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#26 14-04-2013 20:38:59

Fred
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut,

  Cet énigme de Yoshi est un paradoxe bien connu en probabilités, qu'on appelle parfois paradoxe des deux enfants,
sous une forme un peu compliquée.

La formulation initiale est la suivante : vous ouvrez la porte d'une maison qui abrite un couple avec deux enfants.
C'est une fille qui vous ouvre. A cet instant de la discussion, la probabilité pour que l'autre enfant soit un garçon est 2/3.
Puis le père s'approche et il dit : "je vous présente mon ainée". Alors dans ce cas la probabilité pour que l'autre
enfant soit un garçon descend à 1/2.

Voici l'explication. L'univers des possibles est constitué des couples suivants : (F,F), (F,G), (G,F), (G,G), où
la première lettre donne le genre de l'ainé, la seconde le genre du plus jeune. Chaque couple est équiprobable.
Lorsque une fille vous ouvre, vous savez que vous êtes dans la situation (F,F), (F,G) ou (G,F). La probabilité que l'autre enfant soit un garçon est bien 2/3, car deux couples sur les trois couples équiprobables donnent cette réponse.

Lorsque le père dit : voici mon ainé, vous pouvez encore éliminer le couple (G,F). Il ne reste que les couples (F,F) et (F,G), et donc la probabilité que l'autre enfant soit un garçon n'est plus que 1/2.

Avec la même méthode (c'est celle qui figure dans un des posts de Yoshi), avec le problème des jours de la semaine, on arrive à la réponse 13/27. C'est un paradoxe assez dérangeant, car on a l'impression que l'information que l'on donne (il est né le vendredi, c'est mon ainé) ne changent pas les données du problème. En réalité, si, cette information supplémentaire change les calculs de probabilité par le biais des probabilités conditionnelles.

Fred.

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#27 15-04-2013 09:20:34

freddy
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Re,

j'ai envie d'ajouer un p'tit plus à l'explication très claire de Fred.

Comme on dit techniquement, au début, on ne dispose pas de toute l'information.

Donc, progressivement, on en sait de plus en plus, ce qui fait évoluer les probabilités, conditionnellement en l'information reçue.

C'est tout le sens d'une loi de probabilité conditionnelle : à l'instant où je m'exprime, que sais - je ?

J'avais un prof qui avait pour habitude d'expliquer comme suit : je fais rouler un dé sur le bureau et je recouvre le numéro obtenu.

Quelle est la probabilité que "2" soit sorti ?

L'expérimentateur connait le numéro obtenu, donc il dit 0 ou 1 ;  ; le gars au fond de l'amphi n'a rien vu, donc il dit 1/6 ; un gars sait que le nombre est pair, donc il dit 1/3.

Remarque : là encore, on est convaincu qu'il s'agit d'un dé parfaitement équilibré contenant les six chiffres 1 à 6 (en clair qu'il n'est pas pipé). Et justement, les vraies question apparaissent quand on veut savoir si un dé est pipé ou pas, et comment le déceler ...

Si Fred trouve que ça n'ajoute rien à son explication, je donne mon  accord pour "virer" cet addendum.


Memento Mori ! ...

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#28 15-04-2013 13:55:26

nerosson
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut à tous,

Je reviens sur ma promesse, parce que, comme disait Pompidou, "quand les bornes sont dépassées, y a plus de limites".

Voilà maintenant qu'on remanie complétement les données du problème posé, et qu'on l'enrichit de fioritures.

Je voudrais bien, sil vous plait, que l'on s'en tienne à l'énoncé, tel qu'il est formulé dans son texte d'origine en anglais.

Oserais-je me permettre de rappeler que Freddy, avant ses brillants exposés et ses cours de logique et de morale, avait donné, en guise de première réponse : 1/2, et que Fred, dont l' intervention avait du moins le mérite d'être plus sobre, avait suggéré : 27/13, avec l' admirative approbation de Yoshi. Et voilà maintenant qu'on parle de plus de deux enfants ! ! ! Voudriez-vous, je vous en supplie, revoir l'énoncé ?

D'autre part, si l'on veut modifier les données du problème, la règle de ce site n'est-elle pas d'ouvrir une nouvelle discussion ?

Dans l'énoncé anglais, les histoires de jours de la semaine n'ont aucune incidence sur la question, que je rappelle ci-dessous mot pour mot. Yoshi, lui-même a dit qu'il s'en tamponnait le coquillard, ce que j'approuve entièrement.

Une fois débarrassé de ce fatras, le problème, tiré de son libellé anglais est celui-ci :


UNE PERSONNE A DEUX ENFANTS. L'UN EST UN GARCON. QUELLE EST LA PROBABILITE QUE CETTE PERSONNE AIT DEUX GARCONS ?

Vous voyez rouge ? Moi aussi !

Dernière modification par nerosson (15-04-2013 14:01:25)

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#29 15-04-2013 14:22:05

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Bonjour à tous

1. Si je relis le post #6 de Fred je vois qu'il a écrit :
   

J'ai écrit très vite sur une feuille de papier, mais
    J'ai l'impression que la bonne réponse est 13/27

    Et non 27/13 comme dit par nerosson
    Je vous invite à consulter le post #6

2. Il est inexact de résumer l'énoncé par
UNE PERSONNE A DEUX ENFANTS. L'UN EST UN GARCON. QUELLE EST LA PROBABILITE QUE CETTE PERSONNE AIT DEUX GARCONS ?

Le bon résumé est :
NE PERSONNE A DEUX ENFANTS. L'UN EST UN GARCON né un mardi (texte d'origine). QUELLE EST LA PROBABILITE QUE CETTE PERSONNE AIT DEUX GARCONS ?

Dans le post #13, nerosson lui-même a écrit :

Le sujet a deux enfants, dont ON SAIT QUE L'UN EST UN GARCON, NE UN VENDREDI.

J'avais changé le mardi en vendredi, afin, de contribuer à égarer les recherches Google...

L'énoncé original dit bien :

I ask people at random if they have two children and also if one is a boy born on a Tuesday.

Je ne vois pas de fioriture ajoutée...

3.

Dans l'énoncé anglais, les histoires de jours de la semaine n'ont aucune incidence sur la question, que je rappelle ci-dessous mot pour mot. Yoshi, lui-même a dit qu'il s'en tamponnait le coquillard, ce que j'approuve entièrement.

Ah non ! Pas du tout ! En répondant à ta question, j'ai précisé (là, ce sont des termes plus choisis) que le jour de naissance du 2e enfant n'avait pas d'importance dans la question.

Post #10 ma réponse a été :

4. Oui, je demande "seulement" quelle est la probabilité que ce 2e enfant soit un garçon et peu importe son jour de naissance...

Personne ici, ne triche, ni n'introduit après coup quoi que ce soit de supplémentaire dans l'énoncé...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#30 15-04-2013 14:26:18

Fred
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

nerosson a écrit :

Dans l'énoncé anglais, les histoires de jours de la semaine n'ont aucune incidence sur la question

C'est là où tu te trompes, Nérosson, et c'est ce que Freddy et moi essayons de te convaincre.
On a "l'impression" que les jours de la semaine n'ont aucune incidence sur la question,
mais ce n'est pas vrai. Ils donnent une information et seule une analyse précise de la situation,
comme celle faite dans la solution "anglaise" de Yoshi permet d'expliquer pourquoi.

C'est un paradoxe des probabilités qui est difficile à admettre, mais qui existe!

Fred.

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#31 15-04-2013 14:38:11

Yassine
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Fred a écrit :

C'est un paradoxe des probabilités qui est difficile à admettre, mais qui existe!

Fred.

J'imagine que tu dis "paradoxe" dans le sens "contre-intuitif" ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#32 15-04-2013 14:45:40

Fred
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Exactement! Ce n'est pas un paradoxe au sens où il y a une contradiction, mais au sens où cela heurte notre "bon sens".

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#33 15-04-2013 15:35:33

nerosson
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut à tous,

1) J'ai effectivement écrit 27/13 au lieu de 13/27. J'ai remplacé une réponse fausse par une autre qui ne l'était pas moins. Je suis impardonnable et je me prosterne dans la poussière, même si je ne l'ai pas fait exprès.

2) J'ai effectivement et délibérément négligé la mention "né un mardi".
A la place de : "l'un est un garçon", il faut lire :"l'un est un garçon, né un mardi".
Y aurait-il une personne charitable qui voudrait bien, si elle n'a pas le vertige, descendre jusqu'à mon humble niveau et m'expliquer pourquoi la réponse à la formulation 2 du problème doit être différente de la réponse à la formulation 1.

3) Concernant les fioritures, je voudrais que l'on me dise à quel endroit de l'énoncé on trouve ceci :  "vous ouvrez la porte d'une maison qui abrite un couple avec deux enfants.C'est une fille qui vous ouvre. A cet instant de la discussion, la probabilité pour que l'autre enfant soit un garçon est 2/3.Puis le père s'approche et il dit : "je vous présente mon ainée" . Vous n'allez pas me croire : cette phrase, je l' ai comprise, mais malheureusement, en plus d'être stupide, je dois être bigleux : dans l'énoncé, je n'ai vu nulle part qu'il soit question d' ainé ou de cadet. C'est sans doute que les enfants nés le mardi sont les ainés de ceux nés un autre jour. C'est comme les jumeaux : c'est le dernier qui sort qui est l'ainé.

Je viens de faire la récapitulation de la copieuse prestation de yoshi. La seule chose concrète qui en ressort est que,en reprenant la substance de l'énoncé, au lieu de :

UNE PERSONNE A DEUX ENFANTS. L'UN EST UN GARCON. QUELLE EST LA PROBABILITE QUE CETTE PERSONNE AIT DEUX GARCONS ?

je dois écrire :

UNE PERSONNE A DEUX ENFANTS. L'UN EST UN GARCON, NE UN MARDI. QUELLE EST LA PROBABILITE QUE CETTE PERSONNE AIT DEUX GARCONS ?

C'est curieux, sur le plan de la subtilité, je dois être au dessous de tout : je n'arrive toujours pas à comprendre en quoi ça modifie la réponse.

J'ai tout de même une idée (tout le monde se regarde avec angoisse : nérosson a une idée. C'est le pire ! On s'attendait à tout, sauf à ça ! : que va-t-il arriver !). Je me demande si vous n'êtes pas tous en train de vous enfoncer la tête dans le sable plutôt que d'admettre que le rédacteur anglais s'est mélangé les pinceaux dans la formulation de son problème.

Dernière modification par nerosson (15-04-2013 15:43:33)

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#34 15-04-2013 16:43:48

freddy
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Re,

la question est  : "quelle est la probabilité que le second enfant soit aussi un garçon, sachant que la famille a un garçon né un mardi".

En proba, tout est question d'univers de référence, tout est question de savoir dans quel univers on réfléchit et on calcule.

L'univers de référence est l'ensemble des éléments possibles, puisqu'ensuite la proba (discrète) d'un événement consistera à calculer le nombre d'éléments favorables (à cet événement) par rapport à au nombre des possibles (contenu dans l'univers de référence).

Or donc, la question anglaise dit "Auriez vous deux enfants, dont un serait un garçon né un mardi ?" Réponse "oui" !

L'univers de référence est donc tous les quadruplet formés, dans l'ordre des naissances, du sexe et du jour de naissance de l'enfant. cet ensemble est de cardinal 28.

Donc ensuite, si on demande qu'elle est la probabilité que le second soit aussi un garçon, il faut entendre : sachant qu'un des deux est un petit gars né un mardi et que l'autre est né un jour quelconque de la semaine.

Donc ensemble des éléments favorables : 13 quadruplets rapportés à l'ensemble des possibles formé de 23 27 quadruplets.

Je ne connaissais pas le paradoxe des enfants présenté par Fred, c'est pourquoi il m'a inspiré.

Dans une maison avec deux enfants, une petite fille nous ouvre  => Le référentiel est composé des quatre couples composés des paires possibles des sexes des enfants dans l'ordre ainé,  cadet : (F, F) (F, G), (G, F), G,G).

Donc puisque je sais qu'il y a une fille alors la proba qu'il y ait un garçon est donné par : ensemble de couples favorable soit (F, G), (G, F) sur ensemble des possibles composés de (F, F) (F, G), (G, F) =>  2/3.

Puis le père dit : "voici mon aînée" => là, plus aucun doute, 1 couple favorable (F, G) sur deux couples possibles (F, G) et (F, F), donc proba qu'il y ait un garçon 1/2.

Pourquoi ce travail préalable est important en statistique mathématique ?

Pour la raison que j'ai évoquée plus haut : si je veux savoir si un dé est pipé, je vais commencer par calculer la probabilité d'une expérience aléatoire sous l'hypothèse qu'il ne l'est pas.

Puis, je réalise ladite expérience aléatoire, et je regarde ce que j'obtiens, et je compare à ce que j'aurais dû obtenir sous l'hypothèse "le dé est équilibré".

A partir de là, je vais pouvoir émettre un jugement du type : "sauf erreur, je n'ai pas beaucoup de raison de rejeter l'hypothèse que le dé n'est pas pipé ..." ou alors "selon toute vraisemblance, ce dé est pipé : sur 10 lancers, je n'ai obtenu que le nombre 2 !" Et encore faut il prendre quelque précaution (la façon de faire rouler le dé par exemple ...)

Mais si au départ, je me fourre le doigt dans l'oeil, la conclusion sera elle-même entachée d'erreur et au final,  je n'aurai plus qu'à ranger mes crayons et ma règle à calcul pour date limite d'utilisation franchement dépassée ... (par exemple, j'aurais fait perdre des millions d'euro à ma boîte à cause d'un raisonnement totalement erroné).

____________
C'est la deuxième fois que je fais la modification, manifestement la première a fuité ?! ... Oui, c'est 27 = 28-1 !

Dernière modification par freddy (16-04-2013 09:16:16)


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#35 15-04-2013 17:19:05

jpp
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

salut.

j'ai fait un arbre avec géolabo.

13041507134911444.png

en vert et rouge se trouvent tous les cas où il existe au moins un garçon né un vendredi  et il faut évidemment ne retenir que les cas où il y a un second garçon.

j'ai bien  [tex]P= \frac{\frac{3}{98}+\frac{1}{28}}{\frac{3}{98}+\frac{1}{28}+\frac{1}{28}+\frac{1}{28}}=\frac{13}{27}[/tex]

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#36 15-04-2013 17:49:27

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Bonsoir,

Euh... freddy, t'aurais pas voulu écrire 27 des fois ?

nerosson a écrit :

3) Concernant les fioritures, je voudrais que l'on me dise à quel endroit de l'énoncé on trouve ceci :  "vous ouvrez la porte d'une maison qui abrite un couple avec deux enfants.C'est une fille qui vous ouvre. A cet instant de la discussion, la probabilité pour que l'autre enfant soit un garçon est 2/3.Puis le père s'approche et il dit : "je vous présente mon ainée" .

Bin, Fred a dit à ce sujet :

Cette énigme de Yoshi est un paradoxe bien connu en probabilités, qu'on appelle parfois paradoxe des deux enfants, sous une forme un peu compliquée.

Et donc là, il a simplement décrit ce qu'est le "paradoxe des 2 enfants".
Il n'a jamais écrit que le texte que tu cites figure dans l'énoncé, ou alors donne la citation...
Si je comprends bien ce que dit Fred, l'énigme que j'ai citée ici est une variante un peu compliquée de ce paradoxe.
Fred a expliqué ce paradoxe pour montrer comment l'information supplémentaire : je vous présente mon aînée modifie la probabilité de départ.
C'était dans l'intention de montrer qu'il y a une différence entre probabilité tout court et probabilité conditionnelle ("probabilité que .... sachant que...") et donc pour faire admettre plus facilement que l'information supplémentaire de l'énigme "né un mardi" modifie très subtilement la question...

Et d'ailleurs après l'explication de la méthode de résolution dudit paradoxe, Fred termine en disant

Avec la même méthode (c'est celle qui figure dans un des posts de Yoshi), avec le problème des jours de la semaine, on arrive à la réponse 13/27. C'est un paradoxe assez dérangeant, car on a l'impression que l'information que l'on donne (il est né le vendredi, c'est mon ainé) ne changent pas les données du problème. En réalité, si, cette information supplémentaire change les calculs de probabilité par le biais des probabilités conditionnelles.

L'expression "Avec la même méthode" montre bien que ce qu'a dit Fred avant n'était là que pour appliquer la méthode employée et développée post#16 au paradoxe qu'il a cité et qui est plus simple.
Ce faisant il pensait qu'appliquer  la méthode à un cas "simple" d'abord permettrait de comprendre le tableau du post#16.
C'est raté, pour moi aussi, mais je suis en train de le désosser pour essayer de comprendre  pourquoi le tableau recense 176 cas et moi 28...

@jpp
Hélas, tes calculs ou ton arbre et les mentions type G2Vbarre ne font en rien avancer la compréhension...

Désolé pour la nouvelle copieuse prestation...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#37 16-04-2013 05:43:15

freddy
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut,

@jpp : "science sans conscience n'est que ruine de l'âme" ...

Traduction : utilise les outils si tu sais les expliquer, sinon, tu ajoutes du bruit au bruit et on ne s'entend plus.

@+


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#38 16-04-2013 08:17:07

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Bonjour,

freddy, dans ton post #35; tu écris
13 quadruplets rapportés à l'ensemble des possibles formé de 23 quadruplets.N'as-tu pas voulu écrire 27 ?

Bon, le tableau de l'Anglais me donne des boutons, même si j'ai un peu avancé.
Mais je vais essayer à partir du post de Fred et du post #35 de freddy de donner une vision aussi simple que possible des choses.
Dites-moi si je mets le doigt dans l’œil et surtout pourquoi
Etape n° 1
Je cherche, et trouve une famille qui a deux enfants. Il y a donc forcément un aîné et un cadet chacun de l'un ou l'autre genre comme dit Fred.
J'ai donc les possibilités suivantes dans l'ordre (aîné,cadet)


  Lu         Ma        Me        Je      Ve       Sa          Di
(G,G)      (G,G)     (G,G)     (G,G)    (G,G)    (G,G)      (G,G)
(G,F)      (G,F)     (G,F)     (G,F)    (G,F)    (G,F)      (G,F)
(F,G)      (F,G)     (F,G)     (F,G)    (F,G)    (F,G)      (F,G)
(F,F)      (F,F)     (F,F)     (F,F)    (F,F)    (F,F)      (F,F)

28 possibilités en tout...

Etape n° 2
Si j'impose la condition  : l'un des 2 enfants est un garçon, je ne suis pas plus avancé.
Par contre si je précise l'un d'entre eux est un garçon né un mardi, j'élimine du mardi le couple (F,F)


  Lu         Ma        Me        Je      Ve       Sa          Di
(G,G)      (G,G)     (G,G)     (G,G)    (G,G)    (G,G)      (G,G)
(G,F)      (G,F)     (G,F)     (G,F)    (G,F)    (G,F)      (G,F)
(F,G)      (F,G)     (F,G)     (F,G)    (F,G)    (F,G)      (F,G)
(F,F)      (F,F)     (F,F)     (F,F)    (F,F)    (F,F)      (F,F)

Et là je tombe sur 27 couples possibles...
A partir de cet instant, exit la probabilité 1/2 !

Etape 3... Que ce soit l'aîné ou le cadet.
C'est là que ça me gêne aux entournures...
Je dois encore avoir un garçon... : j'élimine donc du mardi (F,G) et (G,F)
Pour les autre jours de la semaine, je dois donc éliminer tous les autres couples (F,F).

Si "cet autre" est l'âiné et un G, je vais donc encore éliminer de ces 6 autres jours le couple (F,G) et du mardi (G,F) et (F,G) :


  Lu         Ma        Me        Je      Ve       Sa          Di
(G,G)      (G,G)     (G,G)     (G,G)    (G,G)    (G,G)      (G,G)
(G,F)      (G,F)     (G,F)     (G,F)    (G,F)    (G,F)      (G,F)
(F,G)      (F,G)     (F,G)     (F,G)    (F,G)    (F,G)      (F,G)
(F,F)      (F,F)     (F,F)     (F,F)    (F,F)    (F,F)      (F,F)

Et si c'est le cadet, je vais donc encore éliminer de ces 6 autres jours le couple (G,F) et du mardi (F,G)  et (G,F):


  Lu         Ma        Me        Je      Ve       Sa          Di
(G,G)      (G,G)     (G,G)     (G,G)    (G,G)    (G,G)      (G,G)
(G,F)      (G,F)     (G,F)     (G,F)    (G,F)    (G,F)      (G,F)
(F,G)      (F,G)     (F,G)     (F,G)    (F,G)    (F,G)      (F,G)
(F,F)      (F,F)     (F,F)     (F,F)    (F,F)    (F,F)      (F,F)

Ce qui dans les 2 cas me laisse 6 *2 + 1 = 13 cas favorables... sur 27 en tout...

Mais ça ne me satisfait pas vraiment...

A vos critiques et explications.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#39 16-04-2013 08:32:25

Yassine
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

@yoshi,
j'ai du mal à lire ton premier tableau (ça démarre bien ;-) )
Ou se trouve la possibilité (l'ainé est un garçon né le lundi, le cadet est une fille née le samedi) ? Est-ce que sur une colonne donnée, les deux enfants sont forcément nés le même jour ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#40 16-04-2013 08:56:54

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Re,

Mon premier tableau correspond à :
il y a deux enfants dans cette famille...
Je me repenche sur ce que j'ai fait : j'ai pensé : OU, mais je dois avoir foiré la réalisation : parce qu'effectivement, rien ne vaut un œil extérieur et ton objection est pertinente... Avec un tel tableau les 2 sont forcément nés le même jour ! Zut !
Il me semble que j'entrevois le pourquoi des 196 cas du tableau du post #16...

Bon, je m'y recolle

@+


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#41 16-04-2013 10:16:17

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Ave,

Je reprends mon bâton de pèlerin.
Je désigne par 1 le lundi, 2, le mardi, 3 le mercredi and so on...
G1 signifiera garçon né un lundi, G1F2 l'aîné est un garçon né un lundi, le cadet est une fille née un mardi.
Cas où les 2 enfants sont de sexes différents


G1F1      G1F2      G1F3      G1F4      G1F5      G1F6      G1F7
G2F1      G2F2      G2F3      G2F4      G2F5      G2F6      G2F7
G3F1      G3F2      G3F3      G3F4      G3F5      G3F6      G3F7
G4F1      G4F2      G4F3      G4F4      G4F5      G4F6      G4F7
G5F1      G5F2      G5F3      G5F4      G5F5      G5F6      G5F7
G6F1      G6F2      G6F3      G6F4      G6F5      G6F6      G6F7
G7F1      G7F2      G7F3      G7F4      G7F5      G7F6      G7F7

et


F1G1      F1G2      F1G3      F1G4      F1G5      F1G6      F1G7
F2G1      F2G2      F2G3      F2G4      F2G5      F2G6      F2G7
F3G1      F3G2      F3G3      F3G4      F3G5      F3G6      F3G7
F4G1      F4G2      F4G3      F4G4      F4G5      F4G6      F4G7
F5G1      F5G2      F5G3      F5G4      F5G5      F5G6      F5G7
F6G1      F6G2      F6G3      F6G4      F6G5      F6G6      F6G7
F7G1      F7G2      F7G3      F7G4      F7G5      F7G6      F7G7

Cas où les deux enfants sont de même sexes :


G1G1      G1G2      G1G3      G1G4      G1G5      G1G6      G1G7
          G2G2      G2G3      G2G4      G2G5      G2G6      G2G7
                    G3G3      G3G4      G3G5      G3G6      G3G7
                              G4G4      G4G5      G4G6      G4G7
                                        G5G5      G5G6      G5G7
                                                  G6G6      G6G7
                                                            G7G7

et


F1F1      F1F2      F1F3      F1F4      F1F5      F1F6      F1F7
          F2F2      F2F3      F3F4      F3F5      F3F6      F3F7
                              F4F4      F4F5      F4F6      F4F7
                                        F5F5      F5F6      F5F7
                                                  F6F6      F6F7
                                                            F7F7

Bon, je crois n'avoir rien oublié...
Maintenant, je vais passer à l'étape un garçon né un mardi et éliminer....

@+


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#42 16-04-2013 10:37:50

Yassine
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Sans vouloir être désagréable, et pour raccourcir les post, je te propose d'adopter une notation plus compacte.
1 tableau = [tex](G_iF_j)_{1 \leq i,j \leq 7}[/tex], cardinal = 7*7
2 tableau = [tex](F_iG_j)_{1 \leq i,j \leq 7}[/tex], cardinal = 7*7
3 tableau = [tex](G_iG_j)_{1 \leq j \leq i \leq 7}[/tex], cardinal = 7*8/2
4 tableau = [tex](F_iF_j)_{1 \leq j \leq i \leq 7}[/tex], cardinal = 7*8/2


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#43 16-04-2013 11:06:55

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut,

La compacité, c'est bien, la lisibilité c'est mieux.
Je ne retiens pas ta notation parce que nous ne sommes pas qu'entre matheux et que je souhaite que tout le monde puisse comprendre du 1er coup, parce qu'elle m'écorche les yeux et que j'ai fait le plus gros...
Mon père me disait souvent "Le mieux est l'ennemi du bien", à prendre avec des pincettes quand même...
La suite ne sera pas si longue...
Ai-je oublié un cas ? Parce que j'ai bien l'impression que ça ne va pas coller non plus...

@+

[EDIT]Je me réponds...
Oui, j'ai oublié par exemple G2G1, je l'avais éliminé me disant "c'est la même chose que G1G2"... Arf, non !
Et maintenant je colle au nombre de cas du tableau du post #16 : (7 * 7) * 4 = 196 cas

Dernière modification par yoshi (16-04-2013 11:28:35)


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#44 16-04-2013 12:22:51

Yassine
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

J'allais en effet te le signaler (pause déjeuner aidant).
Pas de problème si tu ne veux pas adopter ma suggestion d'une notation plus compacte.
Remarque en passant : si tu arranges tes tableux en 4 blocs (2 en hauts et 2 en bas), tu retrouveras le même tableau (à la notation près, les numéros accolés à G et F sont redondant avec le numéro de ligne et de colonne) que celui du british (ou yankee) que tu avais posté au post #16 (GG en haut à gauche, FF en bas à droite, FG en bas à gauche et GF en haut à droite).

A+


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#45 16-04-2013 12:33:58

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

doublon effacé mais pas supprimé pour ne pas modifier les références ultérieures

Dernière modification par yoshi (17-04-2013 18:07:24)


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#46 16-04-2013 12:51:32

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut,

Certes, mais je n'avais rien compris à ce tableau trop compact, justement...
Maintenant, ça va !
Mais nerosson, et c'est pour lui que je fais ce boulot, n'avait apparemment pas compris non plus et je trouve ma notation plus explicite, même si je prends de la place...
Donc à partir des 196 cas possibles, je place un garçon sur les deux enfants, ce qui m'élimine le tableau n°4 qui ne comprend que des filles.
J'ai reproduit les tableaux restants via Python et j'ai demandé que tout item ne comprenant pas G2 soir remplacé par xxxx.

Il me reste donc :
tableau 1
La ligne : G2F1     G2F2     G2F3     G2F4     G2F5     G2F6     G2F7    7 items

tableau 2
La 2e colonne (replacée en ligne pour tenir moins de place ^_^): F1G2    F2G2    F3G2    F4G2   F5G2    F6G2   F7G2   7 items

tableau 3 que je reproduis quand même (pour la lisibilité)


xxxx     G1G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
G2G1     G2G2     G2G3     G2G4     G2G5     G2G6     G2G7    
xxxx     G3G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
xxxx     G4G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
xxxx     G5G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
xxxx     G6G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
xxxx     G7G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx

   
Soit 13 items
J'ai donc 7 + 7 + 13 = 27 cas possibles

Et il est évident maintenant que si j'ajoute la condition : un 2e garçon, j'élimine les 2 premiers tableaux : reste 13 cas favorables...
Et non 14...
Probabilité 13/27...

@+


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#47 16-04-2013 12:58:00

nerosson
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut à tous,

Voudriez vous avoir l'élémentaire honnêteté de reconnaître que vous êtes sorti du problème initial, tel qu'il a été posé dans le texte anglais d'origine, pour vous lancer dans un autre énoncé plus à votre goût ?

Vous me rappelez une vieille balançoire littéraire entendue cent fois "Racine a décrit les hommes tels qu'ils sont, Corneille les a décrit tels qu'ils devraient être" Vous autres, vous prenez l' énoncé tel que voudriez qu'il soit, moi je m'en tiens aux données de l'énoncé tel qu'il est.

Yoshi a écrit "la question est  : "quelle est la probabilité que le second enfant soit aussi un garçon, sachant que la famille a un garçon né un mardi".

1) C'est faux : il faut dire "l'autre enfant" et non pas "le second enfant".

2) Se pencher sur sur cette question,en restant dans les seules limites de cette question, telle qu'elle est formulée ici, c'est poser en principe que, dans un famille de deux enfants, le fait que l'un d'eux soit un garçon né un mardi est susceptible d'influer sur la probabilité que l'autre enfant soit un garçon ou une fille.

Par ailleurs, je vois dans le post de yoshi : "Puis le père dit : "voici mon aînée" => ". Ce qui, bien entendu modifie de fond en comble les données du problème.

Après quoi, on fait des phrases à consonnance hautement scientifique, des tableaux, des diagrammes et on est bien content de soi. Mais il n'y en aura pas un pour dire "on a changé de problème".

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#48 16-04-2013 13:38:57

Yassine
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Nerosson, je ne pense pas que yoshi soit sorti de l'épure du problème initial.

nerosson a écrit :

1) C'est faux : il faut dire "l'autre enfant" et non pas "le second enfant".

Je pense qu'il s'agit là d'une ambiguité due à la langue. Quelqu'un à deux enfant et me dit "J'en ai un sur les deux qui est malade", si je lui dis "et comment va le second ?" je ne suis pas en train de parler du deuxième dans l'ordre de naissance, mais du second relativement au premier qui a été désigné. Je ne sais pas si je suis clair, mais dans le contexte, la question "probabilité que le second soit un garçon sachant qu'un des deux est un garçon" est à comprendre dans le sens de  "probabilité que les deux soient des garçons sachant qu'un des deux est un garçon" (formulation qui d'ailleurs est utilisée dans le texte en anglais).
Toutes les contributions faites par yoshi, Fred, freddy et jpp retaient dans ce strict cadre, nonobstant l'ambuiguité que tu as soulignée.


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#49 16-04-2013 15:00:50

yoshi
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Bonjour,

Désolé Yassine, je vais être long...
D'accord avec lui pour 2nd : j'avais vu et après j'ai employé "cet autre" pour éviter toute ambiguïté..

Après quoi, on fait des phrases à consonance hautement scientifique, des tableaux, des diagrammes et on est bien content de soi. Mais il n'y en aura pas un pour dire "on a changé de problème".

Alors là, c'est fort...
Je me suis crevé le c... toute la matinée et une partie de l'après-midi pour lire des choses pareilles !
M'enfin, nerosson, la phrase que tu cites, tu la sors de son contexte : elle fait partie de l'exemple donné par Fred qui n'est pas cette énigme mais qui a servi de base à l'auteur anglais pour l'élaboration de son énigme, exemple - plus simple - utilisé pour décrire une méthode permettant de résoudre l'énigme.
Je cite intégralement le post #27

Salut,

  Cet énigme de Yoshi est un paradoxe bien connu en probabilités, qu'on appelle parfois paradoxe des deux enfants,
sous une forme un peu compliquée.

La formulation initiale est la suivante : vous ouvrez la porte d'une maison qui abrite un couple avec deux enfants.
C'est une fille qui vous ouvre. A cet instant de la discussion, la probabilité pour que l'autre enfant soit un garçon est 2/3.


Puis le père s'approche et il dit : "je vous présente mon ainée". Alors dans ce cas la probabilité pour que l'autre
enfant soit un garçon descend à 1/2.

Voici l'explication. L'univers des possibles est constitué des couples suivants : (F,F), (F,G), (G,F), (G,G), où
la première lettre donne le genre de l'ainé, la seconde le genre du plus jeune. Chaque couple est équiprobable.
Lorsque une fille vous ouvre, vous savez que vous êtes dans la situation (F,F), (F,G) ou (G,F). La probabilité que l'autre enfant soit un garçon est bien 2/3, car deux couples sur les trois couples équiprobables donnent cette réponse.

Lorsque le père dit : voici mon ainée, vous pouvez encore éliminer le couple (G,F). Il ne reste que les couples (F,F) et (F,G), et donc la probabilité que l'autre enfant soit un garçon n'est plus que 1/2.

Avec la même méthode (c'est celle qui figure dans un des posts de Yoshi), avec le problème des jours de la semaine, on arrive à la réponse 13/27. C'est un paradoxe assez dérangeant, car on a l'impression que l'information que l'on donne (il est né le vendredi, c'est mon ainé *) ne changent pas les données du problème. En réalité, si, cette information supplémentaire change les calculs de probabilité par le biais des probabilités conditionnelles.

Fred.

La partie en italique concerne le paradoxe des 2 enfants qui a servi à l'auteur anglais pour construire son énigme.
(*) là, c'est une faute de frappe au même titre donc que 27/13 par rapport à 13/27... ça ne doit pas figurer là...
Ce n'est pas "mon" énigme.
La partie en bleu concerne directement l'énigme dont il est question dans cette discussion.
Est-ce suffisamment clair ?


----------------------------------------------------------------------------------------------

Revenons à l'énigme et l'établissement de la preuve.

Oublie, s'il te plaît, tout ce qui a pu être raconté jusqu'à maintenant.
Je mets tout par terre et je reconstruis

Donc, nerosson, je fais un dernier effort, je vais simplement te demander de me dire si oui ou non tu es d'accord avec ce que je dis, à chaque étape : c'est la seule façon de sortir de l'impasse.
Si c'est non, argumente en te servant de ce post s'il te plaît et de rien d'autre : moi, je ne ferai aucune allusion à tout autre post.
Et je vais suivre l'énoncé anglais pas à pas...

Je vais procéder en 3 étapes.
Étape n° 1 : je vais recenser tous les cas possibles de composition G/F d'un groupe de 2 enfants (sans autre précision supplémentaire) en tenant compte de l'ordre Aîné Cadet, du sexes et du jour de naissance. Je vais être exhaustif.
Étape n° 2 : cela fait, j'introduirai la condition : un garçon né un mardi et je recenserai alors toutes les compositions possibles que je puiserai parmi celles ci-dessus.
Étape n° 3 : j'introduirai enfin la condition supplémentaire ajoutée par la question. J'obtiendrai alors le nombre de cas répondant aux conditions de l'énigme, sans rien de plus, ni rien de moins.

Est-ce que j'ai été clair dans la description du plan que je vais suivre ? Oui ou Non ?

Bon je commence.

Notations
Je désigne par 1 le lundi, 2, le mardi, 3 le mercredi and so on...
G1 signifiera garçon né un lundi, G1F2 l'aîné est un garçon né un lundi, le cadet est une fille née un mardi.
C'est bon ?

Étape n°1

I ask people at random if they have two children (...)
After a long search I finally find someone who answers yes.

Je n'ai rien ajouté ? Ok ?
Je n'évoque pour le moment pas le fait qu'il y a obligatoirement un garçon, je suppose simplement à ce stade que l'anglais a trouvé une famille de 2 enfants sans autre précision.
Je rappelle que je m'occuperai de la précision : garçon né un mardi quand j'aurai fini de dresser l'ensemble de toutes les compostions possibles d'une phratrie de 2 enfants, en distinguant Garçon/Fille, aîné et cadet, jour de semaine.

Donc l'anglais a fini par trouver une famille de 2 enfants...
En tenant compte du fait qu'à partir de 2 enfants, il y un aîné et un cadet, la composition de la phratrie se trouve figurer dans les cas suivantes (il n'y en a pas d'autres).
1. Si la phatrie est composée de 2 enfants de sexes opposés
   a) et l'aîné est un garçon
    Je vais énumérer ci-dessous tous les cas en 7 lignes.
    Prenons au hasard la 4e ligne  : si l'aîné est un garçon et qu'il est né un jeudi (G4) sa sœur peut être née n'importe quel autre jour de la semaine : donc l'identifiant de cette demoiselle va de F1 à F7...
   Et donc l'identification de la phratrie va de G4F1à G4F7.
Mais l'identifiant de ce garçon peut être n'importe lequel allant de G1 à G7 et pour chacun d'entre eux, l'identifiant féminin peut être choisi de F1 à F7...


    G1F1     G1F2     G1F3     G1F4     G1F5     G1F6     G1F7    
    G2F1     G2F2     G2F3     G2F4     G2F5     G2F6     G2F7    
    G3F1     G3F2     G3F3     G3F4     G3F5     G3F6     G3F7    
    G4F1     G4F2     G4F3     G4F4     G4F5     G4F6     G4F7    
    G5F1     G5F2     G5F3     G5F4     G5F5     G5F6     G5F7    
    G6F1     G6F2     G6F3     G6F4     G6F5     G6F6     G6F7
    G7F1     G7F2     G7F3     G7F4     G7F5     G7F6     G7F7

On est d'accord sur le tableau ci-dessus ?

   b) Mais l'aîné pouvant être une fille, je dresse donc un 2e tableau sur le même principe :


    F1G1     F1G2     F1G3     F1G4     F1G5     F1G6     F1G7    
    F2G1     F2G2     F2G3     F2G4     F2G5     F2G6     F2G7    
    F3G1     F3G2     F3G3     F3G4     F3G5     F3G6     F3G7    
    F4G1     F4G2     F4G3     F4G4     F4G5     F4G6     F4G7    
    F5G1     F5G2     F5G3     F5G4     F5G5     F5G6     F5G7    
    F6G1     F6G2     F6G3     F6G4     F6G5     F6G6     F6G7    
    F7G1     F7G2     F7G3     F7G4     F7G5     F7G6     F7G7

Cela dit, la phratrie peut être homogène GG ou FF.

2. Si la phratie est composée de deux enfants du même sexes
    a) et les deux enfants sont des garçons


    G1G1     G1G2     G1G3     G1G4     G1G5     G1G6     G1G7    
    G2G1     G2G2     G2G3     G2G4     G2G5     G2G6     G2G7    
    G3G1     G3G2     G3G3     G3G4     G3G5     G3G6     G3G7    
    G4G1     G4G2     G4G3     G4G4     G4G5     G4G6     G4G7    
    G5G1     G5G2     G5G3     G5G4     G5G5     G5G6     G5G7    
    G6G1     G6G2     G6G3     G6G4     G6G5     G6G6     G6G7    
    G7G1     G7G2     G7G3     G7G4     G7G5     G7G6     G7G7

    b) et les deux enfants sont des filles


    F1F1     F1F2     F1F3     F1F4     F1F5     F1F6     F1F7    
    F2F1     F2F2     F2F3     F2F4     F2F5     F2F6     F2F7    
    F3F1     F3F2     F3F3     F3F4     F3F5     F3F6     F3F7    
    F4F1     F4F2     F4F3     F4F4     F4F5     F4F6     F4F7    
    F5F1     F5F2     F5F3     F5F4     F5F5     F5F6     F5F7    
    F6F1     F6F2     F6F3     F6F4     F6F5     F6F6     F6F7    
    F7F1     F7F2     F7F3     F7F4     F7F5     F7F6     F7F7

Voilà, j'ai dénombré exactement 196 compositions possibles d'une phratie de 2 enfants en tenant compte de l'ordre de naissance, du jour de la semaine et du sexes desdits enfants.

D'accord avec ça ou pas ?

------------

Étape n°2

Maintenant je retourne à l'énoncé, parce qu'en fait il est un peu plus précis :

I ask people at random if they have two children and also if one is a boy born on a Tuesday.
After a long search I finally find someone who answers yes.

Donc, je dois sabrer dans mes tableaux en tenant du compte que l'un des enfants est un garçon né un mardi, aîné ou cadet.
Je m'en vais donc remplacer par xxxx toute composition qui ne contiendrait pas G2 : un garçon né le mardi.
L'ensemble des cas possibles, avant la question sur le 2nd l'autre enfant, s'établit comme suit :
1. Si les deux enfants sont de sexes opposés,
   a) et que l'aîné est un garçon :


    xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    G2F1     G2F2     G2F3     G2F4     G2F5     G2F6     G2F7    
    xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx

   b) et que l'aîné des 2 enfants est une fille :


    xxxx     F1G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     F2G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     F3G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     F4G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     F5G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     F6G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     F7G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx

2. Si la phratie est composée de 2 enfants de même sexe.
     A ce stade de l'avancée de l'énigme, je sais qu'il s'agit du cas de 2 garçons, j'élimine donc en totalité le tableau avec 2 filles :


    xxxx     G1G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    G2G1     G2G2     G2G3     G2G4     G2G5     G2G6     G2G7    
    xxxx     G3G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G4G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G5G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G6G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G7G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx

A ce stade de l'énigme, je dénombre donc 7 + 7 + 13 = 27 cas possibles, 27 compositions de 2 enfants comprenant au moins un garçon, aîné ou cadet, né un mardi.
D'accord ou pas ?

---------

Étape n° 3

Je recense maintenant parmi les compositions précédentes celles qui répondent à l'ajout de la condition supplémentaire un 2e garçon quel que soit son jour de naissance.
Pourquoi est-ce que fais ça ? Parce qu'une probabilité c'est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.
J'ai déterminé à l'étape n° 2, le nombre de cas possibles avant que toute question soit posée...
Quant au nombre de cas favorables, n'ayant pas encore lu la question, je ne peux pas encore, à ce stade, y répondre.

Donc retour à l'énigme :

I ask people at random if they have two children and also if one is a boy born on a Tuesday.
After a long search I finally find someone who answers yes.
What is the probability that this person has two boys?

Je triche ou pas ? J'ai modifié l'énoncé ou pas ?

Et maintenant, je sais qu'il y a deux garçons dont un né un mardi, qu'il soit l'aîné ou le cadet.
Alors il ne me reste plus que ça :


    xxxx     G1G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    G2G1     G2G2     G2G3     G2G4     G2G5     G2G6     G2G7    
    xxxx     G3G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G4G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G5G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G6G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx    
    xxxx     G7G2     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx     xxxx

Soit 13 cas favorables. Oui ou Non ?

Proba 13/27

@+

Dernière modification par yoshi (17-04-2013 09:31:45)


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#50 16-04-2013 16:16:30

freddy
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Re : Auriez-vous 2 enfants ?

Salut,

@yoshi, il est question de fratrie, pas de phratrie (qui a un sens plus large, je pense).

@nerosson : bon, quand tu seras convaincu, tu auras le droit de revenir et de ne plus bouder ... :-)

Quel testoun, celui-là !

Dernière modification par freddy (16-04-2013 16:16:55)


Memento Mori ! ...

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