Un solitaire à deux ! ...

freddy · 27-07-2012 13:37:36

Hello tutti,

voici une partie de solitaire qui se joue en réalité à deux.

On a sous forme d'un carré de \(\displaystyle 12\times 12\) , tous les nombres entiers compris entre 1 et 144.

La règle du jeu est la suivante :

1 - quand un des deux joueurs a barré un nombre (ou chiffre), le suivant peut barrer soit un multiple, soit un diviseur de ce nombre (ou chiffre).

2 - Celui qui joue en premier doit barrer obligatoirement un nombre (ou chiffre) pair (le choix du joueur qui commence se décide par tirage au sort ou après une partie de chifoumi - le premier qui marque 10 points par exemple).

3 - A perdu celui qui ne peut plus rien barrer.

Question : vaut il mieux jouer en premier ou en second ?

jpp · 28-07-2012 10:04:05

salut.

Dernière modification par jpp (28-07-2012 10:15:10)

freddy · 28-07-2012 11:38:07

Salut,

quelques éléments, formalise mieux pour établir une preuve irréfutable ! Ensuite, j'aurais une question un peu plus ardue !

Je ne comprends pas 151 > 144 ?

jpp · 28-07-2012 12:12:59

re.

@freddy p<151 ---> p au plus égal à 139 . c'est ça , en fait que je voulais spécifier.

freddy · 29-07-2012 15:26:13

Re,

bon, continuons. Tu verras plus tard comment on formalise la solution.

Supposons maintenant que tu joues tout seul. La règle est la même sauf que maintenant, tu cherches à barrer le maximum de nombres (chiffres). Comment fais tu et combien vaut le maximum de termes que tu arrives à barrer ?

jpp · 01-08-2012 15:05:37

salut.

j'ai trouvé une séquence ou j'ai pu barrer 79 nombres sur 144 , soit à peine 55% . voici cette séquence :

si j'ai des doublons , vous m'excuserez car je n'ai pas fait de grille.

-96-12-24-48-144-18-36-108-54-27-9-117-13-39-78-6-66-22-88-44-132-33-99-11-110-10-100-50-25-75-15-45-90-30-60-120-

20-40-80-16-128-64-32-8-112-14-28-84-42-126-63-21-7-133-19-95-5-115-23-46-92-4-116-58-29-87-3-93-31-124-62-2-86-43-

129-1-94-47-141

à plus.

freddy · 20-08-2012 14:12:39

Salut,

pour la première question, il s'agit de pousser l'autre à cocher obligatoirement le 1, puisque et comme tu l'as vu, on joue alors le plus grand nombre premier disponible.

Pour le forcer à jouer sur le 1, il s'agit alors de cocher le plus grand nombre de la forme \(\displaystyle 2^p\) immédiatement inférieur à 144, soit \(\displaystyle 128=2^7\)

Le second coche alors un diviseur de ce nombre qui sera de la forme \(\displaystyle 2^q\) de sorte qu'on coche alors soit \(\displaystyle 2^{p-1}\) , soit \(\displaystyle 2^{q-1}\) .

Puisque p = 7, on voit vite qu'on conduit inexorablement son adversaire à jouer tôt ou tard 1.

Veteran · 21-08-2012 16:31:28

En etes vous sur? Je ne vois pas pourquoi cela conduit inexorablement l'adversaire a jouer 1 au bout d'un moment puisqu'il peut aussi jouer des multiples!!! Au bout d'un moment meme si vous lui faites jouer des multiples de" deux et qu'il joue 4 et vous 2, il peut toujours riposter avec 6 ou 10....

freddy · 22-08-2012 09:35:04

C'est juste, c'est faux !
:-(((

freddy · 03-09-2012 15:56:30

Salut,

en cherchat un peu (voire beaucoup), et en me faisant aider, voici la tactique gagnante pour celui qui commence.

Trouver 3 nombres premiers \(\displaystyle m\,, n\,, p\) compris entre \(\displaystyle \frac{144}{4}= 36 \) et \(\displaystyle \frac{144}{3}= 48\) puis la séquence gagnante la plus longue est la suivante (aux échecs, on annoncerait un mat en 7 coups !) :

\(\displaystyle 2m \Rightarrow m \Rightarrow 3m \Rightarrow 3 \Rightarrow 3n \Rightarrow n \Rightarrow 2n \Rightarrow 2 \Rightarrow 2p \Rightarrow p \Rightarrow 3p \Rightarrow 1 \Rightarrow 139 \) .

Dernière modification par freddy (03-09-2012 16:02:00)

totomm · 05-09-2012 00:46:54

Bonjour,

solution remarquable et subtile : Bravo freddy

Que se passe-t-il si la grille est plus petite, 10x10 ou 11x11 ? Il ne semble plus possible d'appliquer cette stratégie gagnante.
Stratégie gagnante possible encore pour une grille 8x14=112 ou même pour les nombres de 1 à 111 (grille 3x37)

Cordialement

freddy · 05-09-2012 13:21:58

Salut,

la seconde question est en fait un exercice à faire faire à des classes du collège, en groupe, pour aider les jeunes à se familiariser avec les tables de multilplication, à trouver diviseurs, mutliples et autres nombres premiers. Je ne sais à ce jour si on a une réponse précise à la question. Un petit programme informatique pour chercher ?

totomm · 14-09-2012 11:29:15

Bonjour,

N=40 (grille 5x8) n'a que 2 nombres premiers tels que N/4 < p < N/3
Mais on peut utiliser un carré C tel que C > N/2
Exemple de stratégie gagnante :
\(\displaystyle 22 \Rightarrow 2 \Rightarrow 26 \Rightarrow 13 \Rightarrow 39 \Rightarrow 3 \Rightarrow 21 \Rightarrow 7 \Rightarrow 35 \Rightarrow 5 \Rightarrow 25 \Rightarrow 1 \Rightarrow 37\)
ou
\(\displaystyle 22 \Rightarrow 11 \Rightarrow 33 \Rightarrow 3 \Rightarrow 21 \Rightarrow 7 \Rightarrow 35 \Rightarrow 5 \Rightarrow 25 \Rightarrow 1 \Rightarrow 37\)

En fait il y a pléthore de tactiques gagnantes pour N, différentes suivant N …..

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