Martingales

Mikarnold · 15-07-2012 13:21:35

Bonjour. Me revoilà cette fois avec un exercice de Martingale que je n'arrive pas du tout à faire (je viens de commencer le chapitre).

On dit ceci:

Soit Y₁, Y₂, … une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale
centrée réduite. On pose X₀ = 1, puis, pour n ≥ 1, S_n = Y₁ + Y₂ + … + Y_n et X_n = exp (S_n – {n/2}).
Montrer que la suite (X_n) _n est une martingale.

(La définition me dit de montrer que l'integrale sur A de X_n+1 = integrale sur A de X_n.
Je n'y arrive pas.

Merci d'avance.
Ps: Dsl encore pour le code Latex.
Cordialement

freddy · 15-07-2012 14:10:00

Salut,

au delà de la définition, il n'y a pas des propriétés utilisables, ou bien des théorèmes du genre si ... alors ... ?

Bon, pour le code, Latex tu t'y mets ou on arrête là. Il y a le bouton "insérer une équation" ou bien un tutoriel.

C'est le minimum syndical sur le site.

PS : une astuce : tu prends un texte déjà codé, tu fais "citer" et tu regardes comment c'est codé, c'est assez facile à apprendre.

Dernière modification par freddy (15-07-2012 14:11:51)

Mikarnold · 15-07-2012 14:37:20

Merci pour l'information, mais la facilité peut ne pas être accessible à tous d'où le forum, (Mais je m'y mettrai).
Je n'ai pas vu de théorème <<si... alors>>. Je ne comprend pas le cours. Cet exercice peut m'aider à comprendre , alors
Merci de m'aider.

freddy · 15-07-2012 15:04:40

Mikarnold a écrit :

Bonjour. Me revoilà cette fois avec un exercice de Martingale que je n'arrive pas du tout à faire (je viens de commencer le chapitre).
On dit ceci:
Soit \(\displaystyle Y_1,\, Y_2,\, \cdots\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée réduite.
On pose \(\displaystyle X_0 = 1\) , puis, pour \(\displaystyle n ≥ 1\) , \(\displaystyle S_n= Y_1+ Y_2 + \cdots + Y_n\) et \(\displaystyle X_n= e^{S_n – \frac{n}{2}}\) .
Montrer que la suite \(\displaystyle (X_n)_n\) est une martingale.
La définition me dit de montrer que \(\displaystyle \int_A X_{n+1} = \int_A X_n\) .
Je n'y arrive pas.
Merci d'avance.
Cordialement

Voilà, tout à la main. C'est facile, fais un tour sur le tutoriel de yoshi : Code Latex !

Mikarnold · 15-07-2012 15:22:10

Ok. Je n'y manquerai pas. Mais comment je résoud l'exercice ?

mathieu64 · 16-07-2012 10:30:06

salut, utilise l'indépendance des va et montre ce que freddy à écrit. Je crois pas qu'il y ait grand chose à faire. Sort le terme en yn+1 de l'intégrale par indépendance avec ce qui y a en trop pour retrouver l'espérance de xn .

freddy · 16-07-2012 22:56:36

Re,

je pense que tu dois faire une petite confusion à propos des martingales. Je vais laisser à Fred le soin de préciser éventuellement, pour ma part, je te renvoie à la lecture de Martingales

mathieu64 · 17-07-2012 01:50:32

Oui c'est sur j'ai raconté n'importe quoi je m'en suit rendu compte après. Il faut montrer que 1) Xn est integrable pour tout n
2) Xn est mesurable pour la tribu classique et que E[Xn / Fn]=Xn-1. En utilisant l'indépendance des Yn il n'y a pas beaucoup de calcul. Du coup je vois pas pourquoi tu écris (la définition me dit de montrer...) ca pour moi c'est une conséquence d'être une martingale.

freddy · 17-07-2012 06:00:30

Re,

non, c'est pas tant ça, c'est plutôt le fait que \(\displaystyle E(X_{n+1})=E(X_n)=E(X_0)=1\) incidemment, que notre ami a rapidement assimilé à un simple calcul d'intégrale.

De la définition de la martingale, on en déduit cette propriété. Je me demande dans quelle mesure l'énoncé du sujet est correct.

mathieu64 · 17-07-2012 11:02:13

Voici la réponse \(\displaystyle E[X_{n+1} \vert F_n]=E[e^{Y_{n+1}}]e^{-\frac{1}{2}}X_n=X_n \)
Il faut juste rajouter pourquoi Xn est intégrable et l'exo et fini à mon sens.

Dernière modification par mathieu64 (17-07-2012 11:04:33)

freddy · 18-07-2012 05:33:13

Salut,

Soit \(\displaystyle Y_1,\, Y_2,\, \cdots\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée réduite.
On pose \(\displaystyle X_0 = 1\) , puis, pour \(\displaystyle n ≥ 1\) , \(\displaystyle S_n= Y_1+ Y_2 + \cdots + Y_n\) et \(\displaystyle X_n= e^{S_n – \frac{n}{2}}\) .
Montrer que la suite \(\displaystyle (X_n)_n\) est une martingale.

Par construction, la variable aléatoire \(\displaystyle Z_n=ln(X_n)=S_n-\frac{n}{2}\) suit une loi normale d'espérance \(\displaystyle -\frac{n}{2}\) et de variance \(\displaystyle n\) .

Donc la variable aléatoire \(\displaystyle X_n\) suit une log normale d'espérance \(\displaystyle E(X_n)=e^{-\frac{n}{2}+\frac{n}{2}}=E(X_0)=1\) .

Puisque c'est vrai quel que soit \(\displaystyle n\) , la suite \(\displaystyle (X_n)_n\) est donc une martingale.

Dernière modification par freddy (18-07-2012 12:37:34)

freddy · 18-07-2012 10:05:54

Re,

ceci permet de retrouver la "définition" ludique et paradoxale de la martingale : c'est un truc qui vous fait croire que vous allez pouvoir battre le système, mais en réalité, vous ne pourrez jamais améliorer l'espérance du résultat.

On trouve une jolie présentation de la martingale dans la Bibmath, en recherchant ce mot dans son dictionnaire.

mathieu64 · 19-07-2012 14:33:33

Oui c'est sur,
Sur un bon groupe de couillon prêt à miser beaucoup pour gagner un euro, beaucoup réussiront et surement une personne préférera arrêter le massacre pour sauver ses plumes.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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