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#1 23-10-2006 20:46:10

Jeannot
Membre
Inscription : 18-09-2006
Messages : 13

[Résolu] Continuité, dérivabilité

Soit f une fonction continue de [ 0;1 ] dans ] 0;1 [.
Montrer qu'il existe un réel x de [ 0;1 ] tel que f(x)=x.
Et enfin, pour tout entier naturel non nul, on note f^n la fonction f o f o f o ...o f (composée de f par f ) ou f est répétée n fois.
Montrer qu'il existe un réel x compris entre 0 et 1 tel que pour tout entier naturel n non nul, f^n(x)=x
Comment pourrais je débuter?

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#2 23-10-2006 21:56:04

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
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Re : [Résolu] Continuité, dérivabilité

Par un "bonsoir" ou un "merci de m'aider" ou "merci de m'accorder un peu de votre temps car je sais que je ne m'adresse pas a un distributeur de solution"

Pour débuter un message poliement il y a plein de façons... jette un oeil aux autres sujets, c'est souvent expliqué

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#3 24-10-2006 09:09:38

Jeannot
Membre
Inscription : 18-09-2006
Messages : 13

Re : [Résolu] Continuité, dérivabilité

Excusez-moi, de cette mauvaise entrée en matire.... Bonjour à tous tout de même

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#4 24-10-2006 09:23:29

galdinx
Modo gentil
Inscription : 21-06-2006
Messages : 506
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Re : [Résolu] Continuité, dérivabilité

Bonjour à tous, c'est toujours mieux quand c'est demandé poliment...

on pose la fonction g(x)= f(x)-x

l'exercice revient donc a montrer qu'il existe x dans [0,1] tel que g(x) = 0

f est définie de [0,1] dans ]0,1[

donc f(0) > 0 donc g(0)= f(0) - 0 = f(0) >0

de meme f(1) < 1 donc g(1) = f(1) -1 < 0

on a donc g(0) > 0 > g(1)

f étant continue, g l'est aussi donc d'apres le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x dans [0,1] tel que g(x)=0 c'est a dire tel que f(x)=x.


graphiquement cela correspond à l'intersection entre la courbe de support f et la droite d'equation y = x ( f(1) étant différent de 1, la courbe coupe forcément la droite).


Pour la 2ème partie, je te laisse travailler ; inspire toi de ce raisonnement et pense a la récurence...


bonne journée

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