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#1 05-06-2011 17:27:30
- Picatshou
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equation différentielle
salut tout le monde,dans un exercice je dois montrer que pour x dans (IR*+) et pour f vérifiant :
f'(x)=f(1/x)
montrer que f est deux fois dérivable et vérifie l'équation :y"+y/x²=0
et de résoudre l'équation en prenant x=e^t
alors j'ai dit ce qui suit on a f est dérivable don f'(1/x)=(-1/x²)f'(1/x)=(-1/x²)f(x)=f"(x) donc f est deux fois dérivable et vérifie l'équation différentielle
et pour la résolution j'ai trouvé l'équation caractéristique :r²+e^(-2t)=0
et j'ai trouvé les solutions:
r1=-ie^-t et r2=ie^-t
et après je n'ai pas pu terminer ..?
dans quelle mesure ma réponse est juste ? merci d'avance pour ce qui puisse m'aider à trouver la solution f(x)
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#2 05-06-2011 18:54:26
- freddy
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Re : equation différentielle
Salut l'ami !
ta démonstration est fausse.
Plus simple est de dire : f' est dérivable comme composée (fo(1/Id) de deux fonctions dérivables sur le domaine de définition de f, donc f" existe.
on pose y=f(x) et y'=f(1/x), on a : y"=-1/x².y soit ton équation différentielle dont les solutions sont inexactes.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#3 05-06-2011 18:56:21
- Picatshou
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Re : equation différentielle
et alors comment je peux les rendre justes ? :) c'est ça mon problème
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#4 06-06-2011 08:46:08
- freddy
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Re : equation différentielle
Re,
le Seigneur disait : "cherche, et tu trouveras !..."
Voilà, tu sais tout, et éventuellement vas faire un saut dans la bibmath
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#5 06-06-2011 09:49:33
- Picatshou
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Re : equation différentielle
on pose y=f(x) et y'=f(1/x), on a : y"=-1/x².y soit ton équation différentielle dont les solutions sont inexactes.
Bonjour , bon j'ai vérifié et j'ai trouvé que mes solutions sont exactes ! en effet la solution f(x) s'écrit: f(x)= A e^ at + B e^bt
avec a= t*i*e^(-t)
et b= -t*i*e^(-t)
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#6 06-06-2011 11:21:49
- freddy
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Re : equation différentielle
Re,
c'est marrant ça : suffit qu'on te poussse à vérifier pour que tu le fasses ! ... Tu peux pas le faire avant de poster ?
Si tu n'existais pas, faudrait t'inventer, toi !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#7 06-06-2011 12:41:07
- Picatshou
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Re : equation différentielle
je suis vraiment désolé ,je suis existant , tant que je poste des messages ! non? mais c'est ce que j'ai pu trouver ?
je suis encore désolé si je vous ai dérangé
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#8 06-06-2011 22:22:47
- freddy
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Re : equation différentielle
Re,
as tu songé à regarder la notion d'équation différentielle d'Euler ?
Manifestement, ça y ressemble bien beaucoup, car à l'origine, tu as affaire à une équation linéaire du second ordre à coefficients variables ...
Donc on a pour x > 0, [tex]x^2\times y"-y=0[/tex]
On pose [tex]x=e^t,\;g(t)=y(e^t),\;g'(t)=e^t\times y'(e^t),\;g"(t)=g'(t)+e^{2t}y"(e^t)[/tex]
Ton équation différentielle devient alors, avec t réel :
[tex]g"-g'-g=0[/tex]
A partir de là, on sait faire pour résoudre en g, et on trouve :
[tex]g(t)=c_1\times exp\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}t\right)+c_2\times exp\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}t\right)[/tex]
et on revient à la solution générale bien réelle en x par un easy backward :
[tex]y=f(x)=c_1\times x^{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}+c_2\times x^{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}[/tex]
T'en penses quoi, l'ami ?
Dernière modification par freddy (06-06-2011 22:27:34)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#9 07-06-2011 11:50:02
- Picatshou
- Membre
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Re : equation différentielle
Re,
as tu songé à regarder la notion d'équation différentielle d'Euler ?
Manifestement, ça y ressemble bien beaucoup, car à l'origine, tu as affaire à une équation linéaire du second ordre à coefficients variables ...
Donc on a pour x > 0, [tex]x^2\times y"-y=0[/tex]
On pose [tex]x=e^t,\;g(t)=y(e^t),\;g'(t)=e^t\times y'(e^t),\;g"(t)=g'(t)+e^{2t}y"(e^t)[/tex]
Ton équation différentielle devient alors, avec t réel :
[tex]g"-g'-g=0[/tex]
A partir de là, on sait faire pour résoudre en g, et on trouve :
[tex]g(t)=c_1\times exp\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}t\right)+c_2\times exp\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}t\right)[/tex]
et on revient à la solution générale bien réelle en x par un easy backward :
[tex]y=f(x)=c_1\times x^{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}+c_2\times x^{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}[/tex]
T'en penses quoi, l'ami ?
salut, c'est x² y" +y=0
Donc g"-g'+ g=0 ! et les solutions sont r=[tex]\frac{-1+-\sqrt{3}}{2}[/tex]
Dernière modification par Picatshou (07-06-2011 11:57:25)
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#10 07-06-2011 13:08:59
- freddy
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Re : equation différentielle
Re,
oupsss, t'as raison, j'ai fourché ...
Toutefois, ta solution est fausse, car le delta de ton équation caractéristique en g est négatif ...
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#11 08-06-2011 12:04:40
- freddy
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Re : equation différentielle
Ciao,
bon, c'est pas le tout, faut finir le boulot !
Donc on a pour x > 0, [tex]x^2\times y"+y=0[/tex]
On pose [tex]x=e^t,\;g(t)=y(e^t),\;g'(t)=e^t\times y'(e^t),\;g"(t)=g'(t)+e^{2t}y"(e^t)[/tex]
Ton équation différentielle devient alors, avec t réel :
[tex]g"-g'+g=0[/tex]
A partir de là, on sait faire pour résoudre en g, et on trouve :
[tex]g(t)=exp\left(\frac{t}{2}\right)\times \left(c_1\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+c_2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)[/tex]
et on revient à la solution générale bien réelle en x > 0:
[tex]y=f(x)=\sqrt{x}\left(c_1\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ln(x)\right)+c_2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ln(x)\right)\right)[/tex]
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#12 11-11-2019 15:16:00
- Hadrien
- Invité
Re : equation différentielle
freddy a écrit :on pose y=f(x) et y'=f(1/x), on a : y"=-1/x².y soit ton équation différentielle dont les solutions sont inexactes.
Bonjour , bon j'ai vérifié et j'ai trouvé que mes solutions sont exactes ! en effet la solution f(x) s'écrit: f(x)= A e^ at + B e^bt
avec a= t*i*e^(-t)
et b= -t*i*e^(-t)
Je ne comprend pas comment on aboutit à ce résultat et surtout pourquoi r1=-ie(-t) e2=-ie(-t) sont inexactes
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