Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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Invité

Séries

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide sur cet exercice.
Soit \(\displaystyle \sum Un\) une série numérique à termes positifs telle la suite (Un) est décroissante.
Étudier la série de terme général \(\displaystyle n(U_{n-1}-U_{n} \) et en déduire que la lim (nUn)=0
Merci pour vos indications et aides.

MathRack

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Re : Séries

Bonjour Like,

Je ne suis pas certain de l'énoncé. La suite \(\displaystyle U_n\) converge vers une limite positive \(\displaystyle U\) car elle est décroissante, minorée et à termes positifs.

Si \(\displaystyle U\) est strictement positif, alors \(\displaystyle n U_n\) se comporte comme \(\displaystyle n U\) qui ne va pas tendre vers 0...

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Invité

Re : Séries

Bonjour. Tu as raison j'ai omis un mot voici le vrai énoncé :
Soit ∑Un une série numérique à termes positifs convergente telle la suite (Un) soit  décroissante.
Étudier la série de terme général \(\displaystyle n(U_{n-1}−U_{n})\) et en déduire que la lim (nUn)=0

MathRack

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Re : Séries

On suppose \(\displaystyle U_n = 1 + \frac{1}{n} \) . La suite est à termes positifs, convergente et décroissante. On n'a pas \(\displaystyle lim( n U_n ) = 0 \) car \(\displaystyle n U_n = n + 1\) diverge.

Es-tu certain de l'énoncé?

Cordialement,
Mathrack

EDIT: au temps pour moi, je n'avais pas bien fait attention au signe somme. Dans l'exemple, on peut remplacer \(\displaystyle \frac{1}{n}\) par \(\displaystyle \frac{1}{n^2}\) . Dans ce cas, la somme des termes converge bien et est positive. La suite \(\displaystyle U_n\) est décroissante. Et \(\displaystyle n U_n\) diverge. Les utilisateurs plus expérimentés du forum ont peut-être déjà vu un exercice similaire et pourront éclaircir tout ça...

Dernière modification par MathRack (10-07-2012 16:50:31)

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Invité

Re : Séries

Oui je suis sur de l'énoncé mais je pense que l'auteur c'est trompé et que c'est plutôt Un convergente et décroissante et non (∑Un) convergente.

Choukos

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Re : Séries

Hello !

Oui je suis sur de l'énoncé mais je pense que l'auteur s'est trompé et que c'est plutôt Un convergente et décroissante et non (∑Un) convergente.

Si \(\displaystyle \sum{U_n}\) converge alors \(\displaystyle U_n\) converge vers 0 en l'infini ! Ainsi pour ton contre-exemple MathRack, il y a un problème, \(\displaystyle \sum{U_n}\) doit converger par hypothèse mais ton terme général ne tend pas vers 0 : remplacer \(\displaystyle 1/n\) par \(\displaystyle 1/n^2\) n'y change rien, on ne fait que converger plus vite vers 1.

Pour étudier la série de terme général \(\displaystyle V_n=n(U_{n-1}-U_n)\) on peut montrer que sa somme partielle est égale à \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{U_k}-nU_n\) .

Or, pour tout n supérieur à 1 \(\displaystyle V_n\) est positif car \(\displaystyle (U_n)_{n\geq 0}\) est décroissante, il suffit donc de montrer que \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{U_k}-nU_n\) est majorée pour tout n pour démontrer que \(\displaystyle \sum V_n\) converge. Ce qui est le cas vu que \(\displaystyle \sum U_k\) converge.

Donc \(\displaystyle \sum V_n\) converge.

Enfin j'aimerais dire que : \(\displaystyle \sum V_n\) converge implique que la série \(\displaystyle \sum nU_n\) converge et donc que son terme général tend vers 0.

Mais, écrire la dernière ligne me gêne beaucoup... Mais ça me semble être ce que veux l'exercice.
En notant \(\displaystyle a_n\) et \(\displaystyle b_n\) les suites des sommes partielles respectives de \(\displaystyle nU_{n-1}\) et \(\displaystyle nU_n\) écrire \(\displaystyle \sum V_n\) converge c'est équivalent à écrire que :
\(\displaystyle \lim(a_n-b_n)=l\) avec \(\displaystyle a_n\) et \(\displaystyle b_n\) positives

Et pour moi ça n'empêche pas \(\displaystyle a_n\) et \(\displaystyle b_n\) de diverger ... Il faut surement faire autre chose de plus fin ou sinon j'ai pas compris quelque chose !

Choukos

Dernière modification par Choukos (17-07-2012 19:34:41)