élément de H divise l'ordre de H, à savoir n.

A+
Fred.

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#8 28-01-2007 18:02:33

Lilinette
Membre
Inscription : 11-11-2006
Messages : 7

Re : Besoin d'aide sur un exercice en Théorie des groupes

En fait, c'était pas dur, j'avais réussi à le faire avant de regarder la réponse :-)
Merci beaucoup en tout cas.

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