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#1 10-06-2012 22:40:49
- amatheur
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algèbre
salut
j ai des difficultés à résoudre un exo, si vous pourriez m'indiquer une piste je vous serais reconnaissant.
Soit E un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne associative notée \(\displaystyle \times \)
Montrer qu’il existe \(\displaystyle e\in E\,tq\,\,e\times e=e\)
Merci.
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Qu'on me disait n'exister pas..
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#2 11-06-2012 07:53:41
- Roro
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Re : algèbre
Bonjour,
J'essayerai de montrer que l'application \(\displaystyle \phi:x\to x\times x\) admet un point fixe. Tout d'abord en montrant qu'une des composées \(\displaystyle \phi\circ \phi \circ \cdots \circ \phi\) en admet un.
Roro.
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#4 11-06-2012 13:37:43
- amatheur
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Re : algèbre
salut
merci ROro , je vais tenter cette approche.
@ freddy , je n ai pas bien saisi le sens de ta question. es ce que vous vous demandez si la loi aurait d'autres propriétés? la réponse est non selon l'énoncé.
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Qu'on me disait n'exister pas..
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#5 12-06-2012 05:49:29
- freddy
- Membre très actif
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- Messages : 4 060
Re : algèbre
Salut,
j'avais mal lu, je pensais que E n'était pas fini.
Puisque E est fini, sois tu as un tableau carré représentatif de la loi, sois tu as une règle de fabrication. Dans les deux cas, l'idée de Roro est la bonne, compose, compose et grâce à l'associativité, tu devrais pouvoir conclure.
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#6 12-06-2012 23:54:34
- amatheur
- Membre
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Re : algèbre
salut
voici ce que j'ai réussis à faire.
toute composition de l'application \(\displaystyle \phi \) est également une application de E dans E, et comme E est finit, et pour tous \(\displaystyle \X \) de E il existe nécessairement deux entiers différents p et q; tq la p ème et la q émé composées de \(\displaystyle \phi \) sont égales, \(\displaystyle {\phi }_{p}\left(x\right)={\phi }_{q}\left(x\right)\)
si on a p<q ( nécessairement un des deux doit être inférieur à l'autre) :
\(\displaystyle {X}^{\times 2p}={X}^{\times 2q}\,\Rightarrow X={X}^{\times 2\left(p-q\right)}\Rightarrow {\phi }_{\left(p-q\right)}\left(X\right)=X\) , cad qu'elle admet un point fixe!
maintenant, je ne vois toujours pas le bout du tunel! j'ai pensé à démontrer que l'application \(\displaystyle \phi \) peut toujours être exprimée en fonction d'une composition d'une même application, sur ça aussi je bute, et je ne sais même pas si c'est vrai!
alors les gars, je solliciterai encore votre aide pour la suite ^^.
MERCI
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#7 14-06-2012 10:55:28
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 2 471
Re : algèbre
Salut,
Je ne sais pas si on peut faire plus simple pour conclure, mais voici une solution terminant le début proposé
par Roro. Tu sais donc que tu as p<q tel que
\(\displaystyle x^{*p}=x^{*q}\)
On va écrire \(\displaystyle p=q-l\) . Si 2l=q, il n'y a rien à faire, car tu as déjà
\(\displaystyle x^{*l}=x^{*2l}\)
Sinon, on peut supposer que \(\displaystyle l>q/2\) . En effet, tu peux écrire que
\(\displaystyle x^{*2q}=x^{*q+p}\) et tu repars avec q'=2q et p'=q+p.
En composant n fois ton identité de départ, tu sais que
\(\displaystyle x^{*nq}=x^{*np}\)
Mais, dans le terme de droite, tu as des \(\displaystyle x^{*q}\) qui apparaissent, tu peux les simplifier en \(\displaystyle x^{*p}\) . Si tu fais cette simplification r fois, alors
tu obtiens
\(\displaystyle x^{*np}=x^{*np-r(q-p)}\)
Le but maintenant est de trouver n et r de sorte que
\(\displaystyle nq=2(np-r(q-p))\iff nq=2(nq-nl-rl)\iff n(q-2l)=2rl\)
C'est vérifié si n=2l et r=(q-2l).
Par exemple, si tu avais démontré que \(\displaystyle x^5=x^3\) , cette méthode te donne n=4, et donc
\(\displaystyle x^{20}=x^{12}=x^7x^5=x^7x^3=x^{10}\)
ce que tu voulais.
Fred.
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#8 14-06-2012 13:54:46
- amatheur
- Membre
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- Messages : 253
Re : algèbre
salut
Mais, dans le terme de droite, tu as des \(\displaystyle x^{*q}\) qui apparaissent, tu peux les simplifier en \(\displaystyle x^{*p}\) . Si tu fais cette simplification r fois, alors
tu obtiens
\(\displaystyle x^{*nq}=x^{*np-r(q-p)}\)
Merci Fred, mais ce point m'échappe un peu, je n'arrive pas à reproduire la formule, es ce tu peux être un peu plus explicite stp.
sinon le reste de la démonstration est très clair.
Merci.
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#9 14-06-2012 16:18:41
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 2 471
Re : algèbre
Re-
Forcément, je me suis planté entre les p et les q. Je corrige (j'ai aussi corrigé le message initial) :
\(\displaystyle x^{np}=x^{np-q+q}=x^{np-q}x^q=x^{np-q}x^p=x^{np-(q-p)}\)
et tu répètes cette opération r fois.
Fred.
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