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#1 24-11-2006 23:04:05

eliass
Invité

etudier la convergence d'une suite

salut je cherche une preuve a cet exercice:

d(n) fonction arithmetique designant le nombre de diviseurs positifs de n montrer:


  pour tous 1<r    lim1/n^r[d(1)+d(2)+.....+d(n)]=0

                 merci d'avance

#2 25-11-2006 22:24:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : etudier la convergence d'une suite

Bonsoir,

  L'idée est de calculer différemment d(1)+d(2)+...+d(n).
Posons m(k,n) le nombre de multiples de k compris entre 1 et n.
Alors on a : d(1)+d(2)+...+d(n)=m(1,n)+...+m(n,n)
(je te laisse trouver la justification, l'idée est, quand on calcule d(1)+...+d(n),
de rassembler ensemble tous les nombres dont 2 est un diviseur par exemple, etc...).
Ensuite, il est facile de prouver que m(k,n)<= n/k

Ainsi, d(1)+d(2)+...+d(n)<=n(1+1/2+1/3+...+1/n).

Je te laisse conclure.

Frédéric.

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