Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

yoshi · 02-01-2011 15:00:33

RE,

Yaka...

on peut le verifier...

le : mis pour quoi ?
Qu'est-ce qu'on peut vérifier ?
- Qu'il existe bien un point P à l'intérieur du triangle dont la distance au point A est bien entière ?
Les calculs d'Epilog aboutissent à dire que ce n'est pas possible : pour montrer que c'est faux, il suffit d'en trouver au moins un, que voilà :
[tex]P\left(\frac{273}{2}\;;\;\frac{273\sqrt 3-20}{2}\right)[/tex] dont la distance à A est PA= l = 10
Je ne me suis pas cassé la tête : je l'ai pris sur la médiatrice de [BC]...
- S'il existe bien un point P à l'intérieur du triangle ABC dont les distances aux point A, B et C sont bien entières ?
Alors :
1. Vu le travail que nous avons fourni, un simple "yaka" est loin d'être suffisant,
2. L'allusion du post #87 :

La formule du long bec emmanché d'un long cou est d'accord avec moi

était (en principe) transparente,
3. L'idée de travailler avec les Aires vient de grpbx (rendons à Cesar...) post #73...
Elle a déjà été mise en application informatique.

@+

jpp · 08-01-2011 11:22:31

salut
avec le triplet ( 97 . 208 . 185 ) , j'ai d'abord appliqué la formule de Héron aux 4 triangles sur une
TI Et j'avais bien S= s1 + s2 + s3 . Mais ca ne suffit pas forcément . Alors en j'ai calculé
les 3 paires d'angles issues de O,A& B avec la formule d ' Al Kachi et j'ai bien 3 x 60°

.. mais à 10 exp -10 la calculette arrondit encore donc je ne suis toujours pas convaincu

freddy · 08-01-2011 11:25:02

Salut,

je te suggère de calculer avec un boulier chinois, peut-être auras tu plus de chance.

yoshi · 08-01-2011 11:31:52

Re,

donc je ne suis toujours pas convaincu

Convaincu de quoi ?
De la justesse de la solution donnée avec PA, PB, PC entiers ?
Je me suis fendu d'une longue démonstration théorique prouvant qu'un tel point P existait à partir de ces coordonnées, et qu'il était bien à l'intérieur du triangle.
Donc, rideau !

@+

gprbx · 08-01-2011 12:49:56

Bonjour,

Je vais encore remuer le problème, mais je comprends les réticences de jpp.
Pour être absolument convaincu et se libérer ds approximations des calculs en flottant sur TI ou ordinateur, il faut partir des coordonnées algébriques exactes du point P à partir des 2 premières distances, et recalculer la 3ème distance uniquement avec des Entiers (en éliminant les racines carrées dans les calculs) Je l'ai fait. c'est OK.
il faut être courageux pour faire ces calculs !!
L'égalité des aires, c'est un peu comme Pythagore, réciproque et contraposée....

A+ cordialement : gprbx

yoshi · 08-01-2011 14:14:45

Bonjour,

Pour être absolument convaincu et se libérer ds approximations des calculs en flottant sur TI ou ordinateur,(...)

Dans le post auquel je me réfère, je rappelle que :
1. Je suis parti des longueurs entières : pas d'incertitude absolue ou relative sur des nombres entiers, calculette ou pas,
2. A partir des équations des 3 cercles, j'ai cherché de façon formelle et j'ai trouvé les coordonnées exactes du point P : pas de calculs approchés,
3. Les seuls calculs approchés et pas à epsilon près ont été faits (les valeurs approchées excédaient de plus d'une dizaine d'unités les bornes) pour tester la présence du point P à l'intérieur du triangle : je peux refaire ces calculs de façon exacte et avoir la même réponse.

Le point P trouvé tels que PA, PB et PC sont entiers est bien à l'intersection des 3 cercles, et il est bien également à l'intérieur du triangle, donc pour moi, il répond bien à la question...
A moins qu'on me dise que c'est la même erreur de raisonnement que je reproduis... Pourtant, je ne fais que vérifier, à partir de PA, PB et PC trouvés, que le point était bien à l'intersection et à l'intérieur du triangle.

En effet, si trouver ces coordonnées est une autre histoire, je suis bien d'accord, si j'en fais abstraction, le problème se résume alors à :
<< Etant donné le point P de distances entières PA, PB et PC données, vérifier qu'il existe bien et qu'il est à l'intérieur du triangle. >>
J'ai fait cette vérification.

@+

Barbichu · 08-01-2011 14:59:34

Mon très cher yoshi,

Rien ne sert de s'énerver, les personnes qui ne sont pas convaincues cherchent à reprouver les choses d'elles-mêmes. Je me suis rendu à l'évidence à présent, peut-être est-ce inévitable. Ils vérifient par leur propre moyen, et s'en persuadent. Parfois ils entendent les autres dire "ça ne va" pas, parfois les autres ont raison, parfois ils ont tort. Il s'en suit alors débat où ce n'est pas toujours celui ou ceux qui ont raison qui ont le dernier mot ...

Oserais-je te rappeler que de mon point de vue le problème n'a pas avancé d'un iota depuis mon post #19 d'il y a plus de 2 ans, mis à part la caractérisation arithmétique et éventuellement la démonstration à l'aide la formule de Héron (que je ne trouve pas personnellement beaucoup plus élégante que la mienne, car au lieu de faire appel au concept d'affixe, aisément remplaçable par des coordonnées, elle utilise un théorème massue puis génère encore plus de calculs que ce que j'avais dû faire, mais c'est une question de goût).

Je devrais même ajouter que je n'ai pas encore vu être posté d'algorithme plus rapide que celui que j'avais donné à l'époque (post #15) : notamment tout ceux que j'ai vu font varier (directement ou indirectement) n, m et p à l fixé puis vérifient une égalité booléenne, ce qui rend le problème cubique (à un facteur logarithmique près), alors qu'il y a de manière évidente (maintenant qu'il y a eu tant de discussions) une façon de ne faire varier que n et m et de calculer p, ce qui rend le problème quadratique (à un facteur logarithmique près). J'aurais pu poster l'algorithme, mais tant que le débat en était à "je ne suis pas d'accord avec ci, il faudrait faire ça", je n'avais pas envie de poster. D'ailleurs, j'avais hésité un moment à poster la caractérisation arithmétique, et personne d'autre que freddy n'y a porté d'attention, tout le monde continuant à débattre sur la validité des démarches et la présence d'approximations ...

En me relisant, je trouve que je suis peut-être un peu aigri aujourd'hui, je l'admets ...

yoshi · 08-01-2011 15:16:54

Re,

Comme disait Coluche (?) :

Je m'énerve pas Madeleine, j'explique !

Bon, allons, allons, toi aigri à cet âge ?
Tsss ! tsss...
Tu fais allusion à cette méthode-ci :

Bonjour,
from __future__ import division
from math import sqrt
import psyco
psyco.full()
a=273
for l in xrange(1,273):
for m in xrange(a-l+1,l+1):
for n in xrange(a-l+1,m+1):
if a**4+l**4+m**4+n**4==(a*l)**2+(a*m)**2+(a*n)**2+(l*m)**2+(l*n)**2+(m*n)**2:
print l,m,n
Résultat :
208 185 97
237 153 120
247 208 65

C'est vrai que c'est court...
Tu vois qu'on est deux à l'avoir relevée : c'est déjà mieux qu'un tout seul, non ? D'un seul coup, là, j'augmente l'intérêt porté à ton idée de 100 % (c'est pas beau les % ?)

:-)

@+

Barbichu · 08-01-2011 15:31:05

Re,

yoshi a écrit :

Tu fais allusion à cette méthode-ci :
[...]
C'est vrai que c'est court...
Tu vois qu'on est deux à l'avoir relevée : c'est déjà mieux qu'un tout seul, non ? D'un seul coup, là, j'augmente l'intérêt porté à ton idée de 100 % (c'est pas beau les % ?)

Au temps pour moi, vous êtes deux ;)
Par contre si ce programme est effectivement très court, ce n'est pas le plus efficace, car il est strictement équivalent à celui de mon post #15 (ce sont en fait les mêmes calculs qui sont fait, à une petite simplification près).
Même si une première optim' consiste à faire varier l dans [a/2 , a] au lieu de [1, a] (en effet l + m >= a et l >= m donc 2l >= a et l >= a/2), et qu'il y a plein d'autres petites optim' à faire, cet algorithme reste cubique.

Et plutôt que d'envoyer moi-même l'algo quadratique, je vais vous donner un indice. Il n'y a pas besoin de faire varier n, il suffit de le calculer grâce à la formule. Et, oui, on peut le faire sans passer par des approximations.

Merci de ta réponse.
a+

gprbx · 08-01-2011 17:21:28

Bonjour,

Arrivé (post #31) au milieu de débats qui avaient repris en Novembre 2010, j'ai survolé les post écrits en août 2008 et en particulier le post #15 où le code en Python y est en effet particulièrement lumineux.
Malheureusement ce #15 est lui même enchâssé dans des demandes d'explications…

Et personne n'a signalé, ni je ne savais que Python calculait sur ce code uniquement avec des Entiers !
Je ne serais sans doute pas intervenu sur les approximations, ou même pas du tout, si j'avais vu et su.

Donc hommage sincère à Barbichu.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#126 02-01-2011 15:00:33

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#127 08-01-2011 11:22:31

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#128 08-01-2011 11:25:02

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#129 08-01-2011 11:31:52

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#130 08-01-2011 12:49:56

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#131 08-01-2011 14:14:45

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#132 08-01-2011 14:59:34

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#133 08-01-2011 15:16:54

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#134 08-01-2011 15:31:05

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

#135 08-01-2011 17:21:28

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

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