inégalité complexe

marioss · 26-02-2014 17:49:02

salut ,

s'il vous plait pourriez - vous montrez géométriquement que pour toute z un nombre complexe ; on a :

|1 + z² | ≥ 1 ou | 1 + z | ≥ 1/2

et merci d'avance ...

Dico · 26-02-2014 21:55:50

Salut
Posons [tex]z=x+iy[/tex].

Alors, sauf erreur, [tex]|1+z^2|^2=1+(x^2+y^2)^2+2(x^2-y^2)[/tex].

Donc, [tex]|1+z^2|\geq1[/tex], n'est pas toujours vrai. C'est vrai ssi [tex](x^2+y^2)^2\leq2(x^2-y^2)[/tex].

Contre-exemple: [tex]z=\frac{1}{3}+i\frac{1}{2}[/tex].

Bon après-midi !

Dernière modification par Dico (26-02-2014 22:20:07)

yoshi · 26-02-2014 22:15:02

Dico !

marioss a écrit :

s'il vous plait pourriez-vous montrez géométriquement

^_^

@+

Dico · 26-02-2014 22:29:01

[tex]|z-(-1)|\geq1/2[/tex], n'est vérifié que par les points extérieurs (frontière incluse) à la boule de centre le point d'affixe [tex]-1[/tex] et de rayon [tex]1/2[/tex].

Fred · 26-02-2014 23:27:46

Un peu bizarre cette question....

Ou bien [tex] |z+1|\geq 1/2 [/tex] et on a gagné...
Ou bien [tex] |z+1|< 1/2 [/tex] et dans ce cas le point [tex]M[/tex] d'affixe [tex]z[/tex]
appartient au disque de centre (-1,0) et de rayon 1/2.

Mais alors, on a
[tex] |z^2-1|=|z+1|\times |z-1|\leq \frac 12\times \frac 32=\frac 34 [/tex]

Le 1/2 vient de l'hypothèse, et le 3/2 aussi : puisque M est dans le disque de centre (-1,0) et de rayon 1/2, sa distance au point (1,0)
est inférieure ou égale à 3/2.

Ainsi, le point d'affixe [tex]z^2[/tex] est dans le disque de centre (1,0) et de rayon 3/4. Il ne peut pas être dans le disque de centre
(-1,0) et de rayon 1. Et donc [tex] |z^2+1|>1 [/tex]

C'est à moitié géométrique, non???

F.

marioss · 27-02-2014 01:03:10

merci

c'est beaucoup plus mieux d'une interprétation analytique !!!

ABB · 27-02-2014 05:59:30

Bonsoir
considérer les points M(z),E(z+i),F(z-i), N(z+1)
calculer la surface du quadrilatère OENF de deux façons( O étant l'origine du repère orthonormé )

marioss · 03-03-2014 09:34:26

salut ,

ABB

est ce que les points réfèrent à un trapézoïdale ?

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