Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jpp

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l'aquarium

Salut à tous.

voilà encore un petit problème de géomètrie , parce qu'il en faut pour tous les goûts.

je possède un aquarium de contenance 1 m³ et c'est un cube parfait.

il est rempli d'eau au tiers de sa capacité.

il me prend l'envie d'usiner sur un tour vertical 2 magnifiques cones droits et pleins en gaiac ou ébène les plus volumineux qui soit et  de les placer  à l'intérieur de cet aquarium de manière à ce qu'ils puissent etre entièrement immergés.

La question est celle ci :  quelle quantité d'eau dois-je ajouter dans mon aquarium pour ,qu'une fois les cones installés , ceux-ci soient entièrement immergés ?

Il faut évidemment en fournir les preuves.

                                                                                     bon courage.

Dernière modification par jpp (26-11-2011 14:01:16)

amatheur

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Re : l'aquarium

salut
une simple question, es ce que les cônes doivent être déposées sur leurs bases ou bien  pourrait-on les inclines?

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J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

jpp

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Re : l'aquarium

re.

  @amatheur:   les cones , tu les places comme bon te semble .

Dernière modification par jpp (26-11-2011 17:01:59)

karlun

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Re : l'aquarium

Bonjour,

Pas trop sûr mais voici:

Il faudra ajouter 2/3-4/27*pi = 0.201 litres minimum pour immerger les deux cônes (les plus grands possibles).

Détails des calculs sont à disposition.

Blup, blup!

A+-*/

Dernière modification par karlun (27-11-2011 14:17:09)

---

Qui trouve, cherche.

jpp

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Re : l'aquarium

Salut à tous.

@karlun.   tu écris ton résultat en litre ou en m³ ?   parce que ton résultat est resté en m³.

ça te fait quand meme pas mal d'eau à rajouter. si on avait eu 1/3 de pastis dans le bac , là , le pastis était noyé.

essaie de grossir tes cones.

                                                                                                  à plus.

totomm

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Re : l'aquarium

Bonsoir,

Comme c'est la taille de la base qui est importante, je propose
deux cônes droits de bases de diamètre 1, l'un de hauteur 1 posé sur la base inférieure de l'aquarium
et l'autre de hauteur 1/4 posé contre une face latérale.
Volume des cônes : \(\displaystyle V=\pi\frac{0.5^2(1+0.25)}{3}\ m^3=\frac{5}{48}\pi\ m^3\)    soit 0.32725 m3
Il faudra donc ajouter 0.33942 m3 d'eau

Cordialement

amatheur

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Re : l'aquarium

salut

j’insère deux cônes identiques chevauchées, la base du premier installée sur la base de l'aquarium et celle de l'autre regarde vers le haut , de hauteur 1 et de rayon 1/3, leur volume total    \(\displaystyle \rightarrow \,{V}_{T}=\frac{\pi }{12}\)   en mètre cube, donc il faudra ajouter 0.4 \(\displaystyle {m}^{3}\) d'eau.

Dernière modification par amatheur (27-11-2011 19:03:15)

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amatheur

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Re : l'aquarium

salut

 

pour optimiser le volume total, il faut optimiser le rayon du cône, en mettant un qui soit incliner de manier a ce que la surface de l'eau une fois l'aquarium remplit  lui  soit changeante.
la deuxième va être mise sous la base du premier de manière de ce que son sommet touche le centre de la base du premier
\(\displaystyle {V}_{T}=\frac{\Pi }{6}\sin \alpha \sin 2 \alpha\left(1+{\sin }^{3}\alpha \right)\)    avec  \(\displaystyle \alpha \)   exprimant l'angle de révolution du premier cône
en étudiant cette fonction sur  [0;π/4] , elle a un maximum à π/4
application numérique: VT=0.50 et il faut ajouter 0.165 en mètre cube.

Dernière modification par amatheur (27-11-2011 21:18:52)

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jpp

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Re : l'aquarium

re.

@amatheur ,  peux-tu préciser tes calculs à propos de la discussion que tu as retirée , et donner les cotes .

  un cone droit , c'est 2 cotes : un diamètre de base et une hauteur et là on peut savoir s'il rentre oui ou non dans le bocal.

                                                                                       à plus

amatheur

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Re : l'aquarium

re

alors il un diamètre de  \(\displaystyle \sqrt{2\,}\,eu\,une\,hauteur\,de\,\frac{\sqrt{2}}{2}\)
en y réfléchissant, on peut en insérer deux , opposées par leur bases, mais la ça va déborder!
on pourrait aussi diminuer le volume d'une des cônes, mais en gardant la même disposition et les mêmes formes, de manière à obtenir un volume total de 2/3 .

sauf erreur bien sur.

Dernière modification par amatheur (27-11-2011 22:03:06)

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jpp

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Re : l'aquarium

re.

  @amatheur.  comment peux tu rentrer un cone de diamètre de base \(\displaystyle \sqrt2\)   aussi plat soit-il  puisque \(\displaystyle \sqrt2\) est la diagonale des  faces du cube ?

                                                                              à plus.

amatheur

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Re : l'aquarium

re
tu as entièrement raison JPP!! ce qui invalide mes résultats, amatheur doit continuer à chercher, a+

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totomm

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Re : l'aquarium

Bonjour,

@ jpp : Vous avez dû manquer la proposition au post #6 (28/11/2011 18:28:22), à moins que vous ne soyez fâché avec l'étude complète des cônes tangents.  :-)

Cordialement

jpp

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Re : l'aquarium

salut.

@totomm.    non, j'ai bien consulté ton poste #6  .  tu dois quand meme remettre beaucoup d'eau dans le pastis.

il est évidemment qu' on peut faire mieux.

                                                                                                à plus.

totomm

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Re : l'aquarium

Bonjour,

J'ai juste 5 minutes devant moi et votre réponse me conduit à une nouvelle idée qui est la seule configuration que je n'ai pas encore calculée :
Soit P le plan médian d'une grande diagonale du cube. 2 cônes droits identiques ayant leur sommet sur les sommets du cube de cette grande diagonale, et leur base inscrite dans le polygone section du cube par P

Calcul assez rapide : P coupe chacune de 6 arêtes en son milieu, donc formant un hexagone
dont le cercle inscrit a un rayon de \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\) , la diagonale qui joint les 2 sommets a une longueur de \(\displaystyle \sqrt{3}\)

Le bicône a un volume de \(\displaystyle \pi\frac{\sqrt{3}}{8}\ =\ 0.68017\ m3\)

Comme il y a déjà 1/3 d'eau = 0.33333 m3, il s'en échappera 0.01351 m3 en immergeant ce bicône

A+ cordialement

Dernière modification par totomm (28-11-2011 15:46:30)

karlun

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Re : l'aquarium

Bonsoir,

Eh oui... erreur d'unité dans ma première proposition. merci JPP

Je grossis donc mes cônes gardant la même piste de réflexion.

J'arrive à un volume pour les deux cônes (dont les centres sont sur la diagonale du carré de deux faces opposées du cube) de

\(\displaystyle =\frac{\pi}{6}\)

et donc il faudra rajouter 143 litres.

Sauf erreurs évidemment.

Les détails des calculs sont disponibles.

A+-*/

Dernière modification par karlun (28-11-2011 19:17:03)

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Qui trouve, cherche.

jpp

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Re : l'aquarium

salut.

@totomm  bravo!

totomm

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Re : l'aquarium

Bonsoir,

le cube déjà rempli au tiers a eu un effet sûrement escompté par jpp :-). Inconsciemment on essaie alors de travailler dans l'espace résiduel...

Personnellement j'ai analysé toutes les variations de volumes sur 2 ou 3 variables indépendantes, et j'ai été content de savoir encore déterminer des cônes tangents limités dans ce cube !
Si le cube avait été présenté vide, la solution se serait sans doute plus facilement imposée !