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#1 15-04-2010 20:37:05
- nabil10
- Membre
- Inscription : 14-04-2010
- Messages : 46
calcul d'integrale par la methode des residus
Bonjour!
j'ai pas compris la méthode des résidus et je dois faire cette exercice prière de m'aider s'il vous plait
en utilisant la méthode des résidus, calculer l’intégrale suivante
I=∫_0^2pi (e^cosx) cos(sinx)cosnxdx n Є N
merci!!
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#2 15-04-2010 21:05:33
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : calcul d'integrale par la methode des residus
Re,
Je ne suis pas compétent pour répondre sur le fond, mais sur la forme, si.
Est-ce cela que tu veux :
[tex]\int_0^{2\pi} e^{\cos x} \cos(\sin x) \cos nx\; dx \quad n \in \N[/tex] ?
Si oui, alors voilà le code sans les balises :
\int_0^{2\pi} e^{\cos x} \cos(\sin x) \cos nx\; dx \quad n \in \N
\; pour forcer l'espacement avant dx
et \quad pour forcer un grand espacement...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 16-04-2010 08:29:00
- JJ
- Membre
- Inscription : 04-06-2007
- Messages : 109
Re : calcul d'integrale par la methode des residus
Bonjour,
Remplacons les bornes 0 et 2pi par -pi et pi, ce qui ne change rien (fonction périodique de période 2pi)
L'intégrale à calculer est nommée I
Soit J la même intégrale avec cos(nx) remplacé par sin(nx)
On remarque que J=0 car la fonction intégrée entre -pi et pi est impaire.
On peut donc écrire I = I+i.J ou I = I-i.J
Remplacer cos(sin(x)) par (exp(i.sin(x)+i.exp(-i.sin(x)))/2 dans I et J
En déduire que :
I = (1/2)Somme(exp(cos(x)+i.sin(x))(cos(nx)-i.sin(nx))dx pour x=-pi à x=+pi
ou :
I = (1/2)Somme[(exp(cos(x)+i.sin(x))/(cos(nx)+i.sin(nx))]dx pour x=-pi à x=+pi
Avec z=exp(ix) ; dz = i.z.dx ; cos(nx)+i;sin(nx) = z^n
I = (-i/2)Somme [exp(z)/z^(n+1)]dz sur le cercle de centre (0,0) et de rayon =1.
Le pôle d'ordre n+1 donne le résidu 1/n!
I = 2pi.i.(-i/2)(1/n!) = pi/n!
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