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#1 24-10-2011 13:19:04

Juju79
Membre
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Messages : 8

Espace porte? (topologie)

Bonjour

Alors en fait un espace métrique E est appelé espace porte si toute partie de E est ouverte ou fermée. Mais je ne comprend pas le sens de la phrase j'ai des lacunes dans ce domaine! est ce que quelqu'un pourrais m'aider à comprendre s'il vous plait?

par exemple R muni de sa distance usuelle est -il un espace porte?
De même un espace métrique discret en est t-il un?

Merci d'avance

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#2 24-10-2011 17:20:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 116

Re : Espace porte? (topologie)

Bonjour,

  D'abord, le premier conseil que je te donne (et tu dois le faire, si tu veux progresser), c'est de réviser ce qu'est un ouvert, et ce qu'est un fermé. Concernant tes deux exemples :

1. R n'est pas un espace porte. En effet, par exemple, l'intervalle [0,1] est une partie fermée de R, mais ce n'est pas une partie ouverte de R (autour de 1, on ne peut pas considérer une petite boule contenue complètement dans [0,1]).

2. Un espace métrique discret E est un espace porte. Voici comment faire. D'abord, il suffit de montrer que toute partie de  E est ouverte. En effet, si toute partie de E est ouverte, toute partie de E est automatiquement fermée. Pour cela, il suffit de remarquer que si F est une partie de E, F est une partie fermée de E si et seulement si son complémentaire est ouvert (c'est la définition). Or, le complémentaire de F est ouvert, comme toute partie de E.

Donc, on va démontrer que toute partie de E est ouverte. Soit A une telle partie, et soit a un point de A. On doit trouver un rayon R tel que B(a,R) soit contenu dans A. Mais E est un espace discret. Il existe donc R>0 tel que [tex]B(a,R)=\{a\}.[/tex]. Pour ce rayon R, on a bien
[tex]B(a,R)=\{a\}\subset A.[/tex]

Fred.

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#3 24-10-2011 20:46:13

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 051

Re : Espace porte? (topologie)

Salut

juste une remarque pour Fred, que je retirerai si elle est erronée:

remarque

Je n'ai absolument rien trouvé sur internet sur les espaces portes, je m'en tiens donc à la définition qu'a donné juju:

un espace métrique E est appelé espace porte si toute partie de E est ouverte OU fermée

et ensuite tu écris

R n'est pas un espace porte. En effet, par exemple, l'intervalle [0,1] est une partie fermée de R, mais ce n'est pas une partie ouverte de R

autrement dit que [0, 1] n'est pas ouvert ET fermé

Te connaissant, je ne pense pas que l'erreur vienne de toi, donc soit je suis fatigué et mon raisonnement est faux, soit il y a une faute de frappe dans la définition.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#4 25-10-2011 07:28:56

freddy
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Re : Espace porte? (topologie)

Salut,

et puis il y a aussi le cas où

desproges a écrit :

la porte est ou verte, ou blanche

;-)


Memento Mori ! ...

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#5 25-10-2011 09:30:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 116

Re : Espace porte? (topologie)

Re-

  Non, Tibo, tu as tout à fait raison, c'est moi qui étais fatigué hier soir....

Fred.

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#6 25-10-2011 11:43:08

sarah79
Membre
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Messages : 10

Re : Espace porte? (topologie)

Bonjour,
j'ai un exercice qui porte également sur les espaces portes. Je dois montrer que E le sous ensemble {0}U{1/n} de R (n appartient à N^*) est un esapce porte sachant qu'il est muni de la distance usuelle de R. Je ne vois pas comment faire. Pouvez vous m'aider s'il vous plait.
Je dois également trouver un point d'accumulation de E, pour moi ça serait 0, est ce juste?

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#7 25-10-2011 12:47:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 116

Re : Espace porte? (topologie)

Re-

  0 est bien un point d'accumulation de E.
Si A est une partie de E :
*Si 0 n'appartient pas à A, alors A est une partie ouverte de E (c'est exactement la même démonstration que ci-dessous, car tous les points sont isolés).
*Si 0 appartient à A, alors A est une partie fermée de E : en effet, 0 n'appartient pas au complémentaire de A, ce complémentaire est donc ouvert, et A est fermé.

Fred.

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#8 25-10-2011 13:35:33

sarah79
Membre
Inscription : 25-10-2011
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Re : Espace porte? (topologie)

Merci je vais bien relire tout ça pour bien comprendre et arriver à le refaire toute seule car pour l'instant le topologie et moi ça fait 2.

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#9 26-10-2011 17:24:50

Juju79
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Re : Espace porte? (topologie)

Merci beaucoup fred j'ai compris ce que tu as voulu dire pour la première question car si je prends l'intervalle [0,1[ qui appartient à R est ni ouvert ni fermé donc R n'est pas un espace porte.

Mais je dois trouver des points d'accumulation de ces deux espaces.

Je pense que pour un espace métrique c'est {a} de ta démonstration mais pour R je ne vois pas du tout!

C'est possible de m'aider?

Merci d'avance

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#10 26-10-2011 17:37:34

Fred
Administrateur
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Re : Espace porte? (topologie)

Juju79 a écrit :

Mais je dois trouver des points d'accumulation de ces deux espaces.

Je pense que pour un espace métrique c'est {a} de ta démonstration mais pour R je ne vois pas du tout!

Je ne comprends pas ta question.

F.

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#11 26-10-2011 17:48:17

Juju79
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Messages : 8

Re : Espace porte? (topologie)

Alors je dois trouver un ou plusieurs point d'accumulation de l'espace R
Puis un ou plusieurs point d'accumulation d'un espace métrique discret.

Et après je dois faire la généralisation en montrant que un espace porte contient au plus un point d'accumulation.
(indication : x et y deux points d'accumulation de l'espace porte et considérer les parties {y}U(B(x,r)\{x}) pour r assez petit)

J

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#12 26-10-2011 20:21:49

Fred
Administrateur
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Messages : 5 116

Re : Espace porte? (topologie)

Re-

  Là, il faut te concentrer un peu sur les définitions de ton cours.
Un point d'accumulation d'un ensemble E, c'est un point a qui est limite d'une suite de points de E tous différents de a.
Dans R, démontre que tout point est un point d'accumulation.
Dans un espace métrique discret, j'ai déjà démontré qu'aucun point n'est point d'accumulation.

Pour démontrer qu'un espace porte contient au plus un point d'accumulation, on fait comme c'est proposé par l'énoncé, et on doit démontrer que [tex]A=\{x\}\cup \big(B(x,r)\backslash\{x\})[/tex] n'est ni ouvert, ni fermé.

Il n'est pas fermé, car on peut prendre une suite [tex](x_n)[/tex] de points de [tex]A[/tex] qui converge vers x, et donc x appartient à l'adhérence de A sans être dans A (ceci utilise le fait que [tex]x[/tex] est un point d'accumulation, relis bien ton cours pour vérifier qu'on peut bien construire cette suite).
A n'est pas non plus ouvert, car tout voisinage de y contient des points qui ne sont pas dans A (utilise cette fois  que [tex]y[/tex] est un point d'accumulation).

Fred.

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#13 28-10-2011 08:36:58

Juju79
Membre
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Messages : 8

Re : Espace porte? (topologie)

Merci j'ai compris toutes les explications
mais je dis pas que j'ai compris toute la topo
car je pense que ça fera toujours deux avec moi.

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#14 07-11-2011 10:19:56

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

Bonjour,
je dois montrer que x est un point d'accumulation de E si et seulement si {x} n'est pas ouvert dans E.
Je ne vois pas comment partir, faut-il procéder par l'absurde puisque l'on doit montrer que {x}n'est PAS ouvert de E?

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#15 07-11-2011 12:38:06

Fred
Administrateur
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Messages : 5 116

Re : Espace porte? (topologie)

Bonjour,

  Je démontrerai plutôt que
1. Si {x} est ouvert alors x n'est pas un point d'accumulation de E...
2. Si {x} n'est pas ouvert, alors x est un point d'accumulation

Pour 1. : Si {x} est ouvert, alors B(x,r) est inclus dans {x} pour un r>0, et x ne peut pas être un point d'accumulation de E.

Pour 2. : C'est plus compliqué. Il faut utiliser que pour chaque r>0, on peut trouver y dans B(x,r) différent de x.
On commence par prendre r=1, et on trouve x1.
On prend ensuite r2=1/2 et on trouve x2
On continue, en prenant r3=1/3, et on trouve x3.

On trouve ainsi une suite de points de E, tous différents de x, et qui convergent vers x.

Fred.
Si

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#16 07-11-2011 12:41:22

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

Pour le 1 ok, pour le 2 c'est plus compexe en effet. Merci pour l'explication.

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#17 08-11-2011 18:06:31

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

Bonjour,
je bloque toujours sur cet exercice.

Je dois donc montrer que :
- tout point de R muni de sa disatance usuelle est point d'accumulation.
- aucun point d'un espace discret n'est point d'accumulation
- 0 est point d'accumulation de {0}U{1/n;n appartient à N}

Mais pour le démontrer j'en suis incapable, pouvez vous me donner des indications s'il vous plait.

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#18 08-11-2011 20:25:32

Fred
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Re : Espace porte? (topologie)

Bonsoir,

  Je veux bien t'aider, mais je ne ferai pas l'exercice tout seul.
Alors commence par me dire ce que tu as dans ton cours sur les points d'accumulation : définition, caractérisation,....

Fred.

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#19 08-11-2011 20:47:08

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

J'ai réussi a montrer qu'aucun point d'un espace discret n'est point d'accumulation car un espace métrique discret est un espace topologique E tel que tout point est isolé cad que pour tout a appartenant à E, {a} est ouvert de E. D'après la question d'avant on a montrer que x point d'accumulation ssi {x} n'est pas ouvert dans E. Donc si {a} est ouvert de E, a n'est pas point d'accumulation. Conclusion un espace discret n'a pas de point d'accumuation. Correct?

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#20 08-11-2011 20:51:24

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

Et pour les deux autres je vois pas.
Comme définition j'ai : si E est un espace métrique, x appartenant à E est point d'accumulation de E si tout voisinage de x est non réduit au singleton {x}. C'est ce qui m'est rappelé dans mon exo.
Dans mon cours, x appartenant à X point d'accumulation de A, si tout voisinage V de x contient des points différent de x.

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#21 08-11-2011 20:59:27

Fred
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Re : Espace porte? (topologie)

Salut,

  On va partir de là :

sarah79 a écrit :

Dans mon cours, x appartenant à X point d'accumulation de A, si tout voisinage V de x contient des points de A différent de x.

(j'ai mis en gras quelque chose que tu avais oublié et qui est très important!).
Donc, tu veux démontrer que tout point de R est un point d'accumulation.
Prenons un point x de R. Tu veux prouver que tout voisinage V de x contient des points de R différents de x. Est-ce que cela est plus clair pour toi maintenant....

Le dernier cas est un peu plus compliqué. Tu as, avec les notations de ton cours, X=R et [tex]A=\{0\}\cup\{1/n;\  n\geq 1\}[/tex]

Soit V un voisinage de 0. Tu dois démontrer qu'il contient des points de A différents de 0.
Autrement dit, tu dois démontrer qu'il contient des éléments de la forme 1/n différents de 0.
Est-ce plus clair maintenant?

Tout repose essentiellement maintenant sur ta compréhension d'un voisinage d'un réel.

Au fait, ton raisonnement pour l'espace discret me semble ok.

Fred.

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#22 08-11-2011 21:08:46

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

C'est pas encore très clair j'ai vais relire ça demain à tête reposé et essayer de faire les démo en partant de ce que vous m'avez dit. Si je bloque, je vous solliciterais de nouveau. Merci.

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#23 08-11-2011 21:24:20

sarah79
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Re : Espace porte? (topologie)

C'est vraiment abstrait je n'arrive pas a me faire une représentation concrète de ce que ça signifie un point d'accumulation et un voisinage

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#24 09-11-2011 06:11:41

Fred
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Re : Espace porte? (topologie)

Ce n'est pas si abstrait dans R.
Un voisinage d'un point contient un intervalle autour de ce point (avec des choses à droite et des choses à gauche, c'est-à-dire que c'est de la forme [tex] ]a-\eta,a+\eta[ [/tex].

Donc, ce que tu veux faire :
Pour tout réel x de R, tu veux prouver que tout intervalle ouvert contenant x contient d'autres réels que x.

Pour le deuxième cas avec A={0}∪{1/n; n≥1}
tu veux prouver que tout intervalle ouvert contenant 0, donc tout intervalle de la forme [tex] ]-\eta,\eta[ [/tex] contient des éléments de la forme 1/n.


Fred.

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#25 09-11-2011 13:16:44

Cha
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Re : Espace porte? (topologie)

Bonjour,

Une petite question pour voir si j'ai bien tout compris aux voisinages de réels :

prenons un réel a
alors a est dans un intervalle de la forme ]a-x;a+x[ (qui est un voisinage donc?)
mais alors cet intervalle n'est pas réduit à {a}, il contient par exemple le réel a+x/2

Donc ce raisonnement étant vrai pour tout réel a, on vient de montrer que tout réel est point d'accumulation de R (car on peut prendre x aussi petit que possible, il y aura toujours un réel dans l'intervalle ]a-x;a+x[)?

Merci d'avance !

Dernière modification par Cha (09-11-2011 13:18:02)

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