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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 03-06-2012 21:23:36
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 2 469
Tous les polynômes sont constants
Salut,
Voici une preuve très classique que je vous soumets : "tous les polynômes sont constants".
On va plus précisément démontrer par récurrence sur \(\displaystyle n\) que toutes les fonctions
\(\displaystyle x\mapsto x^n\) sont constantes.
1. C'est vrai si \(\displaystyle n=0\) , car \(\displaystyle x^0=1\) .
2. Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k, c'est-à-dire que la dérivée de la fonction \(\displaystyle x\mapsto x^n\)
est nulle, et établissons la pour k+1. D'après la formule de dérivation d'un produit, \(\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\) ,
on a \(\displaystyle (x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'=x'x^k+x(x^k)'=0\)
(on utilise l'hypothèse de récurrence à la fois pour n=1 et n=k).
Nous avons donc prouvé que la fonction \(\displaystyle x\mapsto x^{k+1}\) est constante, ce qui achève la récurrence.
Alors, où est l'erreur?
Fred.
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#3 03-06-2012 22:25:01
- amatheur
- Membre
- Inscription : 02-10-2011
- Messages : 253
Re : Tous les polynômes sont constants
salut
a mon avis, l 'application de l hypothèse de récurrence pour n=1 n'est pas justifiée, pour appliquer le principe de récurrence sur n+1 on ne doit utiliser que p(0) ( qui a été prouvée) et l'hypothèse que p(n) est vraie.
Dernière modification par amatheur (03-06-2012 22:35:06)
J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..
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#4 04-06-2012 06:30:20
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 7 534
Re : Tous les polynômes sont constants
Bonjour,
Selon moi, il y a eu un flou discret pour le passage :
Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k,
.
Il me semble qu'on doit vérifier la propriété pour des valeurs simples (donc au moins 2) et pas une seule...
Si l'on accepte la supposition, on met le doigt dans un engrenage qui happe jusqu'à l'épaule.
Et dans sa démo - brillante - Fred omet soigneusement de parler de x, mis à part un vague : toutes les fonctions \(\displaystyle x \mapsto x^n\)
Or, la supposition Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k, n'est pas vraie \(\displaystyle \forall x\) ...
Si x =2, elle est est fausse...
Donc pour moi, ça coince là et la suite de démo n'est plus valable...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 04-06-2012 12:04:19
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 520
Re : Tous les polynômes sont constants
Bonjour,
Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k,
....
Alors, où est l'erreur?
Il n'y a pas d'erreur puisque d'après l'hypothèse la fonction \(\displaystyle x \mapsto x^1\) est constante !
Donc \(\displaystyle \forall{n}, \ x \mapsto x^n \ est \ constante \)
Cordialement
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#7 04-06-2012 15:51:53
- JeanMars12
- Invité
Re : Tous les polynômes sont constants
Bonjour,
j'adore :-)
L'hypothèse est vraie pour n=0, tout le monde est d'accord
On suppose qu'elle est vraie pour k, on veut la montrer pour k+1
Or dans la démonstration, on suppose qu'elle est vraie pour n=1, et n=k...
Pour n=k, OK c'est l'hyphothèse de récurrence
Pour n=1, c'est malheureusement faux puisque x |--> x n'est pas constante...
Toute la démonstration tombe à l'eau, les wagons ne s'accrochent pas bien comme on disait de mon temps...
#8 05-06-2012 10:08:24
- totomm
- Membre
- Inscription : 25-08-2011
- Messages : 520
Re : Tous les polynômes sont constants
Bonjour,
Pour faire avancer un tantinet le truc :
Quand fred écrit "Supposons la propriété vraie pour n=0,1,...,k"
il adopte implicitement le fait que le domaine de définition de \(\displaystyle x\) se réduit à une constante puisque \(\displaystyle x \mapsto x^1\) figure dans cette hypothèse. Il n'y a pas alors d'erreur !
Bien sûr, si l'on pense que le domaine de définition de x est "habituellement" l'ensemble des réels, on ne peut que crier à l'erreur, Mais FRED ne le précise pas, et c'est donc à lui de le dire !
Inutile de placer avec grandiloquence "L' E.V. des polynômes plongés dans un bon corps"…
Cordialement
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#9 05-06-2012 13:35:29
- freddy
- Membre très actif
- Lieu : Paris / Lausanne
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 4 060
Re : Tous les polynômes sont constants
Salut l'ami,
si tu lis avec attention ce qui suit http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … /e/ev.html, tu verras que le qualitif "grandiloquence" est tout à fait superflu.
Les EV font parties de notre quotidien, n'est il pas ?
More Majorum ... ad Unum !
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#10 07-06-2012 00:56:32
- amatheur
- Membre
- Inscription : 02-10-2011
- Messages : 253
Re : Tous les polynômes sont constants
salut.
freddy tu as sans doute raison, la preuve c'est que cette récurrence n'est pas initialisable à partir d'un rang supérieur à zéro.
comme quoi, comme me l'a si bien dit jpp, le plus important ce sont les fondamentaux!
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