Mytholand

freddy · 10-02-2012 16:30:21

A Mytholand, ville très sympathique de Groland, il y a deux catégories d'humains :

- l'une, pour un tiers de la population, qui ment systématiquement ;

- l'autre qui dit la vérité 3 fois sur 4. A chaque fois, frappés d'anosognosie, les réponses sont données de façon tout à fait indépendante les unes des autres, et des uns par rapport aux autres.

Un car de touristes de Narkolazzie, charmant pays frontalier, se pose sur la place de l'Hotel de Ville pour visiter le Musée du Mensonge.

Les touristes ont un petit problème : ils ne savent pas s'il faut se diriger en direction du Nord de l'Hôtel de Ville, ou bien du Sud.

Ils avisent un quidam. A tour de rôle, quatre touristes lui posent la même question et obtiennent la même réponse : Nord.

Un cinquième touriste se propose de lui poser à nouveau la même question.

Quelle est la réponse qui donnera au groupe la meilleure orientation possible ?

Dernière modification par freddy (10-02-2012 16:33:15)

jpp · 10-02-2012 19:52:01

salut.

Dernière modification par jpp (10-02-2012 19:53:39)

Fred · 10-02-2012 21:36:49

Salut,

Je suis entièrement d'accord avec Jpp!

Fred.

freddy · 10-02-2012 22:00:16

Re,

t'es sûr ?

Dernière modification par freddy (10-02-2012 22:01:23)

amatheur · 11-02-2012 02:14:26

salut

je suis entrain de penser à un problème dérivé, en permettant aux touristes d'interroger un nombre N de personnes, avec un nombre total de question Q, pour N fixé, existe-il un algorithme qui leurs permettrait de minimiser Q?

Dernière modification par amatheur (11-02-2012 03:38:50)

Fred · 11-02-2012 23:44:43

Salut,

Bon, la réponse de Freddy m'a piqué au vif, car il a évidemment raison. Ce que jpp et moi proposons n'est qu'un raisonnement heuristique,
mais je suis sûr que Freddy voulait une vraie preuve probabiliste. J'ai essayé de m'y coller, en espérant ne pas avoir écrit de bêtises car il est question de probabilités "doublement" conditionnelles.

Pour cela, considérons les événements suivants :
* $\displaystyle N$ est l'événement "La direction est Nord";
* $\displaystyle S$ est l'événement "La direction est Sud"; $\displaystyle S$ n'est rien d'autre que l'événement $\displaystyle \bar N$ ;
* $\displaystyle A$ est l'événement "le quidam répond Nord, Nord, Nord, Nord, Sud";
* $\displaystyle B$ est l'événement "le quidam répond Nord, Nord, Nord, Nord, Nord";
* $\displaystyle M$ est l'événement "Le quidam est un menteur systématique".

Notons aussi $\displaystyle P(E|F)$ , ou parfois $\displaystyle P_F(E)$ la probabilité conditionnelle de $\displaystyle E$ sachant que $\displaystyle F$ est réalisé. Ce que l'on souhaite démontrer, c'est que
$$|P(N|A)-P(S|A)|\geq |P(N|B)-P(S|B)|.$$
On sépare les deux cas :

1. L'événement $\displaystyle A$ est réalisé. On cherche à calculer la probabilité
conditionnelle de $\displaystyle N$ sachant $\displaystyle A$ , c'est-à-dire $\displaystyle P(N|A)$ . Ce que l'on connait très bien, c'est $\displaystyle P(A|N)$ . En
effet, on sait dans ce cas que le quidam n'est pas un menteur systématique. La probabilité
qu'il ait donné les réponses successives correspondant à $\displaystyle A$ vaut donc
$$P(A|N)=\left(\frac 34\right)^4\times\frac 14.$$
On retrouve $\displaystyle P(N|A)$ en utilisant la formule de Bayes :
$$P(N|A)=\frac{P(A|N)P(N)}{P(A|N)P(N)+P(A|\bar N)P(\bar N)}.$$
On sait calculer toutes les probabilités qui sont invoquées, car $\displaystyle P(N)=1/2$ et
$$P(A|\bar N)=\left(\frac 14\right)^4\times\frac 34.$$
Finalement, on trouve, arrondi à deux décimales :
$$P(N|A)\simeq 0,96\implies |P(N|A)-P(S|A)|\simeq 0,92.$$

2. L'événement $\displaystyle B$ est réalisé. On souhaite calculer $\displaystyle P(N|B)$ . C'est délicat de le faire
directement, et on va calculer d'abord
$$\begin{array}{rcl}
P(B|N)&=&P_N(B)=P_N(B\cap M)+P_N(B\cap \bar M)\\
&=&\frac 12 P(B\cap M\cap N)+\frac 12 P(B\cap \bar M\cap N).
\end{array}$$
L'événement $\displaystyle B\cap M\cap N$ est impossible, il reste à calculer
$$P(B\cap \bar M\cap N)=P_{\bar M}(B\cap N)P(\bar M)=\frac{P_{\bar M}(B|N)}{P_{\bar M}(N)}P(\bar M).$$
Or, $\displaystyle P(\bar M)=2/3$ , $\displaystyle P_{\bar M}(N)=1/2$ (car $\displaystyle N$ est indépendant de $\displaystyle M$ ), et
$$P_{\bar M}(B|N)=\left(\frac 34\right)^5.$$
On trouve donc
$$P(B|N)=\frac 23\left(\frac 34\right)^5.$$</p>

On fait le même calcul avec $\displaystyle \bar N$ au lieu de $\displaystyle N$ , et on obtient
$$\begin{array}{rcl}
P(B|\bar N)&=&P_{\bar N}(B)=P_{\bar N}(B\cap M)+P_{\bar N}(B\cap \bar M)\\
&=&\frac 12 P(B\cap M\cap \bar N)+\frac 12 P(B\cap \bar M\cap \bar N).
\end{array}$$
L'événement $\displaystyle B\cap M\cap \bar N$ est inclus dans $\displaystyle M\cap\bar N$ , qui est lui-même de probabilité
$\displaystyle \frac 13\times\frac12=\frac 16$ (car les événements $\displaystyle M$ et $\displaystyle \bar N$ sont indépendants). Il reste à calculer
$$P(B\cap \bar M\cap \bar N)=P_{\bar M}(B\cap \bar N)P(\bar M)=\frac{P_{\bar M}(B|\bar N)}{P_{\bar M}(\bar N)}P(\bar M).$$
Or, $\displaystyle P(\bar M)=2/3$ , $\displaystyle P_{\bar M}(\bar N)=1/2$ , et
$$P_{\bar M}(B|\bar N)=\left(\frac 14\right)^5.$$
On trouve donc
$$P(B|\bar N)=\frac 23\left(\frac 14\right)^5+\frac 1{12}.$$
On en déduit $\displaystyle P(N|B)$ par la formule de Bayes :
$$P(N|B)=\frac{P(B|N)P(N)}{P(B|N)P(N)+P(B|\bar N)P(\bar N)}.$$
Une valeur approchée à deux décimales est :
$$P(N|B)\simeq 0,65\implies |P(N|B)-P(S|B)|\simeq 0,31.$$

freddy · 12-02-2012 17:32:40

Salut Fred,

de la belle ouvrage !

Mon idée implicite était de convoquer le principe du maximum de vraisemblance classique en statistique mathématique, ce que tu as fait sans le dire avec jpp.

Ta preuve est incontestable !

Dernière modification par freddy (12-02-2012 17:35:48)

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