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Jeannot

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[Résolu] Approximation de pi

Bonsoir,

j'ai un dm a faire pour lundi qui s'intitule : "l'approximation du nombre  : la méthode d'Archimède" En fait on part d'un cercle C de rayon 1 et de 2 polygones regulier l'un inscrit dans la cercle et noté Pn et l'autre a exinscrit a C et noté Qn. En fait les 3 premieres partie du dm concerne l'etude de ces suites.
Je viens de le terminer, mais il y a une relation que je n'ai pas réussi à démontrer...
La question complète est la suivante :

Sur la figure jointe, les points R et S sont deux sommets consécutifs du polygone Pn, les points R, S et T sont trois sommets consécutifs de Pn+1 et donc (OT) est la médiatrice de [RS]. On note H le milieu de [RS], H' le milieu de [RT] et V le point diamétralement opposé a T sur le cercle C.
Notons an l'apothème de Pn c'est-à-dire la distance de O à un coté de Pn.
On a donc OH = an, OH' = an+1, RS = cn (cn représente la longueur d'un coté du polygone) et RT = cn+1.
Montrer que les triangles VHR et OH'T sont semblables.
en déduire que an+1 = racine de ((an + 1)/2)
et, que cn+1/cn = 1/(2an+1) puis que pn+1/pn = 1/an+1

j'ai donc démontrer que les triangles etaient semblables et j'ai reussi aussi a demontrer les 2 dernieres relations, mais pas la 1ere ! c'est a dire an+1 en fonction de an...
etant donné qu'il faut que je deduise ca du fait que les triangles sont semblables, je me suis servi du rapport k entre les cotes des triangles mais ca ne m'a pas servi a grand chose... En fait ce  qui me gene c'est le fait que sous la racine le an+1 soit pas élevé au carré et aussi le fait qu'il y a un 2... en fait j'arrive pas a comprendre d'ou peur sortir cette relation...

merci d'avance !!

ah, et je joins la figure...

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Approximation de pi

Bonjour,

C'était beaucoup plus simple qu'il n'y paraissait....
Il fallait faire appel aux "Relations métriques dans le triangle rectangle", c'était du moins le nom du chapitre à mon époque.
Le triangle VTR est tel que R est sur le cercle et [VT] un diamètre duduit cercle, il est donc rectangle en R. et -RH) en est la hauteur relative à l'hypoténuse.
On a donc la relation VR² = VH.VT.
De plus, (OH') est perpendiculaire à  (RT), tout comme (VR). Oa donc (OH') // (VR). Et comme O est le milieu de [VT], H' est celui de [RT].
(Dans tout cela, il y a sûrement un certain nombre de choses déjà prouvées par toi, ce que je ne peux savoir. Donc, je les écris...)
On a donc VR = 2OH', ou encore VR² = 4 OH'²
Mais VR² = VH.VT = (1 + OH) x 2

On a donc l'égalité : 4OH'² = 2(1 + OH) soit OH'² = (1 + OH)/2 et enfin OH' = rac((1 + OH)/2).
Avec la notation OH' = an+1 et OH = an, on tombe bien sur la relation qui t'intrigue tant...
Je précise quand même (au cas, hypothétique, où..) que VO = rayon = 1 , VT = diamètre = 2.

Voilà...

Dernière modification par yoshi (20-09-2006 13:08:45)

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Jeannot

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Re : [Résolu] Approximation de pi

Merci beaucoup