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freddy

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jamais 203 ...

Hello tutti,

un petit sujet de géométrie (mais attention, qui demande une démonstration mathématique tout de même - j'me comprends) ... Et encore merci à Phil au passage.

Supposons 5 points distincts et non alignés sur le plan.

Supposons que l'aire de chaque triangle qu'on peut former à partir de 3 de ces 5 points soit chacune supérieure à 2.

Sauriez vous montrer qu'il existe alors au moins un triangle dont l'aire est supérieure à 3 ?

NB : dernière la preuve se cache très, très bien un nombre aux harmonieuses proportions ...

Dernière modification par freddy (26-07-2012 13:19:23)

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jpp

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Re : jamais 203 ...

salut.

cinq points  quelconques sur le plan , nous permet de tracer 10 triangles en combinatoire.
maintenant si je place ces 5 points sur un cercle et si je les dispose de façon à obtenir un pentagone régulier de coté 1, alors je peux ainsi tracer tous mes triangles en joignant tous ces points . j'obtiens ainsi 5 triangles dont l'aire est:

\(\displaystyle A_1 = \frac{1\times{\cos{54}}}{2}\times2\times{\cos{36}}\approx 0.47552825815...\)

en rappelant tout de meme que les diagonales ont pour longueur le nombre d'or  \(\displaystyle 2.\cos{36}\)

puis cinq triangles dont l'aire est \(\displaystyle A_2 = \cos{18}\times{\cos{36}}\approx0.76942088429.. \) .

on s'aperçoit que le rapport des aires A_2 / A_1  est aussi le nombre d'or : 1.6180339.. 

maintenant , si je ramène ma figure à une échelle telle que l'aire A_1 soit égale à 2 , alors \(\displaystyle A_2 = 2.\Phi\approx3.2>3\)

ça c'est le cas ou j'obtimise le plus petit rapport .
maintenant , si je déplace un sommet parallèlement à son coté opposé , l'aire A_2 reste constante , mais une aire voisine diminue.

et comme la plus petite aire doit etre 2 , alors le rapport A_2 / A_1 augmente.

                                                                                                                   à plus.

Dernière modification par jpp (27-07-2012 09:01:21)

freddy

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Re : jamais 203 ...

Salut JPP,

pourrais tu stp être plus explicite ? D'où viennent les angles, les formules ? j'avoue ne pas avoir eu la patience de tout lire avec attention.

PS : En cours, tu aurais un chahut monstre :-)))

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jpp

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Re : jamais 203 ...

re.

@freddy  dans mon pentagone régulier , les angles à la base des 2 familles de triangles isocèles sont 36°et 108° au sommet pour les petits

et  72° à la base avec 36° au sommet pour les cinq grands , car j'ai pris le coté du pentagone comme unité. et le rapport de leurs aires se trouve etre la divine proportion ou nombre d'or.

le rapport \(\displaystyle \frac{A_2}{A_1}=\frac{\frac{\Phi.\cos{18}}{2}}{\frac{\Phi.\sin{36}}{2}}=\frac{\Phi}{\Phi\times{2.\sin{18}}} =\frac{\Phi^2}{\Phi}=\Phi=\frac{\sqrt5+1}{2}\approx1.618034\)   en rappelant que la diagonale d'un pentagone régulier mesure \(\displaystyle c\times\Phi\)   ,  c  étant le coté égal à 1 dans mon calcul.

                                                                                                      à plus.

Dernière modification par jpp (27-07-2012 19:34:25)

totomm

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Re : jamais 203 ...

Bonjour,

Depuis un WIFI occasionnel, voici une démo qu'il faudrait sans doute "étoffer" :

Si l'enveloppe convexe des 5 points non alignés comporte seulement 3 ou 4 de ces points, la preuve est immédiate car au moins 2 triangles, inclus dans un même triangle, ont des aires disjointes.

Soit donc un pentagone convexe ABCDE  avec A de coordonnées (0;0) et B de coordonnées (a;0) et C, D, E d'ordonnées positives.
Hypothèse : Supposons que chaque triangle, d'aire supérieure à 2, a une aire inférieure à 3 :

Les points C, D et E doivent se trouver dans la bande des ordonnées comprises entre 4/a et 6/a pour que les aires des triangles CAB, DAB, EAB soient comprises entre 2 et 3.
Une bande analogue créée à partir du coté BC impose la position de E dans un parallélogramme et limite la taille du segment CE.
Alors, dans le quadrilatère ABCE, les 4 triangles ont une aire supérieure à 2 et inférieure à 3.
On montre alors (analytiquement) que l'aire du triangle CDE reste inférieure à 2, (car hauteur sur base sont limitées) ce qui contredit l'hypothèse.

Il existe vraisemblablement une meilleure solution, mais en regardant géométriquement peut-être un peu vite, cette approche parait viable.

Cordialement

totomm

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Re : jamais 203 ...

Bonjour,

On montre même que l'aire du triangle CDE est inférieure à 1,5...

comment trouver caché "un nombre aux harmonieuses proportions ..." ?

Cordialement

lonn

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Re : jamais 203 ...

Salut
j'avoue que j'ai pas  compris le sujet...

jdec

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Re : jamais 203 ...

bonjour,

Salut lonn, faut calculer des aires et trouver un nombre