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#1 26-02-2014 01:33:32
Norme infinie
Bonsoir,
Je sèche sur un exercice, si quelqu'un pouvait m'aider :
Soit [tex]f \in L^{\infty}([a,b])[/tex], montrer que [tex]\lim_{p \rightarrow \infty}{ \Vert f \Vert_p } = \Vert f \Vert_{\infty}[/tex] où [tex] \Vert f \Vert_{\infty} = \sup_{x \in [a,b]}{\vert f(x) \vert}[/tex].
J'ai seulement montré qu'on pouvait bien calculer cette norme p et qu'on pouvait majorer par le sup... Je suis perdu pour faire l'autre sens.
Merci d'avance !
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#2 26-02-2014 08:16:46
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Norme infinie
Bonsoir,
On va montrer que, pour tout [tex]\varepsilon>0[/tex], il existe [tex]p_0[/tex] tel que, pour tout [tex]p\geq p_0[/tex], on a
[tex]\|f\|_\infty-\varepsilon\leq \|f\|_p[/tex].
Pour cela, d'après la définition de la norme infinie, il existe [tex]E\subset [a,b] [/tex] de mesure strictement positive telle que,
pour tout [tex]x\in E,\ |f(x)|\geq \|f\|_\infty-\varepsilon/2 [/tex]. On met à la puissance [tex]p[/tex], on intègre sur [tex]E[/tex], puis on met à la puissance [tex]1/p[/tex] pour trouver :
[tex]\|f\|_p\geq \left(\int_E |f(x)|^p dx\right)^{1/p}\geq \left(\int _E |f(x)|^pdx\right)^{1/p}\geq\left(\int _E (\|f\|_\infty-\varepsilon/2)^pdx\right) ^{1/p}
\geq (\|f\|_{\infty}-\varepsilon/2) m(E)^{1/p} [/tex]
Le membre de droite tend vers [tex]\|f\|_{\infty}-\varepsilon/2[/tex] si [tex]p\to+\infty[/tex]. En particulier,
[tex]\exists p_0\in\mathbb R,\ \forall p\geq p_0,\ (\|f\|_{\infty}-\varepsilon/2) m(E)^{1/p}\geq \|f\|_{\infty}-\varepsilon [/tex],
ce que l'on voulait démontrer.
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#4 27-02-2014 15:06:59
- Dico
- Membre
- Inscription : 12-12-2009
- Messages : 120
Re : Norme infinie
Salut.
J'aimerais que Fred revienne m'expliquer un ou deux trucs.
1-) Il fallait démontrer que [tex]\forall\epsilon\geq0[/tex] et pour [tex]p[/tex] assez grand, [tex]\left|||f||_{\infty}-||f||_p\right|<\epsilon[/tex].
Ce qui peut être décomposé en deux inégalités. Mais seulement, tu en as montrer une seule.
2-) Je ne vois pas la nécessité de diviser [tex]\epsilon[/tex] par 2.
Bon après-midi!
Bon après-midi!
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#5 27-02-2014 18:32:40
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Norme infinie
Salut.
J'aimerais que Fred revienne m'expliquer un ou deux trucs.1-) Il fallait démontrer que [tex]\forall\epsilon\geq0[/tex] et pour [tex]p[/tex] assez grand, [tex]\left|||f||_{\infty}-||f||_p\right|<\epsilon[/tex].
Ce qui peut être décomposé en deux inégalités. Mais seulement, tu en as montrer une seule.
C'est vrai, mais comme Choukos disait qu'il avait majoré la norme p par le sup, je n'y ai pas pris garde.
En réalité, on ne peut faire que cette majoration :
[tex] \|f\|_p\leq (b-a)^{1/p}\|f\|_\infty [/tex]
et ceci ce ne pose pas de problèmes car [tex](b-a)^{1/p}\to 1 [/tex]
2-) Je ne vois pas la nécessité de diviser [tex]\epsilon[/tex] par 2.
Bon après-midi!
C'est pour faire joli.... et puis pour se garder un peu de marge pour passer de
[tex] (\|f\|_\infty-\varepsilon/2) m(E)^{1/p}[/tex] à [tex]\|f\|_\infty-\varepsilon [/tex] lorsque p est assez grand....
Une rédaction plus simple serait d'utiliser les limites inférieures et limites supérieures... Cela éviterait de découper les epsilon!
F.
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