Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 14-04-2013 13:47:57
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Encore un oral ENS
Bonjour,
ça va finir par devenir une habitude, mais je sèche à nouveau.
Exo :
Soit [tex]A_s = \left\{(x_n) \in (\mathbb{R}_+^*)^{\mathbb{N}} | \sum_{n \geq 0}x_n = s\right\}[/tex]
Déterminer l'ensemble [tex]\left\{\sum_{n \geq 0}x_n^2 | (x_n) \in A_s\right\}[/tex]
J'ai essayé une sommation par partie : [tex]\sum_{n \leq N}x_n^2 = x_NS_N+\sum_{n \leq N-1}S_n(x_n-x_{n+1})[/tex] où [tex]S_n=\sum_{i \leq n}x_i[/tex]. Comme Sn converge vers s, la somme quadratique se comporte comme le dernier terme.
J'ai essayé d'autres bricoles (genre travailler sur le carré de Sn), sans vraiment de succès.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
Hors ligne
#2 14-04-2013 21:17:54
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Encore un oral ENS
Bonjour,
Je crois que l'ensemble en question est [tex] ]0,s^2[ [/tex]. Comme la preuve que j'ai en tête est assez longue,
je n'en fais que le sommaire.
1. On ne peut pas dépasser [tex]s^2[/tex], ni même l'atteindre. Ceci vient simplement en prenant le carré de [tex]\sum_n x_n[/tex].
2. On peut s'approcher de [tex]s^2[/tex] aussi près qu'on veut. Ce serait trivial si on s'autorisait ce que certains termes de la suite soient nuls
(prendre [tex]x_0=s, x_n=0[/tex] sinon). Là il faut un peut tricher en prenant [tex]x_0[/tex] presque égal à [tex]s[/tex] et les autres très petits.
3. On peut s'approcher de [tex]0[/tex] aussi près que l'on veut. Cette fois, il faut choisir tous les [tex]x_n[/tex] très petits.
4. L'ensemble en question est un intervalle. En effet, si [tex]a[/tex] est la valeur donnée par la somme des carrés de la suite [tex](x_n)[/tex],
et si [tex]b[/tex] est la valeur correspondant à [tex](y_n)[/tex], la fonction
[tex]f(t)=\sum_{n\geq 0}(tx_n+(1-t)y_n)^2[/tex] est continue (c'est un polynôme de degré 2), qui vérifie [tex]f(0)=b[/tex] et [tex]f(1)=a[/tex].
Fred.
Hors ligne
#3 15-04-2013 10:12:38
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Encore un oral ENS
Bonjour Fred,
C'est beau. J'aime beaucoup le point 4), c'est élégant et efficace.
Pour le point 2), et pour complétude du post, je propose [tex]x_0=s-\epsilon[/tex] et [tex]x_n = (\frac{\epsilon}{1+\epsilon})^{n}[/tex], ce qui donne [tex]\sum_{n \geq 0}x_n = s - \epsilon + \sum_{n \geq 1}(\frac{\epsilon}{1+\epsilon})^{n} = s[/tex] et [tex]\sum_{n \geq 0}x_n^2 = (s - \epsilon)^2 + \sum_{n \geq 1}((\frac{\epsilon}{1+\epsilon})^2)^{n}=(s - \epsilon)^2+\frac{\epsilon^2}{1+2\epsilon}[/tex] qui tend vers [tex]s^2[/tex] quand [tex]\epsilon \to 0[/tex]
Je suis néanmoins demandeur d'un peu plus d'éclairsissement sur le point 3). Vu qu'on a une contrainte sur la convergence de [tex]\sum x_n[/tex], on n'a pas loisir de choisir les [tex]x_n[/tex] aussi petits qu'on veut. J'avais en particulier écris ceci (je note [tex]S_n=\sum_{i\geq0}^n x_i[/tex] et [tex]B_n=\sum_{i\geq0}^n x_i^2[/tex]) : [tex]S_n^2=B_n + \sum_{i \geq 0}^n x_i(S_n-x_i)[/tex], ensuite (attention les oreilles), je délire en disant que les [tex]x_i[/tex] peuvent être "approximés" par leur moyenne, ie [tex]x_i \approx \frac{S_n}{n}[/tex], ce qui me "donne" [tex]B_n \approx S_n^2 - \frac{n-1}{n}S_n[/tex]. Je me disais donc (certainement à tort) que [tex]s^2-s[/tex] (pour s plus grand que 1 bien sûr) devait être une valeur un peu critique.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
Hors ligne
#4 15-04-2013 10:25:51
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Encore un oral ENS
Salut,
Pose [tex]x_n=\frac{s-\epsilon}{N}[/tex] pour [tex]n=0,...,N-1[/tex] et [tex]x_n=\frac{\epsilon}2 2^{-(n-N)}[/tex] pour [tex]n\geq N[/tex],
avec [tex]\epsilon[/tex] qui tend vers 0 et [tex]N[/tex] qui tend vers l'infini.
Si je ne me trompe pas, [tex]\sum_{n=0}^{N-1}x_n^2[/tex] peut se contrôler par [tex]s^2/N[/tex] et le reste par [tex]\epsilon^2[/tex].
Fred.
Hors ligne
#5 15-04-2013 10:38:46
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Encore un oral ENS
C'est tout à fait exact.
Merci Fred.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
Hors ligne
#6 15-04-2013 17:40:03
- jazz24
- Membre
- Inscription : 01-01-2013
- Messages : 15
Re : Encore un oral ENS
C'est bien beau en effet comme discussion. Je ne peux guère me promener à de tels sommets ... Mais cela reste comme une belle carte postale !
Merci donc.
Jazz24
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée