Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 23-11-2005 13:29:02

abdel
Membre
Inscription : 23-11-2005
Messages : 2

fonctions lipschitziennes

salut a tous merci de bien vouloir me donner des indications pour ces questions surtout la 2ème merci davance

Prouver que la composée de deux fonctions lipschitziennes est également lipschitzienne.
En cherchant à faire apparaître f(x) - f(y) et g(x) - g(y) dans la différence (f x g)(x) - (f x g)(y), trouver une condition sur f et g afin que le produit de deux fonctions lipschitziennes soit lipschitzienne.

Hors ligne

#2 23-11-2005 13:32:25

abdel
Membre
Inscription : 23-11-2005
Messages : 2

Re : fonctions lipschitziennes

abdel a écrit :

salut a tous merci de bien vouloir me donner des indications pour ces questions surtout la 2ème merci davance

Prouver que la composée de deux fonctions lipschitziennes est également lipschitzienne.
En cherchant à faire apparaître f(x) - f(y) et g(x) - g(y) dans la différence (f x g)(x) - (f x g)(y), trouver une condition sur f et g afin que le produit de deux fonctions lipschitziennes soit lipschitzienne.

Hors ligne

#3 25-11-2005 16:09:48

raja
Membre
Inscription : 20-11-2005
Messages : 2

Re : fonctions lipschitziennes

si f est lipschitzienne alors
il existe un k >0 tel que [f(x)-f(y)]<k[x-y]  (ou "["designe la valeur absolue , la méme chose pour g qui est k'-lipschitzienne) ainsi on aura
               
                           [f*g(x)-f*g(y)]<k[g(x)-g(y)]<kk'[x-y]     (g(x) E D(f) domeine de definition de f)
donc f*g est kk'-lipschitzienne
pour la 2ème ona,
     [(f.g)(x)-(f.g)(y)]=[f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)]                       
                           <=[f(x)][g(x)-g(y)]+[f(x)-f(y)][g(y]
                           <=MK'[x-y]+K[x-y]M'
                            <=(MK'+M'K)[x-y]
donc pour que le produit de fonctions lipschi soit lipsch il doivent étre  majorées ici M le majorant de f et M' celui de g

Hors ligne

#4 07-06-2011 17:39:00

hedie
Membre
Inscription : 07-06-2011
Messages : 1

Re : fonctions lipschitziennes

oui, on peut généraliser cette résultat pour les fonctions $\alpha$-holdorienne $\alpha\leq 1$

mon question est le suivant:
si $f$ est $\alpha$-holdorienne $ et $g$ est $\beta$-holdorienne $ tel que $\alpha\not=\beta $

que peut on dire sur le produit $fg$

Hors ligne

#5 17-11-2021 00:17:11

Amanyamany
Membre
Inscription : 04-09-2021
Messages : 1

Re : fonctions lipschitziennes

Je cherche à démonter que si f et g sont lipschitziennes, alors f.g n'est lipschitzienne que si f et g dont tout les 2 bornées.

Hors ligne

#6 17-11-2021 07:35:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : fonctions lipschitziennes

Bonjour,

  D'abord, en plus du bonjour manquant, n'as-tu pas vu le bouton "Créer une nouvelle discussion" sur l'accueil du forum "Entraide (supérieur)". La règle ici est : un sujet, une discussion.

Ensuite, je ne comprends pas bien ta question. Est-elle
1) $f$ et $g$ bornées $\implies$ $f\cdot g$ lipschitzienne

ou

2) $f\cdot g$ lipschitzienne $\implies$ $f$ et $g$ bornée?

F.

En ligne

#7 17-11-2021 10:11:42

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : fonctions lipschitziennes

Bonjour,

On peut déjà montrer ( pas bien dur ) ( P étant une partie de [tex]\mathbb{R}[/tex] ) que
si f et g sont lipschitziennes et bornées sur P, alors le produit fg est lipschitzien sur P.
Une condition suffisante pour que le produit de deux fonctions lip. soit lip. est qu'elles soient bornées.
Si P est un segment, c'est donc automatique.

Alain

Dernière modification par bridgslam (17-11-2021 10:13:17)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#8 17-11-2021 11:44:25

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : fonctions lipschitziennes

Bonjour,


Amanyamany a écrit :

Je cherche à démonter que si f et g sont lipschitziennes, alors f.g n'est lipschitzienne que si f et g dont tout les 2 bornées.

Cela est faux, il suffit de multiplier par la fonction nulle une fonction lipschitzienne non bornée, le résultat est bien lipschitzien sans que les deux fonctions soit bornées.
Pire : je te laisse regarder la fonction [tex]\sqrt{x} [/tex] qui est non bornée et lip. sur [1, +inf [, son produit par elle-même est l'identité,  qui est bien lip, et c'est pourtant un produit de deux fonctions dont aucune n'est bornée.

Alain

Dernière modification par bridgslam (17-11-2021 14:10:05)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#9 18-11-2021 17:09:46

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : fonctions lipschitziennes

Bonsoir,

On a aussi, de manière un peu connexe au sujet initial, qu'une application continue sur un segment y est toujours presque lipschitzienne, au sens où à un écart de [tex]\epsilon >0 [/tex] près (arbitraire) elle est lipschitzienne ( ce qu'on peut formaliser avec les quantificateurs évidemment).


Alain

Dernière modification par bridgslam (19-11-2021 08:52:02)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt un moins soixante huit
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums