un vrai casse tête !

freddy · 15-03-2012 18:49:17

Salute,

Pierre, Paul, Jacques, Vincent et Emilie jouent ensemble avec un dé parfaitement équilibré et indéformable au fil du temps (et avec toutes les qualités de perfection pour que les p. de contradicteurs ne viennent pas m'emm... avec des probabilités différentes au fil des parties, c'est clair ?! :-) On fait des maths ici, pas du chipotage !§! ;-) ).

Pierre et Paul commencent la partie.

Gagne la partie celui qui obtient un numéro pair sur la face qui fait face au ciel.

Si Pierre gagne, Paul met 1 euro au pot et Pierre rencontre ensuite Jacques ;

s'il perd, il met un euro au pot et Paul rencontre Jacques.

A chaque partie, celui qui gagne rencontre le suivant, et le perdant met un euro au pot.

Pour ramasser le pot, il faut battre les 4 adversaires successivement.

D'une manière générale, celui qui perd la partie numéro p pourra à nouveau rentrer en lice lors de la partie numéro p+4, et pas avant.

Si tout est clair, voici les questions :

1 - quelle est la durée moyenne (exprimée en nombre de partie, et donc de lancer de dé) du jeu ?

2 - quelle est la probabilité de gagner de chaque joueur ?

3 - quels sont les joueurs pour lesquels l'espérance de gain est négative ?

Les solutions obtenues avec n'importe quel support sont admises, seules la précision et la justesse des réponses compteront !

Avis à la population : si un seul vient me faire eicrh, je delete ce post. Verstand ?

Allez, ouste, au travail, crénom de nom !

Dernière modification par freddy (16-03-2012 05:43:16)

jpp · 17-03-2012 13:40:38

salut à tous.

je cherche à comprendre déjà la question 1).

@freddy : une partie c'est au minimum 2 lancers de dé et au maximum 2n lancers puisque ça se joue toujours à 2.

donc le nombre de parties est différent du nombre de lancer .

à plus.

totomm · 17-03-2012 16:52:16

Bonjour,

freddy a écrit :

1 - quelle est la durée moyenne (exprimée en nombre de partie, et donc de lancer de dé) du jeu ?

Cordialement

freddy · 17-03-2012 18:32:39

Salut,

@totomn, non, deux fois trop long !

@jpp : une partie = 1 lancer ; pour ramasser le pot, il faut que le joueur gagne 4 parties successivement, contre ses 4 challenger, en respectant la règle du jeu. S'il perd une seule partie, il faut qu'il recommence tout, en attendant son tour pour rejouer.

Dernière modification par freddy (17-03-2012 18:33:26)

jpp · 17-03-2012 20:03:21

re.

donc ils sont 5 et l'un d'eux doit battre les 4 autres à la suite.

pierre =1 , paul = 2 , jacques = 3 , vincent = 4 & émilie = 5 pour simplifier par la suite.

puis j'appellerai G une manche gagnée et P , une manche perdue.

1 gagne avec la séquence GGGG et \(\displaystyle P_1 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\)

2 gagne avec la séquence PGGG et \(\displaystyle P_2 =\frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \)

3 gagne avec l'une des séquences GPGGG & PPGGG et \(\displaystyle P_3 =\frac{2}{2^5} = \frac{1}{16} \)

4 gagne avec l'une des séquences GGPGGG - GPPGGG - PPPGGG & PGPGGG et \(\displaystyle P_4 =\frac{2^2}{2^6} = \frac{1}{16} \)

5 gagne avec l'une des séquences:GGGPGGG - GGPPGGG - GPGPGGG - GPPPGGG - PGGPGGG - PGPPGGG - PPGPGGG & PPPPGGG

et \(\displaystyle P_5 =\frac{2^3}{2^7} = \frac{1}{16} \)

en effet pour la nième personne qui rentre dans le jeu et qui veut gagner , sa séquence doit etre PGGG

et comme la sixième personne à rentrer dans le jeu est en fait la première à y etre rentrée on recommence avec les memes probas.

donc en moyenne 18 parties devraient suffir pour la récupération du pot par un candidat.

en fait c'est un peu plus compliqué.....

(...)

Dernière modification par jpp (18-03-2012 09:47:09)

totomm · 17-03-2012 23:16:41

Bonsoir,

Cordialement

freddy · 18-03-2012 09:29:13

Salut,

il faut bien voir que celui qui perd au cours du jeu devra attendre 4 parties avant de pouvoir à nouveau jouer. L'ordre de passage n'est donc pas immuable.

karlun · 18-03-2012 11:17:39

Bonjour,

J'essaie de faire avaler et digérer ce casse-tête par mon Python.
Là je crois que j'y suis (sauf erreurs toujours à ma portée).

Voici une séquence:

Le premier chiffre "2" est fruit du hasard (1 ou 2),
le n° joueur désigne le joueur (de 0 à 4).
la ligne entre [] correspond aux réussites si le chiffre tiré est pair (tous les autres sont remis à 0).

: python

2 n°joueur: 0
[2, 0, 0, 0, 0]
1 n°joueur: 0
[0, 0, 0, 0, 0]
 
2 n°joueur: 1
[0, 2, 0, 0, 0]
2 n°joueur: 1
[0, 4, 0, 0, 0]
2 n°joueur: 1
[0, 6, 0, 0, 0]
1 n°joueur: 1
[0, 0, 0, 0, 0]
 
2 n°joueur: 2
[0, 0, 2, 0, 0]
1 n°joueur: 2
[0, 0, 0, 0, 0]
 
2 n°joueur: 3
[0, 0, 0, 2, 0]
2 n°joueur: 3
[0, 0, 0, 4, 0]
2 n°joueur: 3
[0, 0, 0, 6, 0]
2 n°joueur: 3
[0, 0, 0, 8, 0]
le joueur n°  3 remporte la cagnotte
après  12 parties

Voici les réponses aux questions n°1 et n°2 qu'il me crache après 1000000 joutes:

: python

Après avoir joué  1000000 fois,
la moyenne du nombre de parties nécessaires pour gagner est de:    29
Succès par joueurs (J0,J1,J2,J3,J4):   [226396, 213040, 199193, 187000, 174371]
vérif:   1000000 jeux gagnants sur  1000000 joutes.

Mais une question me vient (qui ne semble pas sans conséquence):
Une fois la cagnotte remportée par l'un des joueurs, recommencer une partie débute par son voisin de gauche ou bien par Pierre? (Python réinitialise à Pierre dans le résultat ci-avant )

Je regarde ce qu'il peut encore me cracher.

A+-*/

PS: je songe:
le joueur 0 qui tire "deux" élimine le joueur 1(qui paie à la cagnotte) et donc poursuit avec le joueur 2; s'il tire encore "deux" il élimine le joueur 2 (qui paie à la cagnotte).
S'il tire encore un "deux" il élimine le joueur 3 (qui paie à la cagnotte), s'il tire "un" il paie à la cagnotte et c'est au joueur 3 à jouer.
C'est bien cela?
Donc le joueur 0 ne devra pas nécessairement attendre quatre tours pour avoir la main ?

Il me faudra, je crois, corriger mon programme.

Dernière modification par karlun (18-03-2012 12:11:12)

totomm · 18-03-2012 12:02:05

Bonjour,

freddy a écrit :

il faut bien voir que celui qui perd au cours du jeu devra attendre 4 parties avant de pouvoir à nouveau jouer. L'ordre de passage n'est donc pas immuable.

Pour la question 1, seule importe la suite des pair-impair (0 ou 1) des lancers du dé, indépendamment de qui lance le dé.
Si l'on découpe cette suite (illimitée) après chaque groupe de n zéros consécutifs, la longueur moyenne des morceaux obtenus
(ici appelée "durée moyenne du jeu") est exactement \(\displaystyle 2^{n+1}-2\) donc ici, pour n=4 (5 joueurs) de 30 exactement.

Bien sûr, pour les questions 2 et 3, le résultat est contingent, dépendant de la réalisation de la suite des pairs-impairs.

freddy a écrit :

Pour ramasser le pot, il faut battre les 4 adversaires successivement.
D'une manière générale, celui qui perd la partie numéro p pourra à nouveau rentrer en lice lors de la partie numéro p+4, et pas avant.

Je n'ai pas tenu compte du fait suivant : Si j gagne contre j+1, mais perd contre J+2 ou J+3 ou J=4, il est hors jeu pour un tour.
Et si J+2 gagne contre J+3 et perd contre J+4 la situation devient complexe et gagner contre les 4 adversaires successivement mérite d'être bien défini. Cela ne peut qu'augmenter la "durée moyenne du jeu" !!

Merci à freddy pour cette occasion de faire travailler nos neurones...
Cordialement

Dernière modification par totomm (18-03-2012 12:58:27)

tibo · 18-03-2012 12:04:53

Dans un premier temps, intéressons nous aux deux premières questions.
Donc pour l'instant, pas de mise, ni de gain,...
Et dans ce cas, si j'ai bien compris, peu importe contre qui joue chaque joueur.
On peut donc voir le jeu ainsi : chacun leur tour, les joueurs jettent 4 dés. S'il y a au moins un numéro impair de sorti, alors il passe les 4 dés au suivant.

J'ai pas encore fait les calculs, mais au moins pour les deux premières questions ça me parait plus simple de le voir ainsi.

PS: Freddy, tu n'as pas précisé le nombre de faces du dé. Mais en fait on s'en fout, il suffit de jouer à un jeu à deux issues équiprobables. (Pas tapé, pas tapé,...)

Dernière modification par tibo (18-03-2012 12:06:07)

nerosson · 18-03-2012 14:04:22

iSalut à tous,

tibo a écrit :

Freddy, tu n'as pas précisé le nombre de faces du dé. Mais en fait on s'en fout, il suffit de jouer à un jeu à deux issues équiprobables. (Pas tapé, pas tapé,...)

mon dico électronique a écrit :

dé : Petit cube marqué de points pour jouer

Freddy doit être dans un de ses bons jours (c'esr rare !) : il n'a pas tapé. C'est pourquoi je le fais à sa place.

Intéressantes, ces questions, mais la multitude des réponses me décourage : j'ai l'impression que ce que je pourrai dire aura déjà été dit.

Dernière modification par nerosson (18-03-2012 14:11:31)

freddy · 18-03-2012 17:34:18

Salut,

donnons une séquence possible : Pierre joue et gagne contre Paul, il rencontre et gagne contre Vincent, il joue et perd contre Jacques.

Jacques rencontre Émilie et gagne, puis rencontre ... Paul et perd. Paul rencontre Vincent, gagne et rencontre ... Pierre ...

Vu ?

tibo · 18-03-2012 19:54:28

Ok,

donc j'avais mal compris.
rebelote alors...

jpp · 19-03-2012 19:28:35

salut.

pour la durée moyenne du jeu , je laisse tomber pierre , paul , jacques et les autres . parce qu'une machine peut le faire à la place.

sachant qu'il y a 16 séquences possibles après avoir lancé 4 dés et en sachant que la séquence GGGG stoppe la partie dès le début , il suffit d'écrire les 15 autres séquences et de les concentrer comme ceci :

G-G-G-P-G-P-P-G-G-P-P-P-P-G-P-G-G-G à l'intérieur on retrouve bien les quinze combinaisons suivantes:

G-G-G-P ; G-G-P-G ; G-P-G-P ; P-G-P-P ; G-P-P-G ; P-P-G-G ; P-G-G-P ; G-G-P-P ; G-P-P-P ; P-P-P-P ; P-P-P-G ; P-P-G-P ;

P-G-P-G ; G-P-G-G ; & P-G-G-G

au pire j'ai placé la bonne combinaison en dernier .

donc en 18 coups , c'est peut-etre un bonne moyenne .

à plus.

Dernière modification par jpp (19-03-2012 19:33:15)

tibo · 21-03-2012 09:09:01

Je n'ai pas de preuve rigoureuse, mais mon Python a parlé :

:

Pour 100000 partie :
Le nombre moyen de manches par partie est 30.05601.
 
Le joueur 0 a gagné 23780, soit une probabilité de gagner de 0.2378.
Le joueur 1 a gagné 20008, soit une probabilité de gagner de 0.20008.
Le joueur 2 a gagné 19511, soit une probabilité de gagner de 0.19511.
Le joueur 3 a gagné 18673, soit une probabilité de gagner de 0.18673.
Le joueur 4 a gagné 18028, soit une probabilité de gagner de 0.18028.
 
Le joueur 0 a en moyenne misé 6.36128, soit une espérance de 0.786039178
Le joueur 1 a en moyenne misé 6.19892, soit une espérance de -0.18531351
Le joueur 2 a en moyenne misé 6.00878, soit une espérance de -0.14455188
Le joueur 3 a en moyenne misé 5.83043, soit une espérance de -0.21807125
Le joueur 4 a en moyenne misé 5.6566, soit une espérance de -0.238102517

Après plusieurs essais, les deux chiffres après la virgules sont toujours les mêmes.

Dernière modification par tibo (21-03-2012 09:10:11)

karlun · 21-03-2012 10:13:07

Bonjour,

J'ai revu le programme en tenant compte des dernières précision de Freddy.

Illustration d'une petite séquence:

: python

>>> 
 
le joueur  0 rencontre le joueur  1 et joue  1
[0, 0, 0, 0, 0] [-1, 0, 0, 0, 0]
 
le joueur  1 rencontre le joueur  2 et joue  1
[0, 0, 0, 0, 0] [-1, -1, 0, 0, 0]
 
le joueur  2 rencontre le joueur  3 et joue  1
[0, 0, 0, 0, 0] [-1, -1, -1, 0, 0]
 
le joueur  3 rencontre le joueur  4 et joue  2
[0, 0, 0, 2, 0] [-1, -1, -1, 0, -1]
 
le joueur  3 rencontre le joueur  0 et joue  1
[0, 0, 0, 0, 0] [-1, -1, -1, -1, -1]
 
le joueur  0 rencontre le joueur  1 et joue  1
[0, 0, 0, 0, 0] [-2, -1, -1, -1, -1]
 
le joueur  1 rencontre le joueur  2 et joue  2
[0, 2, 0, 0, 0] [-2, -1, -2, -1, -1]
 
le joueur  1 rencontre le joueur  3 et joue  2
[0, 4, 0, 0, 0] [-2, -1, -2, -2, -1]
 
le joueur  1 rencontre le joueur  4 et joue  2
[0, 6, 0, 0, 0] [-2, -1, -2, -2, -2]
 
le joueur  1 rencontre le joueur  0 et joue  2
[0, 8, 0, 0, 0] [-3, -1, -2, -2, -2]
 
le joueur n°  1 remporte la cagnotte
après  10 joutes
[-3, 9, -2, -2, -2]
Après avoir joué  1 fois,
la moyenne du nombre de parties nécessaires pour gagner est de:    10.0
Succès par joueurs (J1,J2,J3,J4,J5):   [0, 1, 0, 0, 0] [-3, 9, -2, -2, -2]
>>>

: python

>>> 
Après avoir joué  1000000 fois,
la moyenne du nombre de parties nécessaires pour gagner est de:   29.997152
Succès par joueurs (J1,J2,J3,J4,J5):  
Parties gagnées:   [237516, 200213, 193364, 186897, 182010] 
Gains:             [-217215, -162934, -27805, 126465, 281489]
>>> 

Je trouve ces résultats étonnants...

les gains sont à l'inverse du nombre de victoires...
Pff! le succès ne rapporte pas toujours.

A+-*/

totomm · 21-03-2012 10:14:51

Bonjour,

Soit la suite des pairs et des impairs 0,1,0,0,0,0,0,… Pierre commence contre Paul , puis contre Jacques qui continue contre chacun des autres :
Il y a 2 façons de noter les résultats :
A) : Premier lancer par Pierre qui gagne contre Paul,
Second lancer par Pierre qui perd contre Jacques
Troisième lancer par Jacques qui gagne…
B) : Premier lancer par Pierre qui gagne contre Paul,
Second lancer par Pierre contre Jacques qui gagne
Troisième lancer par Jacques qui gagne…

freddy post #1 a écrit :

Pierre et Paul commencent la partie.
Gagne la partie celui qui obtient un numéro pair sur la face qui fait face au ciel.

Qui conforte l'interprétation A) pour laquelle il faut 4 lancers pairs successifs à Jacques pour remporter le pot.
Mais l'interprétation B) ne demande que 3 lancers pairs successifs à Jacques pour remporter le pot.

tibo post #15 vient de donner un résultat suivant A),
Mais sans doute freddy pensait que l'on devait interpréter B) en répondant

freddy post #4 a écrit :

@totomn, non, deux fois trop long !

Cordialement

freddy · 21-03-2012 10:51:06

Salut,

il faut bien voir le point suivant :

totomn a écrit :

B) : Premier lancer par Pierre qui gagne contre Paul,
Second lancer par Pierre contre Jacques qui gagne

donc Jacques a gagné une partie, il ne lui reste plus qu'à en gagner trois ...

totomn a écrit :

Troisième lancer par Jacques qui gagne…

et il ne reste plus qu'à gagner deux parties successives pour que Jacques ramasse le pot.

karlun · 21-03-2012 11:36:48

Re,

Et avec une ligne en plus (vu les remarques précédentes) :

: python

>>> 
Après avoir joué  1000000 fois,
la moyenne du nombre de parties nécessaires pour gagner est de:    14.995948
Succès par joueurs (J1,J2,J3,J4,J5):  
Parties gagnées  [223550, 210727, 198942, 187612, 179169] 
Gains       [-255473, -158646, -532, 129629, 285022]
>>> 

Merci d'agiter nos neurones.

"Qui perd (le plus) gagne."

A+-*/

Au lu du poste suivant (de Freddy), j'ajoute un exemple d'échange.
Comme ça, là, je n'y perçois pas de symétrie.

: python

>>> 
 
le joueur  0 rencontre le joueur  1 et joue  2
[2, 0, 0, 0, 0] [0, -1, 0, 0, 0]
 
le joueur  0 rencontre le joueur  2 et joue  1
[0, 0, 2, 0, 0] [-1, -1, 0, 0, 0]
 
le joueur  2 rencontre le joueur  3 et joue  2
[0, 0, 4, 0, 0] [-1, -1, 0, -1, 0]
 
le joueur  2 rencontre le joueur  4 et joue  1
[0, 0, 0, 0, 2] [-1, -1, -1, -1, 0]
 
le joueur  4 rencontre le joueur  0 et joue  1
[2, 0, 0, 0, 0] [-1, -1, -1, -1, -1]
 
le joueur  0 rencontre le joueur  1 et joue  1
[0, 2, 0, 0, 0] [-2, -1, -1, -1, -1]
 
le joueur  1 rencontre le joueur  2 et joue  1
[0, 0, 2, 0, 0] [-2, -2, -1, -1, -1]
 
le joueur  2 rencontre le joueur  3 et joue  2
[0, 0, 4, 0, 0] [-2, -2, -1, -2, -1]
 
le joueur  2 rencontre le joueur  4 et joue  2
[0, 0, 6, 0, 0] [-2, -2, -1, -2, -2]
 
le joueur  2 rencontre le joueur  0 et joue  2
[0, 0, 8, 0, 0] [-3, -2, -1, -2, -2]
 
le joueur n°  2 remporte la cagnotte
après  10 joutes
[-3, -2, 9, -2, -2]
Après avoir joué  1 fois,
la moyenne du nombre de parties nécessaires pour gagner est de:    10.0
Succès par joueurs (J1,J2,J3,J4,J5):   [0, 0, 1, 0, 0] [-3, -2, 9, -2, -2]
vérif: 1 0
>>> 

Je cherche.

Dernière modification par karlun (21-03-2012 13:02:31)

freddy · 21-03-2012 12:43:18

Salut,

OK pour le 1, le nombre exact = 15.

OK pour les perdants et les gagnants, mais erreur sur les résultats : il y a une symétrie que tu n'as pas vue entre deux joueurs ...

totomm · 21-03-2012 19:47:25

bonsoir,

@ karlun : au post @19 le joueur J0 perd contre J2 au 2ème lancer de dé, il ne devrait donc pas pouvoir être adversaire de J4 au 5ème lancer de dé ? (il ne peut rejouer avant le 2+4=6ème lancer ! )

Après qu'un joueur a gagné le pot, il continue à jouer, mais s'il sort encore 3 nombres pairs successifs, il lui en faut un 4ème pour gagner le pot tout de suite. Comment traitez-vous ce cas du début de séquence ?

Cordialement

freddy · 21-03-2012 21:20:03

Salut,

Quand un joueur a gagné, le jeu s'arrête et une nouvelle partie peut commencer.

karlun · 22-03-2012 16:01:58

Bonjour,

@Totomm

(il ne peut rejouer avant le 2+4=6ème lancer ! )

Je ne crois pas au vu de l'exemple illustratif de Freddy:

Pierre joue et gagne contre Paul, il rencontre et gagne contre Vincent, il joue et perd contre Jacques.
Jacques rencontre Émilie et gagne, puis rencontre ... Paul et perd. Paul rencontre Vincent, gagne et rencontre ... Pierre ...

Ce que j'ai compris c'est que le joueur qui gagne obtient une victoire (ici =2); et donc en début de partie personne n'a de victoire.
Une partie gagnée..., les joueurs peuvent en recommencer une autre qui débutera par Pierre.

Et je cherche encore cette p..... de symétrie.

A+-*/

totomm · 22-03-2012 17:58:32

Bonjour,

Après quelque réflexion, voici une solution calculée (et non simulée) :
Soient les suites \(\displaystyle s_n,\ t_n,\ u_n,\ v_n\) , initialisées respectivement pour n=4 à 1,1,1,8
Soit \(\displaystyle s_n=u_{n-1}, t_n=u_{n-1}+s_{n-1}, u_n=u_{n-1}+t_{n-1}\)
Soit \(\displaystyle v_n=2\times{(v_{n-1}-s_{n-1})} \)
La probabilité d'un arrêt sur la longueur n est \(\displaystyle P(n)=\left(1- \sum_{i=4}^{n-1}P(i)\right) \times\frac{s_n}{v_n}\)
La longueur moyenne \(\displaystyle \sum_{i=4}^{n} i\times P(i)\) tend vers 15.0 exactement quand n croit

Avant d'entreprendre les questions 2 et 3 : quand le joueur j a gagné le pot, c'est bien lui qui continue à lancer le dé ? mais les blocages partie p->p+4 sont-ils levés ?

Cordialement

jpp · 22-03-2012 18:53:21

salut.

un joueur qui rentre dans la partie joue 1 fois et sort , joue 2 fois et sort , joue 3 fois et sort , autrement il gagne la partie et prend le pot. ce qui fait 1+2+3=6 lancers de dé. et comme ils sont cinq à jouer cela fait 30 , et comme ils sont 2 dans chaque manche , on a bien 15 jeux en moyenne pour finir une partie. G-G-G-P-G-P-P-G-G-P-P-P-P-G-P----G-G-G-P-G-P-P....

(...)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-03-2012 18:49:17