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#1 14-01-2007 13:32:21

cléopatre
Membre active
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Postulat de Bertrand

Bonjour à tous, j'ai un petit problème de comprehension avec de postulat..
Je me suis permis de le mettre dans cette rubrique car ce n'est pas dans le programme scolaire...

On peut voir la démonstration entière ICI

1) tchebychev3_6.gif

Je ne comprends pas ce paragraphe...

2) tchebychev.gif

Comment passe t-on de 0(2m+1)-0(m+1)<= ...
à par induction 0(m+1) < ...  ????

Merci d'avance


<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
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#2 14-01-2007 15:59:01

john
Invité

Re : Postulat de Bertrand

Hi !
1) Où décroches-tu ?
2) On ne passe pas de l'une à l'autre. C'est une "nouvelle" inégalité déduite de celle écrite 6 lignes plus haut (... par induction).
La somme de ces 2 inégalités donne la dernière inégalité (... CQFD).
A+

#3 14-01-2007 20:40:21

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : Postulat de Bertrand

1) Je ne vois pas en quoi "comme p....(2n)^Racine(2n)"
2) Je vais alors reformuler ma question :
A quoi sert la troisième ligne en partant de la fin :0(2m+1)-0(m+1)<...
Comment déduis t-on la dernière induction. Je ne vois toujours pas..

Merci John de me répondre ! Bisous


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#4 15-01-2007 15:34:36

john
Invité

Re : Postulat de Bertrand

Réponse à 2)
Là, tu m'obliges à plonger...
En fait, ce lemme ne me semble pas structuré correctement pour un niveau bac, ce qui explique probablement (?) tes difficultés de compréhension.
----------------------------------
Autrefois (mon bac), une démo. par récurrence se structurait à peu près ainsi :
P(k) étant la proposition à démontrer pour tout k € N :
a) montrer que P(1) est vraie ;
b) supposer P(k) vraie jusqu'à k=n ;
c) montrer que P(n+1) vraie ;
d) conclure que P(k) vraie pour tout k € N.
Le passage de a) à b) s'appelle une induction car la forme générale de P(k) n'est pas tjs connue et doit être "intuitée" à partir de l'observation de P(1), P(2), P(3)...
----------------------------------
Donc pour revenir à nos moutons... soit à démontrer par récurrence que Q(k) < k.ln(4) pour tout k € N.

a) On a Q(1) < 1.ln(4), Q(2) < 2.ln(4), ... vraies ;

b) Supposons Q(k) < k.ln(4) vraies jusqu'à k = n ;

c) Montrons que Q(n+1) < (n+1).ln(4) est vraie :

    §1) pour n=2m (pair), on a (voir wiki) :
    Q(2m+1) - Q(m+1) <= m.ln(4) (*1)
    or, d'après b), on a aussi :
    Q(m+1) <= (m+1).ln(4) (*2)
    et (*1) + (*2) => Q(2m+1) <= (2m+1).ln(4)
    c-à-d : Q(n+1) <= (n+1).ln(4) pour n pair.

    §2) pour n=2m+1 (impair), on a :
    Q(2m+2) = Q(2m+1) => Q(2m+2) < (2m+2).ln(4)
    c-à-d : Q(n+1) <= (n+1).ln(4) pour n impair.

Finalement, d'après §1 et §2, que n soit pair ou impair, on a Q(n+1) <= (n+1).ln(4).

d) conclusion, Q(k) < k.ln(4) pour tout k € N.

OK ?
A+

#5 15-01-2007 18:49:51

cléopatre
Membre active
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Messages : 359

Re : Postulat de Bertrand

Merci, j'ai vraiment bien compris ton explication john pour la 2)...
Et maintenant il me reste plus qu'une maudit chose, la 1) :
1) Je ne vois pas en quoi "comme p....(2n)^Racine(2n)"

Dernière modification par cléopatre (15-01-2007 19:59:12)


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#6 15-01-2007 20:59:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Postulat de Bertrand

Salut,

  Je reprends la main pour la 1).
D'une part, R(p,n)<=log(2n)/log(p), on a d'une part p^(R(p,n))<=2n en passant à l'exponentielle.
D'autre part, tous les nombres premiers qui divisent  C(2n,n) sont inférieurs ou égaux à 2n, puisqu'ils interviennent dans la décomposition en facteurs premiers de (2n)!, donc sont un des facteurs premiers de k<=2n.
On utilise alors que le nombre de nombres premiers inférieur ou égaux à un entier M est inférieur ou égal à rac(M).
D'où le produit comporte au plus rac(2n) termes, et chaque terme est inférieur à 2n.

Fred.

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