[Résolu] Combien de multiples ?

Jeannot · 08-10-2006 18:50:22

1. Expérience
a. On pose a=12 et b=8. Que vaut PGCD (a,b) ? Ecrire la suite a ; 2 a ; 3a ...; ba
Combien contient -elle de multiples de b ?
b. Reprendre la question a avec a=30 et b =12
2. Généralisation
a et b deux entiers naturels, combien la suite a ; 2a ; ... ; ba contient-elles de multiples de b ?
3. Combien existe t il de nombres divisibles par b dans la suite a(b+1) ; a(b+2) ; a(b+n), où a, b et n sont des entiers naturels données?

1. a. PGCD (a,b) = 4
12 24 36 48 60 72 84 96
donc 4 multiples de b
b. PGCD (a,b) = 6
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 360
donc 4 multiples de b

2. Généralisation
Je pense que nbre de multiples = PGCD(a,b) mais comment le prouver

3. Aidez-moi pour la trois

Je voudrais de l'aide pour le 2 et 3....

john · 08-10-2006 19:47:41

Démo. avec les doigts et d = PGCD(a,b)
a=Ad
b=Bd
La suite a*[1, 2.. b] s'écrit aussi Ad*[1, 2.. Bd]
La suite [1, 2.. Bd] contient nécessairement les nombres B, 2B... dB soit d multiples de B.
La suite de départ contient donc BAd, 2BAd.. dBAd soit d multiples de Bd et donc de b.
Bye

Jeannot · 09-10-2006 20:31:09

Merci beaucoup mais pour la derniere question ?

john · 09-10-2006 23:14:37

Je crois que c'est Partie entière(PGCD(a,b)*n/b).
Pratiquement même démo. en remarquant qu'il y a autant de multiples que dans la suite a, 2a.. na puisque le terme ab est divisible par b.
Bye

Jeannot · 11-10-2006 18:53:33

tu veux me le faire?

galdinx · 11-10-2006 20:54:35

et tu veux pas non plus qu'il te rédige ta copie, mette ton nom et te l'envoie par la poste??

Jeannot · 11-10-2006 22:49:19

Non mais il ma dit juste la réponse alors je voudrais comprendrele raisonnement. Ce n'est pas un exos noté alors je m'en fiche, c'est juste pour comprendre, et savoir le refaire parceque là je ne vois vraiment pas...

john · 12-10-2006 18:59:41

Si tu relis mon message tu verras qu'il n'y a pas que la réponse, il y a aussi la méthode (identique à la question 1) et une indication. Si tu refuses de faire fonctionner ton citron, personne ne peut t'aider. Désolé, ici, c'est un site d'entraide, pas le club med.
Bye

yoshi · 13-10-2006 17:04:18

Bonjour Jeannot,

Tu as été un rien maladroit... C'était évident que tu allais te faire jeter !
Il vaut mieux procéder de façon contructive : il est très rarerement vrai qu'on ne sache pas par quel bout prendre un exercice. Donc, produis quelque chose et demande plutôt qu'on te dise ce qui cloche...

Je ne pense pas que quiconque refusera de répondre dans ce cas de figure... ;-)

Courage, il n'y a que le premier pas qui coûte....

Jeannot · 14-10-2006 17:01:48

3. Combien existe t il de nombres divisibles par b dans la suite a(b+1) ; a(b+2) ; a(b+n), où a, b et n sont des entiers naturels données?
D'accord, je vais ovu expliquer ce que je trouve:
En developant on arrive à ab + a ; ab + 2a ; ... ; ab + an
On sait ke ab est divisible par b donc il faut voir la suite : a ; 2a ; 3a ; ... ; an
On a donc : a [ 1 ; 2 ; ... ; n ]

Et la je bloque vraiment... parce que je peux en conclure que c'est égale à Ad [B ; 2B ; ... ; nB]...

Jeannot · 15-10-2006 14:10:24

On a donc , k entier entre 1 et n

A quelle condition b divise ka?
Comme ka = Ad * k donc si B | k alors k = B* k' avec k' entier compris entre 1 et k
D'ou, ka = Ad * Bk' = b * Ak'
Déja sa j'ai fais il maque la fin je réfléchis et j'envois bientot

Jeannot · 15-10-2006 14:14:22

J'arrive à a*[1 ; 2 ; ... ; n] est divisible par b ssi B | [1 ; 2 ; 3 ; ... ; n ]

john · 15-10-2006 19:43:27

... sont durs les copains, pas la moindre pitié.
En 2) on a montré que la suite a*{1, 2, 3... b} contient d multiples de b avec d = PGCD(a,b).
Combien de multiples de b dans la suite a*{1, 2, 3... 2b} ?
Combien de multiples de b dans la suite a*{1, 2, 3... 3b} ?
...
Combien de multiples de b dans la suite a*{1, 2, 3... qb} ?
Ok, ça ne te pose pas de problème.
Combien de multiples de b dans la suite a*{1, 2, 3... n} ?
En primaire on disait autrefois "Dans n, combien de fois b ?" et on appelait cette opération une division. Oui, c'est vrai, on nous donnait les nombres n et b. C'est seulement quelques années après, qu'on a appris à diviser sans connaître n et b. On écrivait : n = b*q + r (avec r<b).
A+ si toujours bloqué.

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