Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 23-11-2005 13:29:02
- abdel
- Membre
- Inscription : 23-11-2005
- Messages : 2
fonctions lipschitziennes
salut a tous merci de bien vouloir me donner des indications pour ces questions surtout la 2ème merci davance
Prouver que la composée de deux fonctions lipschitziennes est également lipschitzienne.
En cherchant à faire apparaître f(x) - f(y) et g(x) - g(y) dans la différence (f x g)(x) - (f x g)(y), trouver une condition sur f et g afin que le produit de deux fonctions lipschitziennes soit lipschitzienne.
Hors ligne
#2 23-11-2005 13:32:25
- abdel
- Membre
- Inscription : 23-11-2005
- Messages : 2
Re : fonctions lipschitziennes
salut a tous merci de bien vouloir me donner des indications pour ces questions surtout la 2ème merci davance
Prouver que la composée de deux fonctions lipschitziennes est également lipschitzienne.
En cherchant à faire apparaître f(x) - f(y) et g(x) - g(y) dans la différence (f x g)(x) - (f x g)(y), trouver une condition sur f et g afin que le produit de deux fonctions lipschitziennes soit lipschitzienne.
Hors ligne
#3 25-11-2005 16:09:48
- raja
- Membre
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 2
Re : fonctions lipschitziennes
si f est lipschitzienne alors
il existe un k >0 tel que [f(x)-f(y)]<k[x-y] (ou "["designe la valeur absolue , la méme chose pour g qui est k'-lipschitzienne) ainsi on aura
[f*g(x)-f*g(y)]<k[g(x)-g(y)]<kk'[x-y] (g(x) E D(f) domeine de definition de f)
donc f*g est kk'-lipschitzienne
pour la 2ème ona,
[(f.g)(x)-(f.g)(y)]=[f(x)g(x)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(y)g(y)]
<=[f(x)][g(x)-g(y)]+[f(x)-f(y)][g(y]
<=MK'[x-y]+K[x-y]M'
<=(MK'+M'K)[x-y]
donc pour que le produit de fonctions lipschi soit lipsch il doivent étre majorées ici M le majorant de f et M' celui de g
Hors ligne
#4 07-06-2011 17:39:00
- hedie
- Membre
- Inscription : 07-06-2011
- Messages : 1
Re : fonctions lipschitziennes
oui, on peut généraliser cette résultat pour les fonctions $\alpha$-holdorienne $\alpha\leq 1$
mon question est le suivant:
si $f$ est $\alpha$-holdorienne $ et $g$ est $\beta$-holdorienne $ tel que $\alpha\not=\beta $
que peut on dire sur le produit $fg$
Hors ligne
#5 17-11-2021 00:17:11
- Amanyamany
- Membre
- Inscription : 04-09-2021
- Messages : 1
Re : fonctions lipschitziennes
Je cherche à démonter que si f et g sont lipschitziennes, alors f.g n'est lipschitzienne que si f et g dont tout les 2 bornées.
Hors ligne
#6 17-11-2021 07:35:08
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : fonctions lipschitziennes
Bonjour,
D'abord, en plus du bonjour manquant, n'as-tu pas vu le bouton "Créer une nouvelle discussion" sur l'accueil du forum "Entraide (supérieur)". La règle ici est : un sujet, une discussion.
Ensuite, je ne comprends pas bien ta question. Est-elle
1) $f$ et $g$ bornées $\implies$ $f\cdot g$ lipschitzienne
ou
2) $f\cdot g$ lipschitzienne $\implies$ $f$ et $g$ bornée?
F.
En ligne
#7 17-11-2021 10:11:42
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 299
Re : fonctions lipschitziennes
Bonjour,
On peut déjà montrer ( pas bien dur ) ( P étant une partie de [tex]\mathbb{R}[/tex] ) que
si f et g sont lipschitziennes et bornées sur P, alors le produit fg est lipschitzien sur P.
Une condition suffisante pour que le produit de deux fonctions lip. soit lip. est qu'elles soient bornées.
Si P est un segment, c'est donc automatique.
Alain
Dernière modification par bridgslam (17-11-2021 10:13:17)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
Hors ligne
#8 17-11-2021 11:44:25
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 299
Re : fonctions lipschitziennes
Bonjour,
Je cherche à démonter que si f et g sont lipschitziennes, alors f.g n'est lipschitzienne que si f et g dont tout les 2 bornées.
Cela est faux, il suffit de multiplier par la fonction nulle une fonction lipschitzienne non bornée, le résultat est bien lipschitzien sans que les deux fonctions soit bornées.
Pire : je te laisse regarder la fonction [tex]\sqrt{x} [/tex] qui est non bornée et lip. sur [1, +inf [, son produit par elle-même est l'identité, qui est bien lip, et c'est pourtant un produit de deux fonctions dont aucune n'est bornée.
Alain
Dernière modification par bridgslam (17-11-2021 14:10:05)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
Hors ligne
#9 18-11-2021 17:09:46
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 299
Re : fonctions lipschitziennes
Bonsoir,
On a aussi, de manière un peu connexe au sujet initial, qu'une application continue sur un segment y est toujours presque lipschitzienne, au sens où à un écart de [tex]\epsilon >0 [/tex] près (arbitraire) elle est lipschitzienne ( ce qu'on peut formaliser avec les quantificateurs évidemment).
Alain
Dernière modification par bridgslam (19-11-2021 08:52:02)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
Hors ligne
Pages : 1