Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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problème de mémoire

salut.

       

il y a quelques jours j'ai du envoyer un souvenir de vacances  par la poste. Tout ce que je sais , c'est que  acheté un carton spécial qui résiste à l'eau . son prix : 20 euros le m² ; un peu cher .

je me souviens que le carton en question était un carré parfait.  Et comme je n'avais ni ciseau ni couteau , ni quoi que ce soit d'ailleurs pour couper , je me suis mis à confectionner un tétraèdre en effectuant uniquement du pliage , ayant placé l'objet à l'intérieur.
J'ai aussi assuré l'étanchéité en utilisant du ruban adhésif pour les arètes non pliées.

pour mon test d'étanchéité j'avais à ma disposition un grand vase dont l'intérieur était un cone parfait ,  contenant exactement 5 litres d'eau.

j'ai donc plongé entièrement mon paquet dans le vase afin de m'assurer qu'il ne remontait aucune bulle d'air . emballage parfait , m'a-t-on dit. Une personne qui a suivi mon expérience m'a meme assuré que la hauteur d'eau dans le vase avait augmenté de 7%  une fois le paquet plongé.

j'étais content de moi , mais en rentrant chez moi , je ne savais meme plus combien j'avais payé mon carton.  Et ça commence à m'inquiéter ; pas vous ?

quelqu'un peut-il m'aider à retrouver ce prix ?  merci.

yoshi

Modo Ferox

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Re : problème de mémoire

Bonjour,

Tu te lances dans l'Origami ?...

Avant de réfléchir, je voudrais quelques précisions parce que quelque uns de tes termes m'intriguent.

je me souviens que le carton en question était un carré parfait

Qu'est-ce que tu entends par carré parfait ? Qu'est-ce qu'un carré qui n'est pas parfait ? Pas un carré ? Presque un carré ?
Ou alors le côté de ton carré parfait a-t-il une longueur qui est un nombre entier ?

Même question :

un grand vase dont l'intérieur était un cône parfait

Un cône parfait, c'est un cône qui est un "vrai" (?) cône (j'ai pas oublié le e final ! ;-) ? un cône quoi... Autre chose ?

je me suis mis à confectionner un tétraèdre

Tétraèdre régulier ? autre ?

j'ai donc plongé entièrement mon paquet dans le vase afin de m'assurer qu'il ne remontait aucune bulle d'air . emballage parfait, m'a-t-on dit. Une personne qui a suivi mon expérience m'a même assuré que la hauteur d'eau dans le vase avait augmenté de 7%:  une fois le paquet plongé.

Hmmm...
Si tu précises qu'il n'y a pas de bulles d'air remontant à la surface, ton travail et tes mesures sont précis... As-tu tenu compte du volume d'eau déplacé par ton ou tes doigt(s) pendant le plongement ? ^_^

Bonne rentrée à tous...

@+

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jpp

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Re : problème de mémoire

salut.

@yoshi :  pour lever toute ambiguité , le carton est un carré ; son coté pas forcément entier .

                                                             le vase est un cone . (droit , oblique ) le vase peut meme se trouver sur un plan incliné.

     avec un vase conique ou meme un vase de forme intérieure pyramidale renversée meme incliné cela ne change rien pour la recherche de la solution.

   ça ne change en rien le problème à partir du moment ou  la hauteur d'eau  mesurée est définie comme étant la distance du sommet au plan de la surface de l'eau. 
                                                                d'autre part , le paquet tétraedrique est plongé entièrement . Il n'est pas dit dans le texte qu'il est régulier . Et enfin la mesure s'effectue liquide au repos . les mains pleines de doigts dans les poches.

  on négligera  l'effet de capillarité et l'épaisseur du carton bien entendu.

                                                                                                                           à plus.

yoshi

Modo Ferox

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Re : problème de mémoire

Re,

Merci.
Si
- le tétraèdre n'est pas forcément régulier,
- le cône n'est pas forcément droit,
déjà qu'avec ces 2 conditions, j'arrive à construire un développé mais je n'arrive pas à imaginer comment on peut plier (c'est un sacré boulot ;-) ) (et sans cela, je n'essaie pas d'entamer les calculs), alors là, rideau, je stoppe mes recherches et laisserai le soin à plus fort que moi de trouver.

J'aurais fait ma B.A. du mois et je retourne à la rédaction/mise en page de la revue dont j'ai la charge...

@+

PS

Et enfin la mesure s'effectue liquide au repos . les mains pleines de doigts dans les poches.

Et comment fais-tu en sorte que ton tétraèdre cartonné vainque la poussée d'Archimède ?
Tu l'as lesté avec des billes de plomb comme certaines pièces d'Echecs...
Cela dit, lesté ou pas, ne change rien aux mesures, d'accord, c'est juste pour me représenter la scène ^_^

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jdec

Invité

Re : problème de mémoire

Bonjour,

Un tétraèdre par pliage d'un carré ?
Replier par exemple le carré suivant une diagonale puis suivant des plis joignant les milieux des cotés du triangle obtenu...

jpp

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Re : problème de mémoire

salut.

@jdec : le tétraèdre en question n'a qu'une épaisseur de carton sur ses 6 faces.

  si tu doubles l'épaisseur en partant finalement d'un triangle rectangle isocèle , alors ta méthode ne fonctionnera pas puisque tu te retrouveras avec un nouveau carré de carton avec 4 épaisseurs  et tu peux recommencer comme ça indéfiniment .

tous tes triangles , tu les retrouves dans la fractale de Sierpinski.

                                                                                                                   à plus.

jdec

Invité

Re : problème de mémoire

Re,

le tétraèdre en question n'a qu'une épaisseur de carton sur ses 6 faces.

Mon tétraèdre était une galéjade, il et tout plat, mais il a 4 (quatre) faces
On sait inscrire un triangle équilatéral de coté a/cos(15°) par origami dans un carré de coté a...

amatheur

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Re : problème de mémoire

salut

▼l'axiome du radin

@jpp: si tu es aussi radin que je le crois, en plus d’être un très bon matheux comme j'en suis sur, tu'avais payé 1 euro et 80 centimes

Dernière modification par amatheur (08-09-2012 23:35:58)

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J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

jpp

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Re : problème de mémoire

salut.

@amatheur : bravo !!

▼pour amatheur

je détaillerai plus tard : le prix à payer était bien celui-ci maintenant que tu me le dis:

[tex]prix= 1\epsilon\;80 \approx 20 \times{\left[24\times0.005\times{(1.07^{\; 3}-1)}\right]}\; ^{\frac23}[/tex]

- j'avais une seconde question pour celui qui a pu définir le tétraèdre .

Voilà , pour tester son étanchéité je place à l'intérieur une boule pleine composée d'un alliage métallique de densité d .

Cette boule est en contact avec les 4 faces du tétraèdre ; c'est donc la sphère inscrite du polyèdre .

question : quelle doit etre la densité minimum de l'alliage pour que ma boite coule dans le vase .

n.b.   on considérera un emballage de masse nulle , d'une parfaite rigité  ; et une densité de l'eau douce égale à 1

                                                                                                bon courage.

Dernière modification par jpp (09-09-2012 09:47:58)

amatheur

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Re : problème de mémoire

re

▼Texte caché

la densité de la boule doit être strictement supérieure à  [tex]\frac{16}{\pi } [/tex]  ; sauf distraction
PS: il n'existe pas de densité minimale puisque cet ensemble n'admet pas une borne inférieure :p

Dernière modification par amatheur (09-09-2012 15:15:39)

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J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

jpp

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Re : problème de mémoire

re.

@amatheur : rebravo !   cette densité est le rapport des 2 volumes  d = v(tétraèdre)/v(sphère)  .  et en deçà de d , la boite n'est pas totalement immergée ---> principe d'Archimède     

                                                                                   à plus.

jpp

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Re : problème de mémoire

salut.

pour construire un tétraèdre  à partir d'un carré sans aucune découpe on procède comme ceci:

soit un carré ABCD ; on place le point E , milieu de BC et F ,milieu de CD

On trace ensuite le triangle AEF . AF , AE & EF sont les 3 arètes à plier et les points B , C & D pour former le sommet commun à 3 angles droits puisque les 3 points B , C & D sont 3 des sommets du carré.

Les arètes  CF = CE=[tex]\frac{a}{2}[/tex] , AB = AD = a ,  EF =[tex]\frac{a\sqrt2}{2}[/tex] et AF = AE [tex]=\frac{a\sqrt5}{2}[/tex]

maintenant , si a est le coté du carré ; on pose le tétraèdre sur la base CEF . on obtient immédiatement son volume :

                        [tex]V = \frac13\times{a}\times\frac12\times\frac{a}{2}\times\frac{a}{2} = \frac{a^3}{24}[/tex]

le volume de la boite est donc défini.

le cone rempli d'eau (5 litres) va voir son niveau monter de 7% . Le sommet du cone est le centre d'homotétie .

sa hauteur est ainsi multipliée par le facteur1.07 et le volume par 1.07³

le volume de la boite en m³  est donc [tex]V_b = 0.005\times{(1.07^3 - 1)} = 0.001125215 m^3[/tex]

le coté du carré  [tex]a = \left[V_b\times{24}\right]^\frac13[/tex]

sa surface : [tex]S = a^2 = \left[V_b\times{24}\right]^\frac23[/tex]

et finalement le prix du carton à 20 euros/m² [tex]P = 20 \times{ \left[V_b\times{24}\right]^\frac23}=20\times{ \left[0.001125215\times{24}\right]^\frac23}= 1.8 euros[/tex]