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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 25-07-2012 16:02:08
- freddy
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jamais 203 ...
Hello tutti,
un petit sujet de géométrie (mais attention, qui demande une démonstration mathématique tout de même - j'me comprends) ... Et encore merci à Phil au passage.
Supposons 5 points distincts et non alignés sur le plan.
Supposons que l'aire de chaque triangle qu'on peut former à partir de 3 de ces 5 points soit chacune supérieure à 2.
Sauriez vous montrer qu'il existe alors au moins un triangle dont l'aire est supérieure à 3 ?
NB : dernière la preuve se cache très, très bien un nombre aux harmonieuses proportions ...
Dernière modification par freddy (26-07-2012 14:19:23)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#3 27-07-2012 11:44:37
- freddy
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Re : jamais 203 ...
Salut JPP,
pourrais tu stp être plus explicite ? D'où viennent les angles, les formules ? j'avoue ne pas avoir eu la patience de tout lire avec attention.
PS : En cours, tu aurais un chahut monstre :-)))
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#4 27-07-2012 12:03:18
- jpp
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Re : jamais 203 ...
re.
@freddy dans mon pentagone régulier , les angles à la base des 2 familles de triangles isocèles sont 36°et 108° au sommet pour les petits
et 72° à la base avec 36° au sommet pour les cinq grands , car j'ai pris le coté du pentagone comme unité. et le rapport de leurs aires se trouve etre la divine proportion ou nombre d'or.
le rapport [tex]\frac{A_2}{A_1}=\frac{\frac{\Phi.\cos{18}}{2}}{\frac{\Phi.\sin{36}}{2}}=\frac{\Phi}{\Phi\times{2.\sin{18}}} =\frac{\Phi^2}{\Phi}=\Phi=\frac{\sqrt5+1}{2}\approx1.618034[/tex] en rappelant que la diagonale d'un pentagone régulier mesure [tex]c\times\Phi[/tex] , c étant le coté égal à 1 dans mon calcul.
à plus.
Dernière modification par jpp (27-07-2012 20:34:25)
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#5 29-07-2012 18:00:43
- totomm
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Re : jamais 203 ...
Bonjour,
Depuis un WIFI occasionnel, voici une démo qu'il faudrait sans doute "étoffer" :
Si l'enveloppe convexe des 5 points non alignés comporte seulement 3 ou 4 de ces points, la preuve est immédiate car au moins 2 triangles, inclus dans un même triangle, ont des aires disjointes.
Soit donc un pentagone convexe ABCDE avec A de coordonnées (0;0) et B de coordonnées (a;0) et C, D, E d'ordonnées positives.
Hypothèse : Supposons que chaque triangle, d'aire supérieure à 2, a une aire inférieure à 3 :
Les points C, D et E doivent se trouver dans la bande des ordonnées comprises entre 4/a et 6/a pour que les aires des triangles CAB, DAB, EAB soient comprises entre 2 et 3.
Une bande analogue créée à partir du coté BC impose la position de E dans un parallélogramme et limite la taille du segment CE.
Alors, dans le quadrilatère ABCE, les 4 triangles ont une aire supérieure à 2 et inférieure à 3.
On montre alors (analytiquement) que l'aire du triangle CDE reste inférieure à 2, (car hauteur sur base sont limitées) ce qui contredit l'hypothèse.
Il existe vraisemblablement une meilleure solution, mais en regardant géométriquement peut-être un peu vite, cette approche parait viable.
Cordialement
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#8 21-08-2012 17:26:56
- jdec
- Invité
Re : jamais 203 ...
bonjour,
Salut lonn, faut calculer des aires et trouver un nombre