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#1 27-11-2012 22:29:37

dubois
Membre
Inscription : 26-11-2012
Messages : 1

Cercles tangents

Amis géomètres, bonsoir,

Je me demande si on peut montrer de façon élégante, sans les ignobles calculs que j'ai commis, le phénomène suivant :
étant donnés deux réels strictement positifs a et b, si on colle autour d'un cercle de rayon 1 des cercles tangents de rayon successifs a, b, b/a, 1/a, 1/b et a/b, chacun étant tangent extérieurement au cercle unité initial et au cercle précédemment rajouté, le dernier cercle, de rayon a/b, est aussi tangent au premier cercle extérieur de rayon a.

C'est très esthétique, on peut faire des pavages de cercles avec ce procédé en le reproduisant autour de n'importe quel cercle, mais la démonstration du phénomène décrit me semble très laide, ce n'est pas encore un beau problème de géométrie...

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#2 28-11-2012 15:09:13

nerosson
Membre actif
Inscription : 21-03-2009
Messages : 1 658

Re : Cercles tangents

Salut à tous,

Bienvenue sur ce site, ami. Tu verras que tu vas t'y plaire.

Quant à ton problème, ne compte pas sur moi pour le résoudre : je suis sur ce site comme un spectateur., comparable à un gars qui aime regarder les matchs de foot internationaux, mais qui n'a jamais touché un ballon depuis sa classe de sixième.

Mais il y a un point sur lequel je ne suis pas d'accord avec toi : je trouve que c'est un beau problème, et je suis fâché de n'être pas capable de le résoudre. J'espère qu'un des brillants cerveaux qui illuminent ce site y parviendra.

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#3 28-11-2012 17:59:22

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Cercles tangents

Bonsoir,

Je suis tout à fait d'accord avec nerosson : c'est un beau problème géométrique

Obtenir 6 cercles tangents extérieurement à un cercle unité et tangents successivement entre eux circulairement est cependant aisé, et sans respecter obligatoirement circulairement la suite a, b, b/a, 1/a, 1/b et a/b :

Soient 6 points quelconques (a priori) A1, A2,…,A6 sur un cercle C0 de centre O, de rayon 1 et les tangentes à C0 en ces 6 points,
Soient T1, T2,…,T6 les points d'intersections de ces tangentes. On construit facilement 6 cercles C1 à C6 orthogonaux au cercle C0 et ayant pour centres ces 6 points d'intersection : Ces 6 cercles sont tangents 2 à 2 aux points A1 à A6.
On choisi un point P1 sur la demi-droite [OA1) et on construit la deuxième tangente au cercle C1 et son point d'intersection P2 avec [OA2)
On construit la deuxième tangente au cercle C2 et son point d'intersection P3 avec [OA3)
Et ainsi jusqu'à construire P5
Les cercles de centres P1 à P5 et tangents au cercle C0 sont 2 à 2 tangents entre eux.
Idem pour construire P6 et le 6ème cercle, mais il faut ajuster le point A6 en fonction du choix de A1 à A5 !

Ainsi la construction est possible avec 5 paramètres indépendants

Les cercles C1 à C6 sont les cercles inscrits dans les triangles que forment les points P1 à P6 avec le centre O de C0

Cordialement

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