Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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Le monde a changé.

Bonsoir à tous.

une petite question pour finir l'année. 

  Avant , on pouvait utiliser les symboles numériques du système décimal   1,2,3,4,5,6,7,8,9 quand on voulait écrire une formule.

Mais c'était avant.  En 2012 , ça va changer .

Si bien que j'en suis à me demander s'il n'existe pas une autre façon d'écrire pour formuler le second membre de cette égalité :

    \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}= 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + ...\)

On doit pouvoir écrire la série  comme ceci:  (blabla mathématique utilisant une seule fois 0) + ( blabla mathématique utilisant une seule fois 0 ) + ....

A l'intérieur de chacune des parenthèses doit se trouver chacun des termes de la série , parfaitement formulé .

En rappelant qu'à l'intérieur des parenthèses  , 1,2,3,4,5,6,7,8,9  ,  les 4 opérateurs + , - , / , x  ainsi que toute constante mathématiques comme \(\displaystyle \pi , e .. etc \) sont interdits . les fonctions à utiliser sont enseignées dans le secondaire.

                                                                           Bon courage et bonnes fetes de fin d'année.

jpp

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Re : Le monde a changé.

salut.

    On doit pouvoir facilement formuler le premier terme de la série , lequel terme est récupéré comme antécédent pour formuler les termes suivants.

a) 1 s'obtient avec la fonction \(\displaystyle \mathfrak{h}(0)\)

b)  puis , lorsqu'on arrive à un terme \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}\) , alors  \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}\xrightarrow{\mathfrak{f}\; \; o\; \; \mathfrak{g}} \frac{1}{\sqrt{1+k}}\)   , avec \(\displaystyle k \in \mathbb{N_*^+}\)

  ou \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}\) devient à son tour l'antécédent de \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+k}}\)   par la fonction composée f o g .  puis on reprend le processus avec \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+k}}\) comme nouvel antécédent de \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+(k+1)}}\) , image de \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+k}}\)
par la fonction f o g

Ainsi chaque terme s'écrit: \(\displaystyle \frac{1}{n^2} = \underbrace{f -- o -- g}_{(n^4-1)fois}- o -h(0)\)

il reste à trouver les fonctions  f , g & h.

                                                                                        à plus.

IMED2

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Re : Le monde a changé.

f(x)=1/racine(1+x)
g(x)=1/x²

jpp

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Re : Le monde a changé.

salut.

@imed.  tu as pigé le truc , mais de cette façon tu es obligé d'utiliser les opérateurs qui sont interdits . ainsi que le
clavier numérique en dehors de zéro.

   mais il y a une autre façon de formuler et c'est cette dernière qu'il faut trouver.

en effet, si \(\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt5}\) avec g(x) , alors \(\displaystyle \frac{1}{x^2} = 5\)

puis \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + x}} = \frac{1}{\sqrt6} \) avec \(\displaystyle f\left[g(x)\right]\)

                                                                                              à plus.

Dernière modification par jpp (02-02-2012 19:46:58)

jpp

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Re : Le monde a changé.

salut.

pour écrire le premier terme de la série j'utilise 0 comme ceci:    \(\displaystyle 1 = \cos0\)

pour la suite:  \(\displaystyle \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \tan^2x\) ----> \(\displaystyle \sin^2x = \tan^2x \times{\cos^2x} = \tan^2x\times{(1 - \sin^2x)}\)

donc \(\displaystyle \sin{x}= \frac{\tan{x}}{\sqrt{1 + \tan^2x}}\)

en posant \(\displaystyle t = \tan{x}\) , alors  \(\displaystyle x = \arctan{t}\)

au début je sais que \(\displaystyle \tan{\frac\pi4}= \cos{0} = 1\) alors \(\displaystyle \frac\pi4 = \arctan{\cos{0}}= \arctan{1} \)

et \(\displaystyle \sin{\frac\pi4} = \sin {\arctan{\cos{0}}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2}\)

on peut le vérifier  avec  \(\displaystyle \sin{x} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt2} --> x = 0.785398\)

si je poursuis le processus , alors \(\displaystyle \sin{\arctan{sin{\arctan{\cos{0}}}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\sqrt{1 + {\left[\frac{1}{\sqrt2}\right]}^2}} = \frac{1}{\sqrt3}\)

si je poursuis à nouveau le processus , alors \(\displaystyle \sin{\arctan{\sin{\arctan{\sin{\arctan{\cos{0}}}}}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt3}}{\sqrt{1 + {\left[\frac{1}{\sqrt3}\right]}^2}} = \frac{1}{\sqrt4}= \frac12\)

Ainsi chaque terme s'écrit: \(\displaystyle \frac{1}{n^2} = \underbrace{\sin{\arctan}}_{(n^4-1)fois}{\cos{0}}\)

ainsi \(\displaystyle \frac{1}{4} = \underbrace{\sin{\arctan}}_{15fois}{\cos{0}}\)    et  \(\displaystyle \frac{1}{9}=\underbrace{\sin{\arctan}}_{80fois}{\cos{0}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{16} = \underbrace{\sin{\arctan}}_{255fois}{\cos{0}}\)    et  \(\displaystyle \frac{1}{25}=\underbrace{\sin{\arctan}}_{624fois}{\cos{0}}\)

essayez avec une calculette sin tan^-1sin tan^-1sin tan^-1cos0 = 0.5  et 15 fois vous donnera 0.25

et pour terminer : \(\displaystyle \frac{\pi^2}{6} = \cos{0} + \sum_{n=2}^{\infty} \underbrace{\sin{\arctan}}_{(n^4-1)fois}{\cos{0}}\)

                                                                                           à plus.

Dernière modification par jpp (11-04-2012 11:38:39)