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yoshi

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Carré et triangles équilatéraux

Bonjour,

On considère un carré ABCD.
A l'intérieur de ce carré placer E tel que DEC soit un triangle équilatéral.
A l'extérieur du carré, placer un point F tel que CFB soit un triangle équilatéral.
Montrer que A, E, F sont alignés (résolution demandée niveau 3e)

@+

[EDIT]
Pour mieux connaître ce que sait un élève de 3e : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=5554

Dernière modification par yoshi (19-10-2012 13:46:07)

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jpp

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Re : Carré et triangles équilatéraux

salut.

▼une réponse

si je projette le point E en I sur la droite suport de AB , puis le point F en J sur cette même droite , j'obtiens 2 triangles rectangles  . Pour démontrer que les points A , E & F sont alignés , il suffit de démonter qu'ils sont homothétiques.  Pour cela il faut vérifier cette proportion :

en posant a le coté du carré .

                             [tex]\frac{AI}{IE} = \frac{AJ}{JF}[/tex]   c'est à dire : [tex]\frac{\frac{a}{2}}{a-a.\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{a + a.\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{a}{2}}[/tex]  .

Et là , avec le produit des moyens et celui des extrèmes :  [tex]\frac{a^2}{4} = a^2 - \frac{3}{4}.a^2[/tex]

les triangles sont bien homothétiques avec Thales  et les points A , E & F sont ainsi alignés.

yoshi

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Re : Carré et triangles équilatéraux

Salut jpp,

C'était le problème de mon CAPES. Et les souvenirs* remontent à la surface petit à petit...
J'avais eu une heure pour préparer ma réponse pédagogique et trouver  3 méthodes de résolution pour des 3e... ! Et ça a passé assez vite !

Donc, venons-en à nos moutons : très ingénieux ! Belle démonstration courte.

Toutefois, tu ne t'es pas limité qu'au prog de 3e qui ne comprend ni homothétie, ni triangles semblables ou égaux.
Quant à ta manipulation des racines carrées, elle est hors de portée d'un élève de 3e : pas assez de maîtrise technique.
J'aurais du mettre ce lien http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=5554 dans ce sujet aussi : c'est rectifié, même si c'est un peu tard pour jpp. Toutes mes excuses...

C'est tout l'intérêt de ce problème : arriver à le faire avec le peu de moyens.

(résolution demandée niveau 3e)

Ce qui suit n'a d'autre intérêt que de servir à un prof débutant qui ne sait pas trop ce qu'il doit faire ou ne pas faire. N'y voyez aucun "pédantisme" de ma part, juste un témoignage sur le prog de 3e.

▼Pourquoi en 3e ne peut-on procéder comme jpp ?

Un élève de Collège ou de Lycée qui écrirait une égalité avant de l'avoir démontrée se ferait sucrer pas mal de points (voire la totalité) dans sa résolution : ce procédé est récurrent dans la recherche si un triangle est rectangle (via Pythagore : réciproque et contraposée) et si 2 droites sont parallèles (via Thalès : réciproque et contraposée).
[spoiler = Ce que ne sait pas l'élève de 3e avec les racines carrées]
1. Il lui est strictement interdit de poser cette égalité (vrai aussi pour le Lycéen) :  [tex]\frac{\frac{a}{2}}{a-a.\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{a + a.\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{a}{2}}[/tex].
   Il veut prouver cette égalité, donc stricto sensu, il ignore si elle est vraie. C'est ch... pénible, mais c'est comme ça.

2. Il aurait donc dû procéder par multiplication du numérateur et du dénominateur du 1er rapport par la "quantité conjuguée" du dénominateur :
  [tex]\frac{\frac{a}{2}}{a-\frac{a\sqrt3}{2}} = \frac{\frac a 2 \times \left(a+\frac{a\sqrt 3}{2}\right)}{ \left(a-\frac{a\sqrt 3}{2}\right)\left(a+\frac{a\sqrt 3}{2}\right)}=\frac{ \frac{a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt 3}{4}}{  a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{\frac a 2\left(a+\frac{a\sqrt 3}{2}\right)}{\left(\frac a 2\right)^2}=\frac{a+\frac{a\sqrt 3}{2}}{\frac a 2}[/tex]
   Et là, il fait constater qu'il a obtenu le 2e rapport, donc qu'il a l'égalité...

   Le seul hic, c'est qu'il ignore tout de la "quantité conjuguée" --> 2nde.
   Et je suis sûr que 70 % des élèves de 2nde sont incapables d'aller au bout du calcul : des fractions et des racines :-)...

[EDIT]Je mets un bémol à ce qui précède : Lorsqu'on compare deux fractions, si les produits en croix sont égaux alors les fractions sont égales.
Mais s'ils écrivent l'égalité d'entrée de jeu ils se font "jeter"...
Cela dit, même les produits en croix (Et oui, nerosson va encore râler, la terminologie a changé, mais en mieux : elle est plus "directe") de jpp feraient le cauchemar de 75 % des élèves de 3e.
Au Brevet (avec la calculette), 50 % d'erreur là-dessus :
Ecrire la somme suivante sous la forme [tex]a\sqrt b[/tex] où a et b sont deux nombres entiers, b étant le plus petit possible :
[tex]\sqrt {72}-3\sqrt{12}+\sqrt{75}[/tex]

* http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 566#p36566

@+

Dernière modification par yoshi (19-10-2012 16:03:42)

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jpp

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Re : Carré et triangles équilatéraux

re.

je me suis projeté dans tête d'un collégien .

▼autre méthode

le triangle ADE est isocèle --->  l'angle[tex]\widehat{ADE}[/tex] mesure 30° par construction et l'angle [tex]\widehat{DEA}[/tex] mesure donc 75° .

D'autre part , le triangle ECF est rectangle  isocèle par construction ,car  [tex]\widehat{ECB} = 30°[/tex] & [tex]\widehat{BCF} = 60°[/tex] -->  l'angle [tex]\widehat{ECF} = 90°[/tex] et [tex]\widehat{CEF} = 45°[/tex]

  Ainsi[tex]\widehat{AEF} = \widehat{AED}+\widehat{DEC} + \widehat{CEF} = 75° + 60° + 45° = 180° [/tex]

l'angle [tex]\widehat{AEF}[/tex] est donc un angle plat et les points A , E & F sont alignés.

yoshi

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Re : Carré et triangles équilatéraux

Re,

Clap ! Clap ! Clap !

je me suis projeté dans tête d'un collégien .

Le choc n'a pas été trop violent ? :-) Parce que certains ont la tête dure !

@+

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nerosson

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Re : Carré et triangles équilatéraux

Salut à tous,

Bien entendu, je n'ai pas regardé les solutions de JPP

▼Texte caché

Bases de raisonnement :
-carré : quatre  angles droits, quatre côtés égaux
-triangle équilatéral : trois angles de 60 degrés, trois côtés égaux,
Somme des angles d'un triangle : 180 degrés.

Données de l'énoncé.
-AD = DE = EC = CF .

Compte tenu de ces bases et de ces données, la figure parlant d'elle-même, je vais m'épargner le blabla qui permet de constater que :
-angle CEF = 45 degrés
-angle CED = 60 degrés,
-angle DEA = 75 degrés,
donc :
-angle AEF = 45 = 60=75  = 180 degrés.

L'angle AEF étant un angle plat, les trois points A, E, F sont alignés.

Dernière modification par nerosson (19-10-2012 16:55:40)

yoshi

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Re : Carré et triangles équilatéraux

RE,

je vais m'épargner le blabla qui permet de constater que :

Tu me déçois là  : et les préliminaires nerosson, les préliminaires ?
C'est important les préliminaires...
Personne ne te l'a déjà dit ?
Bon j'arrête là...
Pas besoin de te pousser sur ta pente naturelle...

Bon, assez ri. Pas d'autre(s) méthode(s) ?

@+

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nerosson

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Re : Carré et triangles équilatéraux

Salut à tous,

@yoshi,

Oh !  Hé ! Tu crois pas que tu pousses un peu ?

On te dirais que deux et deux font quatre, tu dirais "démontrez moi ça clairement".

Toutes les égalités d'angles qui font la substance de mon raisonnement découlent à l'évidence des propriétés des triangles équilatéraux ou isocèles.

Dis, tes élèves, ils ont jamais fait de "nervousse bréquedounes", comme disait Blier dans "Les tontons flingueurs".

Dernière modification par nerosson (22-10-2012 18:02:18)