Rayon d'un cercle tangent à deux droites et passant par un point (Page 1) / GeoLabo, laboratoire de géométrie / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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#1 03-07-2013 07:32:54

Duhart
Invité

Rayon d'un cercle tangent à deux droites et passant par un point

Bonjour,

Voici un petit problème sur lequel je cale:
je cherche à connaitre le rayon des deux cercles tangents à deux droites sécantes, et passant par un point. Mes données de base sont :
- l'angle alpha formé par les deux droites
- la distance d1 du point P à la droite 1
- la distance d2 du point P à la droite 2

Comme un dessin vaut mieux qu'un long discours, voici le schéma :

schema


Si quelquun peut m'aider, je le remercie d'avance.

Fred

#2 03-07-2013 19:37:07

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 127

Re : Rayon d'un cercle tangent à deux droites et passant par un point

Bonjour,


Je vais essayer.
Je place ton dessin dans un repère orthonormé dont le centre des coordonnées est le sommet de l'angle et l'axe des abscisses le côté "horizontal" de l'angle.

130703083154497229.jpg

Je pars du principe que tu peux utiliser ou que tu connais les coordonnées de P...
Si ce n'est pas le cas, j'essayerai de te fournir a et b connaissant d1 et d2...

Je pose \(\displaystyle P(a\;;\:b),\;M\left(\frac{r}{\tan(\alpha/2)}\;;\;r\right),\;N\left(\frac{R}{\tan(\alpha/2)}\;;\;R\right)\)
Avec r et R les 2 rayons cherchés, je cherche r pour que \(\displaystyle d(M\;;\:P)=r\) ...
La distance du point M au côté horizontal est le rayon cherché et l'ordonnée de M.
M centre du cercle est placé sur la bissectrice de l'angl; cette bissectrice a pour équation \(\displaystyle y = x.\tan \alpha/2\) et on en déduit l'abscisse en fonction de r.

\(\displaystyle d(M\;;\:P)=\sqrt{\left(a-\frac{r}{\tan \alpha/2}\right)^2+(b-r)^2}\)
Je vais élever au carré :
\(\displaystyle \left(a-\frac{r}{\tan \alpha/2}\right)^2+(b-r)^2 = r^2\)
Je développe :
\(\displaystyle a^2 -2a\frac{r}{\tan \alpha/2}+\frac{r^2}{(\tan \alpha/2)^2}+b^2-2br+r^2 = r^2\)
Je réduis et je factorise :
\(\displaystyle \frac{1}{(\tan \alpha/2)^2}r^2-2\left(\frac{a}{\tan \alpha/2}+b\right)r+(a^2+b^2)=0\)
Le coefficient de r étant multiple de 2, je calcule le discriminant réduit :
\(\displaystyle \Delta'= \left(\frac{a}{\tan \alpha/2}+b\right)^2-\frac{a^2+b^2}{(\tan \alpha/2)^2}\)
Les solutions r et R sont :

\(\displaystyle r,R=\frac{\left(\frac{a}{\tan \alpha/2}+b\right)\pm\sqrt{\Delta'}}{\frac{1}{(\tan \alpha/2)^2}}\)

Est-ce que tu peux faire quelque chose de ça ?

J'ai eu une journée très chargée et je n'ai pas cherché s'il y avait plus simple ni contrôlé avec un exemple numérique...
C'est prévu, j'espère, demain.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#3 03-07-2013 21:44:11

Fred Duhart
Invité

Re : Rayon d'un cercle tangent à deux droites et passant par un point

Bonjour,

J'ai pu vérifier.

Tout est correct. Merci encore!!

#4 15-09-2013 11:14:34

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Rayon d'un cercle tangent à deux droites et passant par un point

Bonjour,

Saurait-t-on tracer les cercles sans "calculer" leur rayon ? (avec règle et compas)

Hors ligne

#5 16-09-2013 14:42:04

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Rayon d'un cercle tangent à deux droites et passant par un point

Bonjour,

Pour une solution "géométrique" :

J'appelle \(\displaystyle (D_1)\) la droite 1 et \(\displaystyle (D_2)\) la droite 2. J'appelle \(\displaystyle (b)\) la bissectrice de l'angle formé par \(\displaystyle (D_1)\) et \(\displaystyle (D_2)\) et je suppose que \(\displaystyle (D_2)\) est plus éloignée de P que \(\displaystyle (D_1)\) .
Je trace un cercle C de centre P qui coupe \(\displaystyle (D_2)\) en \(\displaystyle A_1\) et \(\displaystyle A_2\) et coupe (b) en \(\displaystyle B_1\) et \(\displaystyle B_2\) .
Soit \(\displaystyle I\) le point d'intersection des médiatrices des segments \(\displaystyle [PB_1]\ et\ [PB_2]\) .
Soit \(\displaystyle \Gamma\) le cercle circonscrit au triangle \(\displaystyle PA_1A_2\)
Les points M et N, centres des cercles tangents à \(\displaystyle (D_1)\ et\ (D_2)\) et qui passent par P sont les points d'intersection avec (b) des perpendiculaires aux tangentes issues de \(\displaystyle I\) au cercle \(\displaystyle \Gamma\) .

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