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#1 19-10-2012 07:43:57

totomm
Membre
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Triangle rectangle et bissectrices : Suite

Bonjour,

Le problème "Triangle rectangle et bissectrices" est de niveau Collège.
On peut avoir remarqué que le rectangle, et le point A en particulier n'y jouent aucun rôle.
Voici donc la suite, de niveau quelque peu plus élevé :

Soit C1 le cercle de diamètre [AB] et O le milieu du segment [AB]
Soit T le point d'intersection du cercle C1 et du segment[AN].
Soit R le point d'intersection des droites (D) et (OT)
Question : Que pensez-vous du cercle de centre R et passant par le point T ?
(Justification géométrique SVP.) Niveau : Je ne sais pas. Avis plus compétent que le mien demandé.

Nota : Ce problème est une solution géométrique au problème :"Le cercle des géomètres disparus" dans le forum Enigmes.

Cordialement

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#2 19-10-2012 10:52:02

amatheur²
Invité

Re : Triangle rectangle et bissectrices : Suite

salut
les droites (D) representent quoi au juste?

#3 19-10-2012 14:33:00

totomm
Membre
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Messages : 1 093

Re : Triangle rectangle et bissectrices : Suite

Bonjour,

@ amatheur : Un peu d'humour ne nuit pas...
Si vous pensez qu'écrire "Soit R le point d'intersection des deux droites (D) et (OT)" ou
"Soit R le point d'intersection de la droite (D) et de la droite (OT)" vous mènera mieux vers la solution, je suis prêt à modifier.

Cordialement

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#4 19-10-2012 17:03:28

amatheur²
Invité

Re : Triangle rectangle et bissectrices : Suite

salut
je n'ai pas vue qu'il s'agit d'une suite de ton dernier problème, alors je me demandais d'ou es ce qu'elle sort(ent) cette droite(s) (D) "j'ai du les prendre pour une famille de droites", excusez-moi!

#5 21-10-2012 08:23:46

totomm
Membre
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Messages : 1 093

Re : Triangle rectangle et bissectrices : Suite

Bonjour,

D'abord un rappel de l'énoncé initial :
Soit ABC un triangle rectangle en C et  H sur [AB] le pied de la hauteur issue de C.
Soit (D) la droite passant par B et perpendiculaire à [AB].
Les bissectrices des angles des droites concourantes (BC) et (CH) coupent (D) en M et N.
Montrer que les segments [BM] et [BN] ont même longueur.

Une solution géométrique consiste à montrer que les triangles CBN et CBM sont isocèles  d'où l'égalité des longueurs BN=BC et BM=BC

Rappel de la suite de l'énoncé :
Soit C1 le cercle de diamètre [AB] et O le milieu du segment [AB]
Soit T le point d'intersection du cercle C1 et du segment[AN].
Soit R le point d'intersection des droites (D) et (OT)
Question : Que pensez-vous du cercle de centre R et passant par le point T ?

Réponse : Le cercle de centre R et passant par le point T est manifestement tangent au cercle C1 ; il est aussi tangent à la droite (BC) si vous avez choisi le point N dans le demi-plan où se situe le triangle ABC.

Pour le démontrer géométriquement : Soit D' la droite passant par C et perpendiculaire à la droite (AB). Soit U le pied de la perpendiculaire abaissée du point N sur (D') ;
Montrer que les points B, T et U sont alignés ;
Montrer que le cercle de centre N passant par U est tangent à la droite (BC)

Cordialement

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