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#1 14-04-2013 13:47:57

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Encore un oral ENS

Bonjour,
ça va finir par devenir une habitude, mais je sèche à nouveau.
Exo :
Soit [tex]A_s = \left\{(x_n) \in (\mathbb{R}_+^*)^{\mathbb{N}} | \sum_{n \geq 0}x_n = s\right\}[/tex]
Déterminer l'ensemble  [tex]\left\{\sum_{n \geq 0}x_n^2 | (x_n) \in A_s\right\}[/tex]

J'ai essayé une sommation par partie : [tex]\sum_{n \leq N}x_n^2 = x_NS_N+\sum_{n \leq N-1}S_n(x_n-x_{n+1})[/tex] où [tex]S_n=\sum_{i \leq n}x_i[/tex]. Comme Sn converge vers s, la somme quadratique se comporte comme le dernier terme.
J'ai essayé d'autres bricoles (genre travailler sur le carré de Sn), sans vraiment de succès.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#2 14-04-2013 21:17:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Encore un oral ENS

Bonjour,

Je crois que l'ensemble en question est [tex] ]0,s^2[ [/tex]. Comme la preuve que j'ai en tête est assez longue,
je n'en fais que le sommaire.

1. On ne peut pas dépasser [tex]s^2[/tex], ni même l'atteindre. Ceci vient simplement en prenant le carré de [tex]\sum_n x_n[/tex].

2. On peut s'approcher de [tex]s^2[/tex] aussi près qu'on veut. Ce serait trivial si on s'autorisait  ce que certains termes de la suite soient nuls
(prendre [tex]x_0=s, x_n=0[/tex] sinon). Là il faut un peut tricher en prenant [tex]x_0[/tex] presque égal à [tex]s[/tex] et les autres très petits.

3. On peut s'approcher de [tex]0[/tex] aussi près que l'on veut. Cette fois, il faut choisir tous les [tex]x_n[/tex] très petits.

4. L'ensemble en question est un intervalle. En effet, si [tex]a[/tex] est la valeur donnée par la somme des carrés de la suite [tex](x_n)[/tex],
et si [tex]b[/tex] est la valeur correspondant à [tex](y_n)[/tex], la fonction
[tex]f(t)=\sum_{n\geq 0}(tx_n+(1-t)y_n)^2[/tex] est continue (c'est un polynôme de degré 2), qui vérifie [tex]f(0)=b[/tex] et [tex]f(1)=a[/tex].


Fred.

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#3 15-04-2013 10:12:38

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Encore un oral ENS

Bonjour Fred,
C'est beau. J'aime beaucoup le point 4), c'est élégant et efficace.
Pour le point 2), et pour complétude du post, je propose [tex]x_0=s-\epsilon[/tex] et [tex]x_n = (\frac{\epsilon}{1+\epsilon})^{n}[/tex], ce qui donne [tex]\sum_{n \geq 0}x_n = s - \epsilon + \sum_{n \geq 1}(\frac{\epsilon}{1+\epsilon})^{n} = s[/tex] et [tex]\sum_{n \geq 0}x_n^2 = (s - \epsilon)^2 + \sum_{n \geq 1}((\frac{\epsilon}{1+\epsilon})^2)^{n}=(s - \epsilon)^2+\frac{\epsilon^2}{1+2\epsilon}[/tex] qui tend vers [tex]s^2[/tex] quand [tex]\epsilon \to 0[/tex]

Je suis néanmoins demandeur d'un peu plus d'éclairsissement sur le point 3). Vu qu'on a une contrainte sur la convergence de [tex]\sum x_n[/tex], on n'a pas loisir de choisir les [tex]x_n[/tex] aussi petits qu'on veut. J'avais en particulier écris ceci (je note [tex]S_n=\sum_{i\geq0}^n x_i[/tex] et [tex]B_n=\sum_{i\geq0}^n x_i^2[/tex]) : [tex]S_n^2=B_n + \sum_{i \geq 0}^n x_i(S_n-x_i)[/tex], ensuite (attention les oreilles), je délire en disant que les [tex]x_i[/tex] peuvent être "approximés" par leur moyenne, ie [tex]x_i \approx \frac{S_n}{n}[/tex], ce qui me "donne" [tex]B_n \approx S_n^2 - \frac{n-1}{n}S_n[/tex]. Je me disais donc (certainement à tort) que [tex]s^2-s[/tex] (pour s plus grand que 1 bien sûr) devait être une valeur un peu critique.


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#4 15-04-2013 10:25:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Encore un oral ENS

Salut,

  Pose [tex]x_n=\frac{s-\epsilon}{N}[/tex] pour [tex]n=0,...,N-1[/tex] et [tex]x_n=\frac{\epsilon}2 2^{-(n-N)}[/tex] pour [tex]n\geq N[/tex],
avec [tex]\epsilon[/tex] qui tend vers 0 et [tex]N[/tex] qui tend vers l'infini.

Si je ne me trompe pas, [tex]\sum_{n=0}^{N-1}x_n^2[/tex] peut se contrôler par [tex]s^2/N[/tex] et le reste par [tex]\epsilon^2[/tex].

Fred.

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#5 15-04-2013 10:38:46

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Encore un oral ENS

C'est tout à fait exact.
Merci Fred.


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#6 15-04-2013 17:40:03

jazz24
Membre
Inscription : 01-01-2013
Messages : 15

Re : Encore un oral ENS

C'est bien beau en effet comme discussion. Je ne peux guère me promener à de tels sommets ... Mais cela reste comme une belle carte postale !
Merci donc.
Jazz24

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